П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 8

Сначала нужно перевести фунты (силы) в фунты (массы), Фунт силы это есть сила, сообщающая массе в один фунт фут ускорение в 32,17 сек" 38 анализ РлзмеРНОстей О пРименении ФОРмул РазмеРности 39 Т. е. фунт (силы) 32 17 Фунт (ассы) 1 фут. (1 сек.)» Далее: у, 660 00, 32 ?у ! Фунт (массы). ! Фут 1 фут 1 ( ! — тонны ( — милн!!» 32 ! у 660005280 '5280 ) 2 96» тони милы ! час» — час.: — час. 3600 ' ' 60 или в обычной форме 3,380 10 ?; =тонны милна часы Точно также ! 3 фут 3 5280 мили 45мван сек. ! 22 часы ~ сея.

илн 0,4889 У =тонныа мили' часы 1 Точно так же 1 а (! ем)» 6 2,!03 10 — » тонн-» (6214 10-» мили)» !1 сек.)» ! — час)» 1 1 3600 или 3,622 10а У = тонны» мили» асы г, Перепишем еще раа нашу систему уравнений: 3,380 10 У, = тонны» милна часы а, 0,4889 У, = тоиныа мили» часы ', 3,622 10' У =тонны» милна часы», Решаем уравнения относительно тонны, мили и часов, выра- жая их черев У„У, 1',.

Найдем сначала детгрминант показателей: 12 — 3 й= 01 — 1 =1 12 — 2 Получаем очень отрадный простой результат. На осиовании обгцего метода решения имеем: 1 тонна = (3,380 Х 10 У,)а (0,4889 У„) (3,622х10»?;)' ! Миля=( „) "( „)+ ( „)+ 1 чзс =( „) ~ ( ., )ч ( „) +1 или, упрощая, находим: 1 тонна = 15,16 ° !0»У» У», 1 миля =5,223 ° 10МУ1 ' У, У», 1 час =1,069 10'»У, ' Уа. Окончательно получаем: тоив. мили !5,!6 Х 5,223 Х 10 часы 1,0ЬО Х 10!» у, 'у„ = 1,112 Х 101»У 1 У ! = 1 112 Х 10'»в фут 3 сек. В атом и состоит искомый ответ.

Заметим, что з результате содержатся только две новых единицы вместо трех, выпало „2 Н. Р". Разумеется это возможно только в частном случае. Можно было бы думать, что этим обстоятельством следовало воспользоваться для сокрашения вычислений; это однако не так, все множители, свяаываюшие тонну, милю и час с новыми единицами, фигурируют в результате.

Следует сделать два замечания по поводу укаэанных преобразований. Во.первых, не всегда возможен переход от одной системы единицы к другой, необходимо чтобы выполнялось определенное условие, Оно состоит просто в том, что уравиения, выражающие единицы одной системы через единицы другой, должны иметь решение. Это условие равносильно тому, что преобразованные уравнения после логарифмирования имеют решение; еще иначе зто условие состоит в том, что система линейных уравнений имеет решение, т. е.

что детерминант коэффициентов этих линейных уравнений не равен нулю, Так как коэффициенты наших линейных уравнений (после логарифмирования) являются показателями в первоначальных формулах раз. мерностей, то наше условие равносильно следующему: детерминант показателей формул размерностей основных величин одной системы не долекен раенлтьсл нуля» е другой системе.

анализ ялзмяяностяй Поэтому, желая выполнить преобразование, мы должны сначала убедиться, возможно ли оно вообще, для чего нужно составить детерминант показателей. Если последний равен нулю, то преобразование невозможно. Это значит, что одна из новым единиц, на которых мы хотим построить новую систему измерений, не явлается независимой от остальных. Если бы, например, в нашей задаче мы взяли вместо,б эрг" в качестве третьей единицы новой системы „б дин", мы бы нашли, что детерминант равен нулю, и преобразование стало бы невозможным. Это ясно и из других соображений: лошадиная сила есть работа в единицу времени и имеет размерность произведения силы на скорость, поэтому предлагаемая третья единица, имеющая размерность силы, может быть получена делением первой на вторую еди.

нину, и, следовательно, зависит от них. Второе замечание состоит в том, что новая система единиц должна содержать такое же число основных единиц, как и пер. вая система, Если это не так, то, за исключением отдельных случаев, мы будем иметь большее или меньшее число уравненяй, чем требуется для выражения новых единиц через прежние. В первом случае решение неопределенно, во втором решения вовсе нет. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ П-ТЕ ОРЕ МА. Во второй главе мы видели, что формулы размерности всех величин, с которыми приходится иметь дело, могут быть прел- ставлены как произведения основных единиц в некоторых степенях. Перейдем теперь к рассмотрепию выводов, которые можно сделать ка основании этого относительно формы соотношений между различными измеримыми величинами явлений природы.

Во второй главе мы видели также, что зги функциональные соотношения могут, по крайней мере в некоторых случаях, помимо измеримых величин, содержать также так называемые размерные постоянные. Мы встретились с двумя такимн постоянными — постоянной тяготения и скоростью света в пустом пространстве — и приписали им также размерность. Очень существенно отметить, что формулы размерности втих постоянных были того же типа, как и у измеряемых величин, т. е.

они имели вид про. изведений основных. величин в некоторых степенях, Это не слу. чайность, но является правилом для любых размерных постоян-' ных, с которыми приходится иметь дело. Доказательство этого мы дадим позднее, получив несколько более отчетливое представление о природе размерных постоянных. Точно также позд. нее мы разберем и кажущееся исключение, так называемую логарифмическую постоянную.

Однако, уже теперь можно заметить, что один класс размерных постоянных должен быть несомненно указанной формы. Мы знаем, что эмпирическое уравнение, зксперимеитально проверенное измерениями в определенной системе единиц, может быть распространено на единицы любого размера, если к кажгой измеренной величине ввести множитель — размерную постоянную с размерностью, обратной размерности измеренной величины.

Поскольку формула размерности каждой изме. ренной величины есть произведение первнчныд величин в степе. анализ еазмввноствй П-теоевмь нях, постольку их обратные величины должны обладать таким же свойством, т. е. теорема доказана для данного специального класса размерных постоянных, Мы предположим, пока без доказательства, что это положение верно в отношении всех размерных постоянных.

Пусть имеется функциональное соотношение между некоторыми измеренными количествами и размерными постоянными. Предполагаем, что формулы размерности всех этих величин, включая и размерные постоянные, известны. Предположим далее, что соотношение имеет такой еид, который 4ормально остается неизменным при любом изменении размеров первичных единиц. Уравнение такой формы будем называть „полным" 1). Мы вплели, что вовсе нет необходимости, чтобы уравнение правильно и адекватно выражающее физические факты, было полным, хотя обратное положение делается почти всегда и часто считается основанием для проверки принципа однородности „физических" уравнений, Хотя адэкватнов уравнение не обязательно должно быть полным, однако, как мы вплели, каждое адекватное уравнение может быть очень просто сделано полным.

Таким образом предположение о полноте не является лля нас существенным ограничением, хотя оно и вызывает необходимость более тщательного исследования вопроса о размерных постоянных. Предпосылка о полноте уравнения абсолютно необходима для задач паигей книги, анализ размерностей применим только к ураеиениям такого типа. Следует заметить, что изменения первичной единицы в полном уравнении несколько ограничены.

Можно изменять только размер первичных единиц, но не их характер. Так например, полное уравнение, справедливое при любых изменениях размера первичных единиц массы, длины и времени, перестает быть верныи и теряет смысл для другой системы единиц, в которой первичными являются масса, сила, длина и время. Сделав этн оговорки, предположим, что мы имеем некоторое полное уравнение с определенным числом измеримых величин и размерных постоянных, справедливое для данной системы первичных единиц. Имея дело только с формулами размерности величин, входящих в уравнение, мы можем не различать измеримых величин от размерных постоянных, Обозначим переменные буквами а, ~), Т,...

и предположим наличие функционального соотношения: 1) Примечания сн. в конце главы, Смысл этого выражения состоит в том, что при полстановке чисел, являющихся мерой величин «, 'з,..., функциональное соотношение удовлетворяется. Мы применяем символ а как для обозначения самой величины, так и для ее численной меры, как об этом говорилось выше. Полнота уравнения зн чит, что функциональное уравнение остается справедливым при подстановке в него чксел, измеряющих а, р, Т».. в системе единиц, как угодно отличающихся по размеру от единиц основной системы.

Мы уже применяли метод, основанный на формулах размерности, для определения изменения той или иной величины при переходе к другим первичным единицам, Этот вопрос разбирался во второй главе. Назовем основные единицы т„т„т„... и обозначим размерности «через «„«„, «,, размерности" ,через р1 рг у«»- (относительно величин т„ т,, т„...), Увеличим размер основных единиц т1, гпы ., тг - в х1, хг, хз> и т.

д. раз. Тогда численные значения а, ~),... в новьпг единицах, которые мы обовначим через 'а', р'„., будут, как доказано в третьей главе; «'=(х," х,' ...) « ( х г 1 х г ~ ) Уравнение ь («, 8,...) = О является полным, оно должно выполняться поэтому и при подстановке «', 1«',... на место «, р...., т. е, 1р (а', р'„„,) = О (А) или ь (х,"х "'.„. а, х1г'хгг'...„р,....)= О. Это уравнение должно быть справедливым для всех значениИ х„х ...

Возьмем частную производную относительно х„положив,после дифференцирования все х равными 1. Мы получим следующее уравнение: „ „ а~ + б > де+ О, (в) Введем новые независимые переменные: 1 1 »» ~» гег лиллиз влэмзвиоствй Значение этой подстановки состоит очевидно в том, что величины а", ~Э"„... зависят только от первых степеней исходных первичных величин. Если какие-нибудь из величин а„ равны нулю, то соответствующие члены (В) выпадают и нет надобности в переходе к а", (т',.... При втой замене переменных уравнение (В) принимает вид: (С) Назовем через с" последиюю из п переменных а", ~1",...

и введем л — 1 новых переменных гм дз,...г„п являющихся отношениями а", р",.... к Е". Иначе говоря: а" = г, Е", ~" = ззЕ"„.. Е" = с" Г!одстаиовка в функциональное соотношение дает: э (а' р' "- Е')~~р (ггЕ', хзЕ',...Е'). Теперь можно показать, что функция с правой стороны равенства не зависит от Е".