Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поклассической механикеЛектор — Евгений Иванович КугушевIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2007 г.Оглавление1.2.Кинематика1.1. Кинематика точки . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Движение по окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Движение по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Кинематика твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Мгновенная угловая скорость.

Формулы Пуассона . . . . . .1.2.2. Распределение скоростей в твёрдом теле. Формула Эйлера . .1.2.3. Распределение ускорений в твёрдом теле. Формула Ривальса1.2.4. Мгновенная ось винта при движении твёрдого тела . . . . . .1.2.5. Плоско-параллельное движение твёрдого тела . . . . . .

. . .1.3. Относительное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Теорема о сложении скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Теорема о сложении ускорений . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Ускорение в полярных координатах . . . . . .

. . . . . . . . .1.3.4. Теорема о сложении угловых скоростей . . . . . . . . . . . . .1.3.5. Цепочка подвижных систем координат . . . . . . . . . . . . .1.4. Углы и кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1. Углы Эйлера . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2. Кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................4444555667777888999Динамика2.1. Аксиомы ньютоновой механики . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Принцип детерминизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Принцип относительности Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Принцип суперпозиции сил . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Вывод формулы для гравитационной силы из законов Кеплера . . . . . . . . . . . . .2.3. Учение о связях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Голономные связи . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Неголономные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Конёк Чаплыгина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4. Виртуальные и действительные перемещения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.5. Аксиома освобождения от связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Принцип Даламбера – Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Идеальность связей в твёрдом теле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.2.6. Общие законы динамики для систем с идеальными связями . . . . . . . . . . . . . . .2.6.1. Динамические переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.2. Теорема об изменении импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.3. Закон изменения кинетического момента . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.4. Теорема об изменении кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.5. Потенциальные силы. Интеграл энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Общие теоремы динамики в относительном движении . . .

. . . . . . . . . . . . . . .2.7.1. Кёнигова система координат. Формулы Кёнига . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Теорема об изменении кинетического момента в кёниговой системе координат2.7.3. Теорема об изменении кинетической энергии в кёниговой системе координат .2.8. Динамика и статика свободного твёрдого тела .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Твёрдое тело с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2. Теорема Гюйгенса – Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.3. Уравнение равновесия свободного твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . .

. . . .2.9. Динамика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.1. Период колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.2. Линеаризованные уравнения движения . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.9.3. Асимптотика T (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10. Небесная механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.1. Движение в центральном поле сил . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .2.10.2. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.3. Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10.4. Задача N тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................................................................................................................999101011121212131313141415151516161617171717181819191921212222222324252..................................................................................................................................................................2.11. Силы2.11.1.2.11.2.2.11.3.2.11.4.инерции .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Движение в равномерно вращающейся системе координатОграниченная плоская круговая задача трёх тел . . . . .Движение на поверхности Земли . . . . . . . . . . . . . . .Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................2626262828ПредисловиеЭто лекции по классической механике для математиков IV курса.

Здесь изложено всё, что есть в программе (кое-что было в лекциях, но не внесено в программу — этого здесь нет). Набирал сиё Степан Кузнецов(skuzn@inbox.ru). Исправление ошибок как всегда приветствуется. За обнаружение ошибок наборщик благодарит Александра Кашева, Владимира Щура, Константина Голубева и Наталью Харитонову.Последняя компиляция: 25 января 2008 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3Механикау нас классическая, так что мы рассматриваем обычное евклидово пространство E 3 (R3 с метрикойPhx, yi = xi yi ) и обычное ньютоновское время t (оно течёт вне зависимости от движений).Основные объекты: материальные точки и твёрдые тела.

Материальная точка задаётся радиус-вектором rи массой m. Система материальных точек — множество материальных точек + связи (ограничения). Частныйслучай системы материальных точек: r1 , . . . , rN со связями |ri − rj | = const(t) называется твёрдым телом.Наша задача — исследовать движение. Это сводится к исследованию ОДУ особого вида. Механика разделяется на кинематику и динамику.

Кинематика изучает свойства движения вне зависимости от причин. Динамикарассматривает причины (силы). Прямая задача динамики: найти движение по силам, обратная: найти силы подвижению.1. Кинематика1.1. Кинематика точкиПусть фиксирован ортонормированный базис ex , ey , ez . Движение материальной точки: r(t) = x(t)ex +y(t)ey +d2 rz(t)ez . Первая производная v(t) = drdt = ẋex + ẏey + żez называется скоростью, а вторая a(t) = dt2 = ẍex + ÿey + z̈ezd).— ускорением точки (как обычно, ˙ = dt1.1.1.

Движение по окружностиМатериальная точка движется по окружности радиуса R с центром в начале координат:(x(t) = R cos ϕ(t)y(t) = R sin ϕ(t)В каждой точке окружности определён касательный вектор τ = (− sin ϕ, cos ϕ) (|τ | = 1) и вектор внутренней нормали n = (− cos ϕ, − sin ϕ).Дифференцируя соотношение r(t) = (R cos ϕ, R sin ϕ), получаем v = ṙ = R(− sin ϕ, cos ϕ)ϕ̇ = Rϕ̇τ .

Пустьv = vτ ; v = ±|v| = Rϕ̇ (скалярное значение скорости).Дифференцируя равенство hτ, τ i = 1, получаем: hτ̇ , τ i = 0, то есть вектор τ̇ направлен по нормали к окружности. τ̇ = (− cos ϕ, − sin ϕ)ϕ̇ = ϕ̇n. k = 1/R — кривизна окружности. В этих обозначениях τ̇ = kvn.2Ускорение a = dvdt = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + kv n. Первое слагаемое aτ = v̇τ называется касательным, а второе2an = kv n — нормальным ускорением.NB. ϕ̇ не следует на экзаменах называть угловой скоростью! Это скорость изменения угловой координаты.1.1.2.

Движение по кривойЗадана пространственная кривая r = γ : R −→ R3 . γ(R) — траектория. Точка r(t) — неособая, если ṙ(t) 6= 0.Мы будем рассматривать движение только в неособых точках. В окрестности неособой точки отображениеr = 1.взаимно-однозначно. Можно ввести натуральный параметр s (равный длине дуги кривой) со свойством drdsddДалее обозначаем ′ = ds, ˙ = dt.τ = r′ — касательный вектор, |τ | = 1. Имеем v = ṙ = r′ ṡ = ṡτ = vτ .

v = ṡ. Итак, скорость при движении покривой такая же, как и при движении по любой окружности, касающейся данной кривой в данной точке.Дифференцируя по s соотношение hτ, τ i = 1, получаем hτ ′ , τ i = 0. k = |τ ′ | — кривизна кривой в данной точке.′Вектор n = τk называется вектором главной нормали к кривой. Плоскость Π = {r(t) + λτ + µn | λ, µ ∈ R} называется соприкасающейся плоскостью. Окружность радиуса ρ = 1/k, лежащая в соприкасающейся плоскостии касающаяся кривой в данной точке, называется соприкасающейся окружностью.2′′Вычислим ускорение: a = dvdt = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + kv n (последнее равенство верно в силу τ̇ = τ ṡ = τ v = kvn).Ускорение лежит в соприкасающейся плоскости.

Ускорение такое же, как при движении по соприкасающейсяокружности.Кривизна вычисляется по формуле k = |[a,v]|([·, ·] — векторное произведение): [a, v] = kv 3 [n, τ ], |[n, τ ]| = 1,v33значит |[a, v]| = kv .Вектор β = [τ, n] называется вектором бинормали. Вектора τ , n и β образуют ортонормированный репер,называемый трёхгранником Френе. Из книжек по дифференциальной геометрии можно узнать формулы Френе(первую мы уже доказали): ′ τ = knn′ = −kτ + ηββ ′ = −ηnЗдесь η — кручение кривой — определяется из этих самых формул Френе. Для η есть вычислительная формулаȧi(её мы тоже доказывать не будем): η = h[a,v],|[a,v]|2 .41.2. Кинематика твёрдого телаТвёрдое тело — система точек, расстояния между которыми неизменны.1.2.1.

Мгновенная угловая скорость. Формулы ПуассонаПусть в твёрдое тело вморожен ортонормированный репер O′ , eξ , eη и eζ (этот репер, в отличие от исходного,зависит от времени). Новые базисные векторы выражаются через старые: exeξ (t)eη (t) = A(t) ey ezeζ (t)Эта странная запись означает всего лишь, что eξ = a11 ex + a12 ey + a13 ezeη = a21 ex + a22 ey + a23 ezeζ = a31 ex + a32 ey + a33 ez3Здесь A = aij i,j=1 Матрица A (зависящая от времени) ортогональна (AAT = E, то есть AT = A−1 ) и сохраняеториентацию (det A = 1). Обратное преобразование записывается в виде: exeξ (t)ey  = AT (t) eη (t)ezeζ (t)Дифференцируя, получаем:Ω — кососимметрическая матрица: 0 =вид   eξėξexėη  = Ȧ ey  = ȦAT eη | {z }eζėζezΩddt E=dTdt (AA )0Ω = −ω3ω2= ȦAT + AȦT = ȦAT + (ȦAT )T = Ω + ΩT , то есть имеетω30−ω1−ω2ω1 0Вектор ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) (в базисе eξ , eη , eζ ) называется мгновенной угловой скоростью твёрдого тела.ėξ = ω3 eη − ω2 eζ = [ω, eξ ] (последнее равенство проверяется явно в базисе eξ , eη , eζ : eξ = (1, 0, 0), ω =(ω1 , ω2 , ω3 )).

Записывая аналогичные соотношения для ėη и ėζ , получаем формулы Пуассона:ėξ = [ω, eξ ]ėη = [ω, eη ]ėζ = [ω, eζ ]Из формул Пуассона следует (легко проверить), чтоω = hėξ , eη ieζ + hėη , eζ ieξ + hėζ , eξ ieη .Отсюда получается, в частности, что ω в самом деле вектор (меняется при заменах координат так, как надо).1.2.2. Распределение скоростей в твёрдом теле. Формула ЭйлераПусть в твёрдом теле заданы две точки A и B, в точке A вморожен репер eξ , eη , eζ . R — радиус-вектор точки−−→A, r — радиус-вектор точки B, ρ = AB.