П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 19

Формула размерности Т М 1 1.ТБ 1 — 3 'М Символ Название величина Характеристическая частота Сжимвемость Число атомов в нуб, ем Масса атома . Должно сушестепзать одно произведение без размерности относительно этих величин. Оно равно Кч'7и 'т. Поэтому окончательный результат имеет вид: К = сопз1 ч гччГ нт Возьмем числовые величины, относящиеся к какому-нибудь действительному веществу, и, подставив в уравнение, найдем значение постоянной. Для меди К=7 10 ', ч = 7,Ь. 10'", т = 1,Сб 1О и М= 7,5 10'. При подстановке этих чисел получаем 0,18, т.

е. величину порядка единицы в согласии с предположением. Конечно, в настоящее время этот результат представляет только исторический интерес; как основа теории теплоемкостн твердого тела Дебая, он памятен блестящим подтверждением на опыте. Другой пример аргументации такого рода относительно ве. личины постоянных дан Джинсом (2). Вопрос заключался атом, переживала ли Земля за время своей истории состояние гравитапионной неустойчивости и имела лн зта неустойчивость какое-нибудь действительное отношение к ходу эволюции.

Прелварительное исследование го методу размерностей показало Джинсу, какова лолжна быть форма связи между такими переменными как средняя плотность, радиус, упругие постоянные и пр. в момент гравитационной неустойчивости. Последующая подстановка числовых значениЯ для Земли дала коэффициент порядка единицы. Это предьарительное рассмотрение. таким образом, показзло наличие основания в предположении о роли гравитационной неустойчивости в истории Земли.

На этой основе иожно было приступить к детальному исследованию проблемы. Рассмотрим еше пример такой же аргументации, на этот раз с отрицательным результатом. Попытаемся построить электро, инамическую теорию тяготения, полагая, что гравитационное поле, связанное неизвестным нам образом со свойствами элек- пгимвнвния к таоввтичвской оизикв 97 96 АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ трона, может быть получено применением электродинамических уравнений поля. В этих уравнениях имеется одна размерная постоянная с, отношение электромагнитных единиц к электроста. тическим.

Известно, что с имеет размерность скорости и чис. лепно совпадает со скоростью света. В поисках предполагаемой связи мы рассматриваем заряд и массу электрона, характеризующие его свойства, скорость света и гравитационную постоянную. Производим анализ.

ТАБлицА 20. Название величины Символ Постоянная тяготения.... 6 Заряд электрона . .. , . .. е МА 1.АТ Масса электрона....... Ач М Скорость света ...... с ЬТ У нас четыре переменных и трн основных единицы, следо. вательно мы ожидаем единственное произведение без размер. ности. Это очевидно О т а , скорость света в гипотетиче.

2 — 2 ское соотношение не входит. Окончательный результат имеет многозначительную простую форму: О=солж Подставляем числовые значения: О =6,658 10, — = 5,3 ° 10, следовательно постоянная равна 2,35 10 — 43 Постоянная оказывается непозволительно малой, и мы отказываемся от предполагаемого соотношения, хотя простота размерного соотношения и останавливает внимание 1). ' Таблица, положенная в основу рассуждения, не полна, ие включен .спин' электрона равный - — (Л- квантовая постоянная), оп- 1 и 2 2о реаеляюший магнитные его свойства.

добавление .спина' дает простор составлению других произведений бев равмерности, связанных или весввэаияых с постоянной тяготения, например ех~зе 1величяяв порядкв10 ) Лсш д '(величяяв порядка 10 ~~) н т. д, Составляемые проиввеленяя оказываются или весьма далекими ог елнницы по числовому Значению, или же блиэвиыи к ией (например — ), но имелс 2вяе ' юшяыи размерность, Прин. рад. Поэтому идентичность формул размерности не должна считаться априорным показателем существования физической связи. При существовании стольких разнообразных видов физических величин, выраженных при помощи немногих основных единиц, вполне возможны всякие случайные соотношения между ними.

Без дальнейшего исследования нельзя сказать, реально размерное соотношение или случайно у Так например, сам по себе факт совпадения размерности кванта действия и углового момента еще не дает права предполагать наличие механизма, объясняющего квант тем или иным вращательным движением. Обратное утверждение, однако, всегда справедливо. Если существует истинная физическая связь между некоторыми вели. чинами, тогда имеет место и соотношение размерностей.

Этот вывод может служить полезным орудием исследования. Рассмотрим задачу, показывающую, что всякое действительное флзическее соотношение предполагает и размерное соотношение. Предположим, что мы пытаемся построить теорию теплопроводности и разыскиваем связь между механизмом теплопроволности н механизмом, определяющим обычные термодинами. ческне свойства вещества. Эти свойства можно конкретизировать как сжимаемость, тепловое расширение, удельную теплоту (все ч на единицу объема) и абсолютную температуру. Если только эти стороны механизма, Регулирующие термодинамические свойства, одновременно определяют и теплопроводность, тогда возможно найти размерную связь между термодинамическнми эле.

ментами и теплопроводностью, Формулируем залачу. ТА вл и цА 21. Название величины Симла, оРмУла рилмерногхчи Теплопроволиость ......., Р МЬ в 6 ' Сжвмаемость ва единицу массы... а М ~Ьч)~ Тепловое расширение ив единицу массы.....,...... ) М 'Ьвб ' Удельная теплота на единицу массы с ЬЗТ 2 Э Абсолютвав температура..... 3 е Надо найти произведение без размерности из этих переменных. У нас пять, переменных н четыре основных единицы, поэтому можно ожидать единственного произведения без размерности. Нас интересует (х, полагаем поэтому показатель его в произведении равным един"це.

Произведение имеет вид: р„'ЛзстЕ Вв,в ычи. пРимеизиия к тзогзтичхской Фиэикз 98 амалия РазмвРиоотвй Пробуем определить показатели обычным путем. Мы встре- чаемся, однако, с затрудиеиием: уравнения оказываются ие совместными друг с другом. Мы проверяем зто, составляя дэ- термииаит показателей в.формулах раэмеркостей а, ),, с, и 0. Детерминант оказывается равным нулю, т. е. произвеаеиия без размерности ие существует. Поэтому можно заключить, что ги- потетической связи между теплопроводиостью и термодииами.

ческими свойствами иет, и твердое тело должно обладать еще другими свойствами помимо тех, которые достаточны для термо- дииамики, Переходим к простому анализу проблемы излучеиия черного тела. Более подробно аадача рассмотрена у Джииса(З), Статья Джииса интересна также тем, что ои пользуется системой электрических единиц, в которой диэлектрическая постоянная пустого пространства вводится в явной форме, Легко видеть, однако после некоторого размышления, что ои получил бы тот же результат и с системой единиц, в которой диэлектрическая постоянная пустого пространства определеиа как единица. Рассмотрим полость со степками, ие имеющими никаких специфических свойств и полностью отражающих всякую пада- „ющую радиацию.

Внутри полости находится разрежеииый эле- ктроииый газ. Вели газ раэрежеи достаточио, то мы внаем из рассуждений, аналогичных тем, которые приведены Ричард со. ком при рассмотрении термоиоииой эмиссии, что электроиы ведут себя подобно молекулам идеального газа. Эффектом про- страиствеииого распределения заряда можно пренебречь в срав- иеиии с силами, определяемыми столкновениями частиц. Пусть зле ктроииый газ з пойости находится при температуре 6. На злектроиы действуют силы двух родов: силы столкновения с лругими злектроиами, природа которых такая же, как у ато- мов в обычной кинетической теории и силы поля радиации в зфире.

Электроны постоянно ускоряются, поэтому оии ие- прерывно излучают и поглощают зиергию иззфириого поля ра- диации. Система должна рано или поэдио придти в равновесие, достигая некоторой плотности зиергии в эфире, причем электро- иы должны обладать кииетической эиергией, свойственной ато- мам газа при температуре полости, Подробное решение задачи требует, разумеется, весьма сложного статистического аиализа, ио и аиализ размериостей приводит к некоторым заключеииям о форме результата.

Решая вту задачу, мы должны пользоваться уравнениями электродинамики, следовательно, скорость светавойдет как раэ- мериая постоянная в результат, Нужно учитывать заряд, массу электрона, абсолютную температуру и газовую постоянную, определяющую кинетическую зиергию дзижеиия злектроиа, как фуикцию температуры.