Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике, страница 8

.ṙ(t) = ṙ 0 (t) + Ωṙ 1 (t) + Ω2 ṙ 2 (t) + . . .r̈(t) = r̈ 0 (t) + Ωr̈ 1 (t) + Ω2 r̈ 2 (t) + . . .Подставляем в уравнение движения:r̈ 0 + Ωr̈ 1 + Ω2 r̈ 2 + . . . = g − 2Ω[ez , ṙ 0 ] − 2Ω2 [ez , ṙ 1 ] − . . .Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Ω: r̈ 0 = g, r̈ 1 = −2[ez , ṙ 0 ], r̈ k = −2[ez , ṙ k−1 ] (k > 1). Отсюда3ṙ 0 = gt, и поэтому r̈ 1 = −2t[ez , g] — в первом порядке отклоняемся на восток. Далее, r 1 = r 1 (0)+ 2t3 eвосток ·G (G = const),3ṙ 1 = αt eвосток , r̈ 2 пропорционально −[ez , eвосток ] — во втором порядке отклонение на юг.2.11.4. Маятник ФукоСферический маятник — это система с идеальной голономной связью x2 + y 2 + z 2 = l2 , проще говоря, камень наверёвке.

Движется в поле сил F .Маятник Фуко — это сферический маятник, закреплённый на поверхности Земли. Точка подвеса: r 0 , радиус-вектор(относительно r 0 ): ρ. Освободимся от связей: mρ̈ = F + R. Виртуальное перемещение δr = (δx, δy, δy) в точке (x, y, z):xδx + yδy + zδz = 0 (δr касается сферы). Связи идеальны: для любого виртуального перемещения hR, δri = 0 (реакцияρ(T — скаляр; T = T (x, y, z, ẋ, ẏ, ż)).

Уравнения движения:ортогональна сфере): R = T |ρ|8ρ< mρ̈ = F + T|ρ|: 2x + y 2 + z 2 = l2— 4 неизвестных, 4 уравнения. Эта система называется уравнениями с множителем (T — множитель).Маятник Фуко на полюсе. Подвес неподвижен, маятник качается в плоскости как математический маятник.

Нонаблюдатель-то движется. Мы едем на восток, значит относительно нас плоскость колебаний сдвигается на запад. НаЮжном полюсе мы бы наблюдали противоположное вращение (значит, на Экваторе этот эффект исчезнет).28Теперь оценим количественно. В Землю вморожена система координат Oξηζ, Oζ — на север.

В точке подвеса маятникавозьмём систему O′ xyz, Oz — местная вертикаль. В этих координатах (в северном полушарии) ω = (0, −Ω cos ϕ, Ω sin ϕ).Уравнение движения:ρ.mr̈ = mg − 2m[ω, ṙ] + T|ρ|Считаем g = (0, 0, −g) = const. r = r 0 + ρ, ṙ = ρ̇, r̈ = ρ̈. Уравнение движения:mρ̈ = mg − 2m[ω, ρ̇] + Tρ.|ρ|Связь: |ρ2 | = l2 , в дифференциальной форме: hρ, ρ̇i = 0.ρ0 = (0, 0, −l) — положение равновесия (ρ(t) = ρ0 — решение дифференциального уравнения).Умножая скалярно уравнения движения на ρ̇, получаем интеграл энергии:„«d m|ρ̇|2m|ρ̇|2+ mgz = 0;+ mgz = hdt22Положение равновесия устойчиво.

ОВД: mgz 6 h. Можно рассмотреть линеаризованную систему (z и ρ̇ мало отклоняются в силу mgz 6 h).Уравнения движения в координатах:8x>>> mẍ = 2mΩ sin ϕẏ + 2mΩ cos ϕż + T l><ymÿ = −2mΩ sin ϕẋ + Tl>>>>: mz̈ = −mg − 2mΩ cos ϕẋ + T zlЛинеаризуем в окрестности состояния равновесия (0, 0, −l, 0, 0, 0). Нас интересуетp линейное приближение для x и дляy. σ = |x| + |y| + |z + l| + |ẋ| + |ẏ| + |ż| — отклонение. T = T0 + O(σ), T0 = −mg.

z = − l2 − x2 − y 2 , ż = √ x2 ẋ+y2 ẏ 2 = O(σ 2 ),l −x −yзначит при линеаризации слагаемое 2mΩ cos ϕż можно отбросить. Линейные приближения 1-го и 2-го уравнений имеютвид:gmẍ = −m x + 2mΩ sin ϕẏlgmÿ = −m y − 2mΩ sin ϕẋlЭти уравнения по форме совпадают с уравнениями движения тела в системе координат, равномерно вращающейсявокруг оси Oz с ω = Ω sin ϕ:8>> mẍ = − ∂Vω + 2mω ẏ<∂x∂Vω>>− 2mω ẋ: mÿ = −∂yЗдесь Vω = V − 12 mω 2 (x2 + y 2 ). Отсюда найдём потенциал V :”m “gV =+ ω 2 (x2 + y 2 ).2 | l {z }=:kТочка движется как бы в поле сил с таким потенциалом.Рассмотрим O′ xy как систему координат, вращающуюся со скоростью ω относительно «неподвижной» системы O′ αβ.В этой новой системе уравнения движения имеют вид:(mα̈ = −mkαmβ̈ = −mkβ— т.е.

в линейном приближении получаются гармонические колебания по каждой из осей. Если запустить движение кцентру — получим колебания по прямой. В исходной системе O′ xy наблюдаем колебание и одновременно вращение.Кстати, по частоте колебаний (её можно наблюдать) можно найти угол ϕ.29.