Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике, страница 6

Принято указывать также направление движения (выше Ox — направо, ниже — налево).r2pẋ = ±h − V (x)m— это уравнение фазовой кривой в виде ẋ = ẋ(x). Это уравнение фазовой кривой при ẋ 6= 0. Оно имеет смысл толькопри h > V (x) (ежу ясно, что иначе движения не бывает). При заданной константе h интеграла энергии множествоDh = {x | V (x) 6 h} называется областью возможного движения (ОВД).Положение равновесия: V ′ = 0 (критическая точка V ).

В точке x0 mẍ = 0, и x(t) = x0 — решение. x0 называетсяположением равновесия, а точка фазового пространства (x0 , 0) — состоянием равновесия.Изучим фазовый портрет в окрестности положения равновесия (в остальных случаях фазовый портрет ясен — см.выше). Будем рассматривать случай невырожденного положения равновесия: V ′′ (x0 ) 6= 0. (Про вырожденный случайесть отдельная большая наука.)2Утверждение 2.14 (лемма Морса для одномерного случая).

Пусть m2ẋ + V (x) = h, V ′ (x0 ) = 0, V ′′ (x0 ) 6= 0.Тогда в окрестности x0 существует невырожденная замена переменных x −→ z, после которой V (z) = ±z 2 и уравнениеимеет видmẋ2± z2 = h2(знак «+», если V ′′ > 0 и «−» иначе). Нам потребуется следующаяЛемма 2.15 (Адамар). Пусть f ∈ C∞ и f (x0 ) = 0. Тогда существует g ∈ C∞ такая, что f (x) = (x − x0 )g(x). Без ограничения общности полагаем x0 = 0. Имеемf (x) =Z10d(f (tx)) dt =dtZ1d(tx)f (tx)dt =dt′0Осталось положитьg(x) =Z10Z1′xf (tx) dt = xZ1f ′ (tx) dt.0f ′ (tx) dt.0f (x) = V (x) − h, V (x0 ) = h, V ′ (x0 ) = 0, V ′′ (x0 ) > 0. Считаем h = x0 = 0. Тогда V (0) = V ′ (0) = 0, V ′′ (0) > 0.Применяем лемму Адамара к функции V : V (x) = xg(x). V ′ (0) = (g(x) + xg ′ (x))|x=0 = g(0) = 0.

Опять применяем лемму20Адамара: g(x) = xg̃(x), откуда V (x) = x2 g̃(x). Совершаем замену переменной z = xзамена гладкая (т.к. g̃ > 0). Вычислим производнуюz′ =ppg̃(x). В окрестности точки x = 0xg̃ ′ (x)g̃(x) + p.g̃(x)pВ точке x = 0 z ′ |x=0 = g̃(0) > 0, значит замена невырожденная. В этих координатах V = z 2 .pЕсли V ′′ < 0, то аналогичные рассуждения приводят к замене z = x −g̃(x), V = −z 2 . Итак, в окрестности невырожденной особенности фазовый портрет гладко эквивалентен набору кривых 2-го порядка.2.9.1.

Период колебанийПусть точка движется от положения x = a до положения x = b, при этом ẋ 6= 0 в каждой точке траектории (безограничения общности будем считать ẋ > 0). Вычислим время движения tb − ta . Из интеграла энергии имеемrmdxp= dt,2 h − V (x)откудаtb − ta =Ztbdt =taZb ramdxp.2 h − V (x)Это называется квадратурной формулой для времени движения.Теперь рассмотрим замкнутую фазовую кривую, соответствующую уровню энергии h.

Пусть она пересекает осьабсцисс в двух точках x1 и x2 , x1 < x2 . По квадратурной формулеtx2 − tx1 =rm2Zx2√x1dx.h−VЗаметим, что здесь стоит несобственный интеграл, но это нас не пугает, т.к.R V ′ (xi ) 6= 0 (это не положения равновесия),1 dxа значит h − V (x) ≈ V ′ (xi )(x − xi ), и интеграл сходится точно так же, как и 0 √, так что запись обоснована.xОтсюда получаем, что период движения по кривой с уровнем энергии h равенT (h) = 2(tx2 − tx1 ) =√2mxZ2 (h)x1 (h)pdx.h − V (x)2.9.2. Линеаризованные уравнения движенияПусть x0 — устойчивое положение равновесия (V ′ (x0 ) = 0, V ′′ (x0 ) > 0).

ТогдаV ′ (x) = V ′′ (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ).Если оставить только первый член разложения (отбросить o-малое), получится линеаризованное уравнение:mẍ = −V ′′ (x0 )(x − x0 )— это линейное уравнение с постоянными коэффициентами (решение пишется в явном виде). В рассматриваемом намислучае V ′′ > 0 это уравнение называется уравнением малых колебаний. Решим это уравнение:ẍ = −ω 2 (x − x0 ),где ω 2 =V ′′ (x0 ).mХарактеристическое уравнение: λ2 + ω 2 = 0, λ1,2 = ±iω. Общее решение:x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt— это гармонические колебания. Их период равенTM K =2π= 2πωrmV ′′ (x0 )и называется периодом малых колебаний.

Заметим, что при V ′′ −→ 0 TM K −→ ∞.212.9.3. Асимптотика T (h)Естественно предположить, что при малых h T (h) близок к TM K . Точный результат даёт следующееУтверждение 2.16. T (h) = TM K + O(h) при h −→ 0+.√ Совершим замену по лемме Морса: V (x) = z 2 . Тогда zi2 = h (это точки, где ẋ = 0, а значит V = h), z1,2 = ± h.Отсюда√Z h dxdz√ dz.T (h) =h−z2√−h′′′Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: x′z = x′z (0) + x′′zz (0)z + x 2(ξ) z 2 . Соответственно, интеграл√для T (h) тоже раскладывается на три слагаемых: T (h) = 2m(I1 + I2 + I3 ). В I2 функция под интегралом нечётная,значит I2 = 0.

Далее,√√Z h x′′′ (ξ)z 2Zhdz√ 2√dz 6 Bh6 Bπh = O(h),I3 =h − z2h − z2√√− hгде B = 12 kx′′′ kC[−√h,√h] .Теперь вычислим I1 . Имеем: x′z (0) =√r2m I1 = 2q√mV ′′ (0)Zh−что и требовалось. −√h2,V ′′ (0)hоткуда˛√hrrdzz ˛˛mm√√=2arcsin=2π= TM K ,V ′′ (0)V ′′ (0)h2 − z 2h ˛−√h2.10. Небесная механика2.10.1. Движение в центральном поле силРассматривается движение материальной точки под действием силы, направленной к началу координат и зависящейтолько от длины радиус-вектора: F = f (r)er . Такая сила является потенциальной:F =−∂V,∂rV =−Zrf (s) ds.r0Действительно, поскольку∂r∂r= er (явно проверяется), то∂V∂V ∂r== −f (r)er = −F,∂r∂r ∂rчто и требовалось3 .Первые интегралы:1. Связи не зависят от времени, силы потенциальны, значит есть интеграл энергии:m|ṙ|2+ V (r) = h = const .22.dK= momO F = [r, f (r)er ] = 0,dtоткуда K = const — получили 3 первых интеграла Kx , Ky и Kz .Поскольку K — постоянный вектор и для всех t имеем r(t) ⊥ K, движение совершается в плоскости Π, перпендикулярной вектору K.

Выберем базис так, чтобы ez ⊥ Π. Π = Oxy. Зададим положение точки в плоскости Π полярнымикоординатами. r = rer , ṙ = ṙer + r ϕ̇eϕ . K = [r, mṙ] = r 2 ϕ̇mez = const, откуда r 2 ϕ̇ = C = const — это интеграл площадей.S(t) — площадь сектора, заметаемого радиус-вектором за время от t0 до t.dS(t)r 2 ϕ̇C==dt22— эти соотношения получаются из выкладки Кеплера, которую мы уже проводили.В полярной системе координат |ṙ|2 = ṙ 2 + r 2 ϕ̇2 , поэтому интеграл энергии запишется так:mṙ 2mr 2 ϕ̇2++ V (r) = h.223 Здесьжирное r обозначает радиус-вектор, а r = |r|.

Такого соглашения я старался придерживаться во всём конспекте.22Подставляя ϕ̇ =C,r2получаемmṙ 2mC 2++ V (r) = h.22r 2Последние два слагаемых обозначим через V ∗ (r) — это приведённый потенциал (потенциал приведённой системы).Окончательно получаемmṙ 2+ V ∗ (r) = h.2Уравнение совпадает по форме с уравнением движения точки по прямой. Пусть имеется периодическое решение r: rменяется от r1 до r2 . Изменение ϕ за период r (т.е. на куске траектории, на котором r меняется от r1 до r2 и обратно доr1 ) — это апсидальный угол Φ.Период:Zr2√dr√T = 2m.h−V∗r12Вспоминая, что r ϕ̇ = C, а значит dϕ =Cdt,r2получаем:rm22mZr2ϕ − ϕ0 =— это квадратурная формула для угла.Апсидальный угол:Φ=√Zrr1r1Cdr√r2 h − V ∗Cdr√.r2 h − V ∗ϕ̇(t) — функция T -периодическая, поэтому (проверьте сами)ϕ(t) = ϕ(t0 ) + A(t − t0 ) + g(t),где g — некоторая T -периодическая функция, а A есть среднее значение ϕ̇ на периоде:A=1TtZ0 +TCdt.r2t02.10.2.

Задача КеплераЗадача Кеплера — это задача о движении точки в поле притягивающего центра.Итак, на точку действует силаM0 mF = −γ 3 r.rВ обозначениях центрального поля сил:M0 mfr = −γ 2 .rВведём обозначения er = rr , µ = γM0 .Уравнения движения (как в центральном поле сил):8 2< r ϕ̇ = CПриведённый потенциал:2: mr̈ = mC − µmr3r2V∗ =mC 2µm−.2r 2rМожно считать m = 1 (всё равно сократится).Найдём траекторию движения:„ «d1ṙ dtṙ= 2 ·=− ;dϕ rrdϕCПодставим r̈ из второго уравнения:d2dϕ2d2dϕ2„ «1r̈r 2=− 2.rC„ «11µ= − + 2.rrCПоложим u = 1/r.

Получаем линейное неоднородное уравнениеu′′ = −u +23µ.C2Общее решение:u = A cos(ϕ − ϕ0 ) +Полагая e =AC 2,µp=C2,µµ.C2получаемu=1 + e cos(ϕ − ϕ0 ).pr=p1 + e cos(ϕ − ϕ0 )Итак, общий вид траектории:— это кривая второго порядка (коническое сечение). e — эксцентриситет (выбором ϕ0 делаем e > 0), p — фокальныйпараметр.График V ∗ (r) выглядит так: сначала убывание от +∞ до hK1 , потом рост и асимптотически стремление к 0 (Ox —асимптота). Картинку лень рисовать.h < hK1 ⇒ движения нет.h = hK1 — одно допустимое движение: r = r0 (равновесие приведённой системы) ⇒ круговая орбита.0 > h > hK1 ⇒ эллиптическое движение (другого не будет, поскольку эллипс — единственное замкнутое коническоесечение). 0 < e < 1.h = 0 — параболическое движение. e = 1.h > 0 — гиперболическое движение.

e > 1.Особый случай: p = e = 0 — нет изменения угла (падение по радиусу).Теперь докажем третий закон Кеплера. Итак, T C = 2Sэллипса = 2πab (т.к. C = 2Ṡ). Отсюда T 2 = 4π 2 a2 b2 /C 2 . Далее,p = C 2 /µ (по определению p, см. выше), а с другой стороны p = b2 /a (аналитическая геометрия, 1-й курс).