П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 11

Мы назвали их размерными постоянными. В реальных случаях мы интересуемся только физической задачей и стремимся найти связь между физическими переменными величинами. Размерные постоянные должны рассматриваться только как неизбежное зло, терпимое постольку, поскольку они спо обствуют получить нужные сведения о физических переменных. Итак мы видим, что П-теорема применяется к аггрегату физических переменных и размерных постоянных, причем нас интересуют прежде всего только физические переменные.

Если число размерных постоянных столь велико, что число аргументов произвольной функции, допустимое П -теоремой, равно нли больше числа одних физических переменных, то применение П -теоремы ничего не дает. Мы уже вилели, что в наихудшем возможном случае число рвзмерных постоянных не может превышать числа физическйх переменных, ибо любое эмпирическое уравнение может быть сделано полным введением по одной размерной постоянной на каждую физическую переменную. Далее почти всегда число фи.

зических переменных равно или больше чем число первичных елиниц. Поэтому, если число размерных постоянных равно или больше числа физических переменных, то число произведений без размерности больше или равно числу физических перемен. ных. В общем случае П -теорема не дает, следовательно, новых сведений. Поэтому крайне важно свести до минимума число размерных постоянных в уравнении.

Когда же следует ожидать размерных постоянных и каким обГазом в конкретной задаче узнать, что они собою представляют и каковы их формулы размерности? Ответ тесно связан с выбором таблицы физических величин, между которыми мы РАзмеРные постоянные и чнсло единиц 55 54 АнАлиз РлзмеРностей ищем связи. Мы уже видели, что недостаточно спросптьл „Зависит ли результат от той илн другой физической величины", Мы видели, например, в одной задаче, что хотя результат несомненно зависит от действия атомных сил, однако мы обошлись без включения их в наш анализ, и они не вошли в функциональную зависимость. Ответ на вопрос о том, какие переменные следует включать, требует большой физической опытности, Если мы хотим разобрать некоторую проблему метоламн механики, мы должны иметь достаточную уверенность, что задача действительно механиче.

окая и не содержит элементов, по существу не разрешимых при помощи обычных уравнений механики. Мы должны понять, какие стороны явления могут быть оставлены без внимания, а какие, наоборот, существенны для данного вопроса, Никто, конечно, не скажет, что в механической задаче атомные силы не имеют значения, но опыт показывает, что эти силы слагаются в некоторые комплексы, лостаточно характеризуемые анализом, не опускающимся ло рассмотрения деталей.

Результаты такого анализа, пренебрегающего многими даже существенными сторонами положения, имеют силу при некоторых условиях, не слишком стеснитеЛьных. Опытность, проявляемая в суждениях такого рола, простирается столь далеко, что мы почти инстинктивно внаем, доступна ли данная задача механической трактовке, или нет. Если задача поддается механическому решению, мы знаем уже по самому определению смысла механической системы, какого рода уравнения соотвегствуют движению составных частей системы и какова форма этих уравнений.

Точно также по инстинкту мы угадываем, является ли система термодинамнческой, электрической или химической, и в кажлом случае, зная смысл утверждения о той или иной прироле явления, мы предусматриваем законы, управляющие из. менениями системы, и элементы, которые нужно принять во внимание при формулировке соотношения. Потребовалось огромное накопление опыта нескольких поколений, прежде чем стало возможным сказать, что ланная конкретная группа явлений есть механическая, электрическая или даже вообще физическая. Я полагаю, что в сущности те же сведения, которые требуются для решения вопроса о механической и электрической природе системы, нужны и для анализа размерностей, Этн сведения подсказывают нам прежде всего, какие физические величины должны бытв включены в таблицу и затем позволяют определить, какие размерные постоянные требуются в данной задаче, Забудем на минуту все, что мы внаем об анализе размерностей и представим себе, что мы подходим к новой проблеме.

Прежде всего, на основе накопленного веками опыта мы решаем, какова природа проблемы. Предположим, что мы решили, что перед нами механическая задача. Мы знаем более того, что движение системы управляется законами механики, и нам известны самые законы. Мы выписываем определенные уравнения движения системы. Мы заботимся о включении всех уравне. ннй движения, так что система уравнений, при помощи которой устанавливается связь между частями системы, имеет единственное решение. Мы убеждены, на основании нашего прежнего опыта, что в существенном нами представлены все элементы задачи, что наши уравнения соответствуют действительности по крайней мере в отношении некоторых сторон явления и что решение уравнений правильно опишет свойства разобранной нами системы, Предположим, что мы не ошиблись.

Факт выполнения наших предсказаний значит только то, что мы овладели некоторой группой явлений природы. Проницательный наблюдатель (таким исторически впервые' оказался Ф у р ь е (1) Замечает, что уравнение, посредством которого анализируется связь между частями системы, выражается в общей форме, остающейся справедливой при изменении размера основных единиц. Например уравнение, утверждающее, что сила, действующая на ту или иную час1ь нашей механической системы, равна массе, умноженной на ускорение, справедливо для любых основных единиц, потому что в каждой системе елиниц, применяемой для механических целей, единица силы определяется именно так, что выполняется указанная с.язь силы, массы и ускорения. Любое из основных уравнений движения является в том же смысле полным.

Окончательное решение по. лучается из уравнений движения чисто математически, без какого. либо отношения к размеру основных единиц. Отсюда слелует вообще, что окончательный результаг тоже будет полным, т. е. уравнение, выражающее окончательный результат есть полное уравнение. Таким образом анализ размерностей может применяться к результатам, получаемым прн решении уравнений движения.

(Мы говорим об уравнениях движения в общем смысле, применяя их к термодинамическим, электрическим, так и механическим системам). Аргументами функции, которую мы окончательно полу- анализ елзмвеностгй 56 еазмвеныя постоянныв н число вднниц чаем, решая уравнения движения, могут быть очевидно величины, положенные в основу первоначальных уравнений движения, ибо математические операции сами по себе не могут ввести новых аргументов. В частности размерные постоянные окончательного результата должны быть теми жг и только теми же, которые фигурировали г ураангниях движения. В этом ася сущность вопроса о размерных постоянных. В отношении формул размерности размерных постоянных мы можем только опираться на опыт, показывающий, что все такие постоянные имеют форму произведений основных величин в некоторых степенях.

Небольшое размышление показывает, однако, что любой закон природы может быть выражен в форме, в которой формулы размерности постоянных будут относиться именно к этому типу, Для этого нужно воспользоваться уже известным нам приемом, вводя размерные постоянные в качестве множителей при измеряемых величинах таким образом, чтобы достигнуть полноты уравнения, Поэтому мы принимаем в дальнейшем, что уравнения движения (выражающие законы природы, управляющие явлениями) уже приведены к такой форме, что размерные постоянные относятся к указанному типу. Легко видеть, что это не вносит никаких реальных ограничений. Отсюда ясно, что анализ размерностей ло своему существу есть анализ анализа.

Мы должны лостаточно понимать ситуацию, чтобы судить об общем характере проблемы и об элементах, которые должны быть введены при составлении уравнений, определяющих движение (в общем смысле) системы. Зная характер элементов, можно получить некоторые сведения о необходимых свойствах соотношений, которые могут быть выведены путем математических манипуляций с элементами. Мы можем доверять результатам, поскольку достоверны наши сведения о законах природы, с которымн приходится иметь дело в задаче. но результаты не могут содержать чего-либо, не имеющегося в уравнениях движения, и ни чем не отличаются от прочих наших знаний. Эти результаты приближенны настолько же, насколько приближенны законы движения. Такое огра. ничение определяется самой сущностью наших знаний. Применяя анализ размерностей, нельзя задаваться вопросом: „От каких величин зависит результат", ибо этот вопрос никуда не приведет и непозволителен.

Вместо этого надо представить себе, что мы действительно составляем уравнения движения по крайней мере до такой стадии, что э состояний перечислить ие элементы. Нет надобности фактически составлять входящие элемен ы. стей уравнения и ения и тем более их разрешать. Анализ размерносте дает тогда определенные сведения о необходимом характере результата. В этом несомненное преимушество метода, ибо его результаты примен применимы к таким сложным системам, для которых мы не в состоянии написать уравнения движения со всеми деталямн. Необходимо особенно подчеркнуть, что результаты анализа размерностей не могугп быть применены к системам, смазные законы которых до сих пор не выражены в ф,иг независимой от размера основных единиц.