П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 18

Это возможно потому, что нам известна пропорциональность сопротивления квалрату скорости, а модельный опыт дает значение фактора пропорциональности. Единственный сомнительный пункт предлагаемого приема заключается в том, возможно лн постигнуть с моделями скоростей, достаточных для определения асимптотического значения. Опыт подтверждает эту возможность. Тот факт, что при скоростях современных аэропланов со. противление становится пропорциональным квадрату скорости, показывает на основании анализа,'что вязкость перестает играть доминирующую роль. Это значит, что вся работа перемещения аэроплана тратится на создание воздушных вихрей.

В анализе независимость от вязкости и полная турбулентность рассматриваются, как эквиваленты. Эта точка зрения на явление подтвер. ждается опытом с различных сторон. Рассмотрим возможность осуществления модельных опытов в лругнх средах, помимо возлуха. Выбрав в качестве среды лля модели воду, мы должны дать модели такие размеры и скорость, чтобы — для модели равнялось --- для оригинала. Лля волы н а гчг1 9 — 10 , я' = 1, в то время как для воздуха 9 = 1,7 10 и и' = 1,29 10 (при комнатной температуре).

При поде|а-з новке этих значений мы получим, что И7 лла модели должно составлять около 1!, той же величины для оригинала. Этот фактор полходит лля сокращенных размеров модели, однако прн этом модель должна бы двигаться в воде с такой же скоростью, кзк оригинал в воздухе. Такие большие скорости в воде за. труднительны и поэтому, повидимому, нет преимущества применения волы в сравнении с воздухом при пользовании вышеуказанным приемом. Перейлем теперь к еще ббльшим скоростям, как например скорость снаряда, которая может быть больше, чем скорость звука в среде.

Прн этом среда с трудом успевает разойтись перед телом, и возникают эффекты нового хагактера. При таких скоростях вязкость совершенно исчезает нз результата, который теперь принимает форму: 77=от(еФу'(- -, гп гм...). Если лля этих условий производить модельный опыт, то ясно, что модельный снаряд лолжен иметь форму оригинала, н помимо того — должно иметь одно и то же значение лля модели и оригинала. Если мо".ельный опыт производится в возлухе, то и' для модели будет тем же самым, как и для оригинала, следовательно и и должно быть такое же.

Иначе говоря, оригинал и модель лолжны двигаться с одинаковой скоростью. При этих условиях формула показывает, что сопротивление пропорционально поперечному сечению снаряда. Требование равенства скоростей модели и оригинала практически озяачает, что молельные опыты нужно производить также с действительными снарядами, но меньшего калибра.

92 лиллнз Рлэмвгностай Можно пытаться избежать этого затруднения, проивводя опыт в другой среде, например в воде. Но скорость звука в воде, примерно, в пять раэ больше чем в воздухе, следовательно потребовалась бы скорость снаряда, в пять раз превосходящая скорость снаряда в воздухе, требование — явно неосуществимое.

Помимо применений к модельным опытам, результаты анализа размерностей могут быть применены и к другим техническим областям. В Бюро станлартов они многократно применялись при изучении различных видов технических инструментов, Группа инструментов, предназначенных лля одной и той же цели, имеет много общих черт, и часто возможно произвести детальный анализ, применимый ко всем инструментам ланного типа. Анализ размерностей дает некоторые сведения о возмож. иых результатах такого детального анализа, и на основании свойств одного инструмента можно сделать выводы, касающиеся лругих инструментов несколько иной конструкции.

Этот вопрос разобран с большой полнотой и рядом примеров в цитированной ниже яторой работе Г е р се я. ЛИТЕРА ТУРА. Применения аиаляза размерностей к техяпческим задачам можно найти в следующих статьях: О. Кеу по! 6 в, РЬП. Ггапв. Коу. Зос. 174, 935, 1883. К ау! с!6Ь. РЫ1. Май. 34, 59, 1892 и 8,66 1904. Е. Вись!папаш, Рпув. Кеу. 4, 345, 1914; Тгапв. Аишг. Зос.

МесЬ. Еий. 37, 263, 19!5; Епй!пеег!пя, Март 13, 1914. Е. Вас й!пдЬа,ш апй 1. 6. Еагу агдв. 5с!еп!. Рарегв о! Впгеапо! 5!апй. М 359, 1920. М. О. Нега е у. Лонги. %авЬ. Асай. 6, 569, 1916; Зс!еп!. Рар, о! Впгеап о! 5!апй. лэ 331, 1919; Аегопап!!са! !йвггпшеп!в С!гсщагв о! !Ьс Впгеап о! 8!лиг!агав .ьз 30, 1919 и М 32, 1918.

%. 1. Сова!еу апд Н. Ьеуу. Аегопапнсв ш ТЬеогу аид Ехрег!. |пел!. 1.оикшапв, Огееп аий. Со, гл. 1Ч, !918. Е. В. Ю 1!в оп., Аегопапцсв, !опп Ц!нег апй Зоил, гл. 11, 1920. Г. М егйе!. Ой!иййеве!ге пег %йгтсаЬег!гадипй.Ьгевйеп и. 1.е!рмй. сгр, 21, !927. цг. 8 о ! 6 а и. ОЬег Оевспву!пй!ййе!!в1огше1п. М!г!ей, 6. Ьапйевапв!л!! 1. Оетгйввег!гппйе ппг! Напр!п!уе!1ешепгв !и Ргеиав. М!пЬЬ 1. !.апй!у!ггвсиа!1, Оошйпеп ппб Рога!еп. Том 1г!1, тегр. 1, 1931. К.

Евпап!-Ре1!ег!е. 5ш Гарр1!саноп пе Гапв1уве гншепяопс!!с а !'е!пде де Гесоп1еп\еп! !пгЬп1еп!. С. К. 196, 1963, 1933. в оп Кй г ш а п. ОВН. Хаспг. 547 (19!2), см. также АЬЬапд1пийеп апв деш АегойуЪаш!вспеп 1пв!цп! ап лег Теспп!аспеп НосЬвсна1е. АасЬеп. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПРИМЕНЕНИЯ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ К ТЕОРЕТИЧЕ- СКОЙ ФИЗИКЕ. Методы анализа размерностей должны играть более важную роль в теоретическом исследовании, чем это имело место ло сих пор.

Ни олин исслелователь не должен бы позволять себе переходить к детальному решению задачи, не произведя предварительного анализа размерностей, касающегося характера решения, и не убедившись обращением к данным опыта, что точка зрения, положенная в основу составляемых уравнений, допустима. Вероятно наибольшее затруднение в теоретических задачах вызывал вопрос о размерных постоянных.

Но именно в области теоретических исследований скорее всего можно ожидать появления размерных постоянных. Не имея ясного представления о природе этих постоянных ы о том, когда следует ждать их появления, естественно сомневаться в применимости метода. Но после разбора иа предшествующих страницах вопрос о размерных постоянных может без затруднений решаться в любых специальных задачах. Неопределенность числового фактора пропорциональности также часто воспринимается как недостаток анализа размерностей, однако, во многих теоретических задачах часто возможно получить сведения о порядке величины результата. Наше рассмотрение анализа размерностей показывает, что числовые коэффициенты в конечном результате суть итоги математических операций над подлинным уравнением движения (в общем смысле) системы. Известно, однако, на основании большой практики, что такие математические операции не проводят к появлению ни очень больших, ни очень малых числовых факторов.

Большие и малые числа в наших уравнениях почти всегла являются итогом подста- 94 АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ новок числовых значений некоторых физических величин, например числа атомов в кубическом сантиметре, электростатического заряда электрона или скорос~и света. Если сохранить за этими величинами буквенное обозначение, то, применяя анализ размерностей, можно рассчитывать на то, что остальные числовые коэффициенты не будут большими илн малыми. Это наблюление можно и обратить.

Предположим, что мы полозреваем наличие связи между некоторыми величинами, но еще не достаточно знаем физическую систему, чтобы написать соответствующее уравнение, или даже не уверены в том, какие элементы должны войти в уравнение. Мы предполагаем, что между некоторыми величинами существует соотношение, а затем при помощи анализа размерностей находим форму этого соотношениа. Подставляем затем в соотношение числовые значения физических величин и таким образом находим числовую величину неизвестного коэффициента.

Если этот козффнциет имеет величину порядка единицы (что иногда, при достаточной снисходительности, может означать только, что коэ(фициент не является величиною порядка 10 ), то полозреваемое соотно~а шение считается правдоподобным, и мы продолжаем работать в этом направлении, разыскивая точную связь между элементами.

Если, наоборот, коэффициент оказывается очень большим или очень малым, мы отказываемся от нашего предположения, как невероятного. Изложение этого метола и один интересный пример были даны Эйнштейном (1) на заре изучения удельных теплот твердых тел и связи их с квантовыми явлениями. Вопрос заключался в том, не служат ли междуатомные силы, определяющие обычные упругие свойства твердых тел, также н силами, от которых зависят характеристические частоты в инфра. красном спектре. Это предположение, разумеется, имело важное значение для всей концепции сил в твердом те,е и для вопроса о природе тепловых и оптических колебаний. Для грубого, приближенного анализа можно представить себе твердое тело, как чередование атомов, расположенных по вершинам кубов.

Для анализа нам, очевидно, нужно знать массу атомов и нх расстояние друг от друга (нли число атомов в муб. см.). Далее, если наше предположение о природе сил правильно, то эти силы достаточно характеризовать некоторой упругой постоянной, в качестве каковой выберем сжнмаемость, Эти элементы достаточны для определения инфракрасной характеристической чзстоты. Производим обычный анализ задачи ТАБЛИЦА 19.