П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 20

Число электровоз иа куб. ем. ие войдет, так как мы знаем из кинетической теории, что срелияя скорость электровоз ие зависит от их числа. Второе начало теРмодинамики также показывает, что плотиостк ввергли в полости есть функция температуры, ио ке плотности злектрои. ного газа. Тлвлицл 22, Формула размерности М1. 1Т ЬТ М МА):нТ з М~РТ-а Э вЂ” ' гвазвание величины Символ Плотиость ввергни .. Скорость света ...., Масса электрона ..

Заряд злектроив ... Абсолютная температура Газовая постояииав .. . и с е з д Поэтому результат пркиимает следующую форму: и = йве ~9вУ(й 6 т 'с з). Мы иич;го ие внаем о природе функции г. Однако, видно, что аргумент функции имеет определенное физическое значение, й бав 1 составляет половину квадрата скорости электроиа, поэтому аргумент в целом составляет квадрат отиошеиия скорости электрона к скорости света. В практической области температур это отношение остается чреэвычайио малым и, следовательио, иезависимо от формы функции иам известно, что перед нами фуикция весьма малого аргумента. Расспростраияя рассуждеиия, применявшиеся мами относительно числовой величины любых ковффициеитов, с которыми можно встретиться при аиалиэе Применяется обычная злектростатическая система единиц.

В задаче 6 переменных при 4 основных единицах, поэтому должиы существовать дза произведения без размерности, если только ие имеется специальиой связи между показателями. Поскольку иас интересует и, мы выбираем ее как члеи с показателем, равным единице в проиаведеиии. Обычным путем мы иа. ходам два произведения иевтв 6 ' и Дбш 'с '. 100 хнхлнэ глзмавноствй размерностей, можно утверждать с большей вероятностью, что числовое значение нашей функции практически имеет то же значение, как и для нулевой величины аргумента, т. е. что функцня может быть ваменена некоторой постоянной для всей практической области изменения переменнцх.

Поэтому можно ожидать, что результат булет иметь слелующую форму: и = сопз1 Ие 8~. б — единственная фнзнческая переменная правой стороны уравнения, поэтому можно написать; и = а84. Мы, разумеется, узнаем в втой формуле закон Стефана, оправдывающийся на опыте, Поэтому результат до и.вестной степени оправдывает наши упрощения. Наши соображения о размерах числовых коэффициентов позволяют предположить, что константа в первой форме результата не может быть нн слишком большой, ни слншком малой. Иначе говоря, полагая а=сопх1 Ь4е е, можно ожидать известной простоты результата, к которому привели бы конкретные математическне операции.

Льюис н Адамс обратили внимание на то, что в пределах ошибок опыта постоянная аакона С т е ф а н а может быть написана в следующей форме: Ф' и= —. (4ле)е ' Хотя (4ле)' далеко не малое число в смысле первоначальной формулировки Эйнштейна о вероятном критернн для числовых коэффициентов, тем не менее его можно считать малым если учесть значение показателей величин, с которыми он' ассо* цнирован. Нельзя отрицать, что результат обладает большой простотой н поэтому является вероятным, что укаэанный коэф* фнцнент может быть результатом математических операций, а не только случайной комбинацней элементов в формуле, которая правильна только в отношении размерности. Во всяком случае, каково бы нн было наше мнение о правильности аргументации, удивительны» характер результата остается в нашей памяти, н мы воздерживаемся от окончательного суждения до получения полного решення.

Точно также пянманвння к теогетичвской ензнка 101 периода ~еская система элементов существовала прн известной сдержанности суждения о ней до тех пор, пока пока не назрело полное решение. Слелует упомянуть, что Лоренц н его ученнки безуспешно пытались произвести детальный ана П нве рнведенные соображения дают повод к размышлению. Знаменательно, что квант лействия Ь не фигурирует в результате, хотя, повидимому, он нераздельно связан, с явлениями излучения, по крайней иере в веществе.

Мы знаем, что Ь входит в формулу для спектрального распределения энергии, нам известно также из термолинамнческнх рассуждений, что распределение энергии в спектре в полости, наполненной электронным газом, такое же, как н в черном теле, построенном иэ атомов. Поэтому в законе распределения энергии в спектре нашей системы должно фигурировать Ь. Значит лн это, что Ь может быть выражено через электронные постоянные, газовую постоянную и постоянные эфира, н что для объяснения Ь не требуется .никакого оого механязма, нам до снх пор неизвестного? Разумеется нЛьюис приравнял планковское выражение лляЬ написанному выше, для получения числового значения Ь на основании других постоянных 1).

Возьмем еще один пример прнменення анализа размерностей в теоретических исследованиях. Разберем возможность объяснения механических свойств вещества на основе спе. циальной формы силового закона между атомами. Можно предположить, что этот закон имеет следующую форму: Е=Аг +Вг ". А — всегда отрицательно и представляет притягательную силу,  — положительно и соответствует отталкиванию, становящемуся 8л%~ ) Кэхнтовэя теоРнх изхУченнх Дает (сР м Р)а и с К (Чдгщеенак)и ст . 1 а ипя стг. 83, 1921).

Приразннвая это значение выведенному д' в тексте, т.е. илл —, находим (4ле)' ' 3 32 ' "е~ Иначе говоря —,, оказывается постоянной вехичиноа, не слишком сильно отличающейсяот 1 (ср. прниечэние на стр. 96). Зх последние годы зта постоянная нграха большую роль в спекулятивных построенв дд в т о н а. прячем слелхна попытка ее теоретического выво ях Ьс да Эмпирически — = 137.3, по Э да и н г т о н у точно 137.

Прим. ред. (ой лнллиз РлзмВРноствй очень значительным при тесном сближении атомов. Атомы различных веществ могут отличаться по массе и по числовому значению коэффициентов А и В, но показатель и пусть будет одним и тем же для всех веществ. Предполагаем также, что температура настолько высока, что квант действия й не имеет с щественного значенкя в распределении энергии по различным су степеням свободы, но ччю для этого достаточно одной газовой стоянной. Внешние переменные, имеющие значение для свойств системы: давление и температура.

Если они ланы, то опрелелен объем н прочие свойства. Мы получаем поэтому такую таблицу переменных, на основании которых нужно определить любые свойства вещества. Тлел ицл 23 Формула размериоса4и МЬ !Т з М м(лт-'2-1 М| 21 — 2 М(."+ ' Тта Символ Название величины и+2 4 рд ч-Е'Вл — 2 л — 1 1 4 — 2В4 — чй6 Эти произведения сразу дают нам сведения о свойствах тел в тех случаях, когла давление и температура не являются независимыми, например, для кривых давления пара, кривых плавления или кривых равновесия между двумя аллотропнымн модификациями твердого тела.

При этих условиях мы имеем: л+2 4 ,е л — 1 1 рА "-'В"-'=У~А "-'В"-'66), давление........ р Температура . Масса атома .. ... ..... и4 Газовая постоянная .. .. . .. ., й А (из закона силы) ...... ., А . В „„........ В В добавление к этим величинам мы будем иметь то или нное свойство вещества, подлежаргее анализу. В таблице 6 величин при 4 основных единицах.

Поэтому нз этих переменных можно составить два произведения без размерности. Найдем нх. Олно из них выберем содержащим р, но не включающим 6, другое наоборот, так как р и 6 являются физическими переменными, находящимися в нашем распоряжении. Легко сразу найти эти произведения; пгиманения к твогвгической аизикв (оз где г одна и та же функция дая всех веществ, А и В меняются в зависимости от вещества. Наш анализ показывает поэтому, что если ввести новые переменные рС, для давления и 6 С, для температуры, то уравнения для кривых равновесия для всех веществ будут одними и теми же. Новые переменные давленая и температуры получаются перемножением обычного давления н температуры на постоянные факторы и могут быть названы и р и- введенными давлением и температурой. Уравнение Ван дер Ваальса является частным случаем такого уравнения, становящегося универсальным в приведенных переменных.

Рассмотрим теперь какое. нибудь иное физическое свойство вещества, которое желательно выразить через наши переменные. Мы лолжиы составить для этого новое произведение без размерности, содержащее рассматриваемую величину. Наиболее удобно выразить это произведение через величины и, й, А, и В, так как они физически не изменяются для данного вещества.

Выражение любой физической величины о точки зрения размерностей через эти величины всегда возможно, если только детерминант показателей я2, а, А и В не равен нулю. Это равенство как легко видеть, имеет место только в случае а = + з, т. е. в тривиальном случае олиого только притяжении. Поэтому в общем случае каждое физическое свойство, назовем его Я, может быть выражено в форме: и+2 4 а — 1 1 Я=сопя( Р(рА " 2В",А " 2В 66)' где сопя( может содержать т, л, А и В, но не включает р и 6 Опрелелим- как „приведенное" значение Я, Тогда мы приСОП21 холим к важному выводу о том, что для всех веществ этого типа уравнение, связывающее приведенное значение О с приведенными дачлением и температурой, одно и то же.

Это применимо не только к термодинамическим свойствам, но и ко всем свойствам, зависящим от той же структуры, например к теплопроводности или вязкости. Знание множителей, переводящих измеряемые величины физических переменных в „приведенные", позволяет вычислить А, В и и4 для рассматриваемых веществ, если только и определено из других источников. Из приведенного анализа видно, что единственное предположение относительно л состояло в том, что и не имеет размер- ости. Мы не пользовались до снх пор предположением, выска- 10Е анализ РьзмеРиостей пгимгиения к теоРетической Физике 105 ванными вначале, что и олно и то же для всех веществ.

От него, следовательно, можно отказаться, и мы приходим к следующей теореме: для зсгх веществ, сззйстза которых определяются атомами с массой т и с законом ззаимодейстзия Аг +Вг для любых значений А, В и п существует закон соотзетствекных состояний для всех физических свойств. Разумеется можно повторить те же рассуждкния, заменив внешние переменные р и 6 любыми двумя другими, подходящими для нашей цели, например, некоторыми термодинамиче. скими потенциалами.