А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике, страница 7

. . , n), а силы F j приложены в точках Mj′(j = 1, . . . , m).Определение. Система сил {Fi , Mi } называется эквивалентной системе сил Fj′ , Mj′ , еслиXFi =X′иFjX[r i , F i ] =X′′[r ′j , F j ] где ri = SM i , r′j = SM j .Замечание. Внутренние силы, действующие на ТТ, эквивалентны нулевой системе сил.Лемма 3.13. Если ТТ находится в однородном поле тяжести, то силы тяжести, действующие на тело, эквивалентны одной силе mg, приложенной в центре масс S тела.

В самом деле, пусть r i = SM i . ТогдаhXiXXmi g = mg,[ri , mi g] =mi r i , g = 0,что и требуется. Замечание. Существуют системы сил, не приводимые только к равнодействующей. Пример: пара сил (это название такой системы сил) F 1 + F 2 = 0, M = [r 1 , F 1 ] + [r 2 , F 2 ] 6= 0. Линиидействия двух сил параллельны, силы равны по величине и противоположны по направлению,приложены к разным точкам: [Рис. ?].Замечание. Любая система сил, действующих на ТТ, может быть приведена к любой точкеP тела в виде F и M P (то есть к равнодействующей и паре).Замечание. В центральном поле, вообще говоря, приведение системы сил к центру масстаково: равнодействующая F и пара M S 6= 0.Пример 2.1. (поле Ньютона): Пусть A и B две точки, принадлежащие прямой l с массамиm1 = 1 m2 = 2 соответственно. А силы F A и F B , действующие на эти точки направлены вдольпрямых AO и BO соответственно к точке O и являются центральными.

Тогда равнодействующая не проходит через центр масс. (Это простое упражнение по геометрии и оставляется насамостоятельное решение).(e)(e)Теорема 3.14. Ṫ = (F , v S ) + (M S , ω).11(e)(e)T = mvS2 + (JS ω, ω) ⇒ Ṫ = (mv̇ S , vS ) + (JS ω̇, ω) = (F , v S ) + (M S , ω).223.2.6. Динамика твердого телаI. Вращение ТТ вокруг неподвижной оси. Пусть l — ось вращения, Oξηζ и Oxyz — неподвижная и «вмороженная» в ТТ системы координат соответственно.

Oζ = Oz. В точках Oи P — шарниры. Больше сил никаких нет. Пусть точка означает дифференцирование по t вподвижных осях. Имеемv o = 0, vp = 0, ω = ϕ̇ez ≡ ϕ̇eζmv̇ s + [ω, mv s ] = F + Ro + Rp ,JO ω̇ + [ω, JO ω] = M o + [OP , Rp ],v s = [ω, OS],ω = ϕ̇ez ;34Эта система уравнений движения ТТ.vs = ϕ̇[ez , (aex + bey + cez )] = ϕ̇(aey − bex ),[ω, vs ] = ϕ̇2 [ez , aey − bex ] = −ϕ̇2 (aex + bey ).v̇ s = ϕ̈(aey − bex ),Тензор инерции:Jx −Jxy −JxzJy −Jyz JO = −Jxy−Jxz −JyzJzJO ω = −ϕ̇(−Jxz ex − Jyz ey + Jz ez ),[ω, JO ω] = ϕ̇ [ez , −Jxz ex − Jyz ey + Jz ez ] = ϕ̇2 (−Jxz ey + Jyz ex );2OP = hez ,[OP , Rp ] = h[ez , Rpx ex + Rpy ey + Rpz ez ] = h(Rpx ey − Rpy ex ).С учетом полученного система перепишется в виде2mϕ̇(aey − bex ) − mϕ̇ (aex + bey ) = F + Ro + Rp ,JO ϕ̈ez + ϕ̇2 (−Jxz ey + Jyz ex ) = M o + h(Rpx ey − Rpy ex )vs = [ω, OS],ω = ϕ̇ez ;Первые два уравнения в проекциях на ось Oz дают0 = Fz + Roz + Rpz ,Jz ϕ̈ = Moz ,Moz (ϕ, ϕ̇, t)Из последнего уравнения находится закон движения ТТ.

Остальные 5 уравнений служатдля нахождения реакций.Rpx , Rpy , Rox , RoyЕсли в точке O находится сферический шарнир,в точке P — цилиндрический шарнир, тоRox ,Roy ,Roz ,Rpx ,Rpy ,Rpz = 0.Без указания конкретной реализации закрепления точек O, P реакцию определить нельзя.3.2.7. Физический маятник: ТТ в однородном поле тяжестиПусть ось Oz направлена горизонтально, ϕ — угол между вертикалью направленной вниз(вектором g) и OS, a = OS.mgaJoz ϕ̈ = −mga sin ϕ, ϕ̈ = −sin ϕ.(1, 1′)JozЭто уравнение совпадает с точностью до обозначений с уравнением движения математического маятника:(1’)⇔(2) при l =Jozmagϕ̈ = − sin ϕ.l— приведенная длина физического маятника.Joz = Jsz + ma2 = m(a2 + ρ2s ),Jsz = mρ2s ,ρ2l = a + s > a при ρ 6= 0.aρ2SO ′ = b = s ,OO ′ = l.a35(2)ρs называется радиусом инерции.

Период малых колебаний: τo = √2π .l/gТеорема 3.15 (Гюйгенс). Период малых колебаний физического маятника не изменится,если его подвесить на оси O ′z. (Точки O и O ′ — взаимны). l′ — приведенная длина физического маятника, подвешенного на оси O ′ z. Тогдаl′ = b +ρ2ρ2ρ2s= s + 2 s = l ⇒ τo′ = τo .baρs /a3.2.8. Плоско-параллельное движение ТТOxy — неподвижная плоскость, Sξη — жестко связана с плоской фигурой (телом).

S — центрмасс.(mr̈ s = F ,Jsz ϕ̈ = Msz ;В проекциях на оси x, y и естественные оси τ, ν для центра масс S имеем((mv̇ = Fτ ,mẍ=F,x(1′′ )(1′ )v2=F;mmÿ = Fy ;νρ3.2.9. Задача: Диск на наклонной прямойПусть однородный диск массы m и радиуса r скатывается (или соскальзывает) под действием силы тяжести mg по наклонной прямой с углом наклона α. Направим ось x вдоль прямой,а y по нормали. ys = r ⇒ R = N + T = Ney − T exmẍ = mg sin α − T, (1) SmÿS = −mg cos α + N, (2)2m r2 ϕ̈ = Ms = T r,yS = r?Необходимо еще одно уравнение, чтобы система была разрешима, так как неизвестных 5штук: x, y, T, N, ϕ. Его можно получить в одном из следующих частных случаев:a) T = 0 (диск свободно скользит без трения).ẍs = g sin α,ϕ̈ = 0,yS = r,N = mg cos α.b) ẋS = r ϕ̇ (скольжения нет).mr ϕ̈ = mg sin α − T,22gẍS = g sin α, ϕ̈ =sin α,33rc) T = f N (сухое трение).mr ϕ̈ = 2TyS ≡ r,1T = mg sin α.31N = mg cos α, T = mg sin α.3⇒mẍS = mg sin α − f mg cos α(N = mg cos α)c1 ) f mg cos α > 13 mg sin α Тогда скольжения нет и этот случай эквивалентен случаю b)c2 ) f < 13 tg α ТогдаgẍS = g sin α − gf cos α, ϕ̈ = 2f cos α, yS = r;rN = mg cos α; T = f mg cos α.363.2.10.

Динамика ТТТ с неподвижной точкойdK O= M o — динамическое уравнение.dtω = ω(Γ, Γ̇) — кинематическое уравнение.K O = JO ω.Oex ey ez — репер, жестко связанный с телом. Oxyz — главные оси инерции тела для точкиO, A, B, C главные моменты инерции для точки O:A 0 0JO xyz =  0 B 0 0 0 Cdr).dtОпределение. Тяжёлым твёрдым телом (ТТТ) называется ТТ в однородном поле тяжести.JO ω̇ + [ω, JO ω] = M OJO ω̇ + [ω, JO ω] = [γ,(()· =∂V] ≡ mg[γ, s]∂γV = mg(OS, γ) ≡ mg(s, γ)γ –орт восходящей вертикали, OS = (aex + bey + cez ) = s.(JO ω̇ + [ω, JO ω] = [γ, ∂V] ≡ mg[γ, s]∂γγ̇ + [ω, γ] = 0.Это уравнения Эйлера – Пуассона, система ОДУ 6-го порядка.

Ее первые интегралы: H(ω, γ) =1[J ω, ω] + mg(γ, s) = h — интеграл энергии, Koζ = K = (K O , γ) = (JO ω, γ) = k — интеграл2 Oплощадей, Γ = (γ, γ) = 1 — геометрический или тривиальный интеграл.Система автономна (не зависит от t) и сохраняет объемы поэтому для интегрирования вквадратурах нужно 4 первых интеграла. 3 уже имеем.Случаи интегрируемости (наличия дополнительного интеграла):1. Случай Эйлера: a = b = c = 0 (S ≡ 0).2. Случай Лагранжа: A = B, a = b = 0 (S ∈ Oz).3. Случай Ковалевской: A = B = 2C, c = 0 (⇔ b = c = 0, то есть S ∈ Ox).В общем случае Пуанкаре доказал, что других алгебраических интегралов нет, а В.

В. Козлов —что других аналитических интегралов нет.Пусть S — центр масс, xyz — главные оси инерции.(JO ω̇ + [ω, JO ω] = mg[γ, s],(1)γ̇ + [ω, γ] = 0;JO = diag(A, B, C). Если нашли решение (1): ω = ω(t), γ = γ(t), тоγ 1 = sin θ sin ϕ, γ 2 = sin θ cos ϕ, γ 3 = cos θ,откуда находим θ и ϕ. ω 3 = ϕ̇ + ψ̇ cos θ(t), откуда ψ̇ =37ω 3 (t)−ϕ̇(t),cos θ(t)ψ=Rψ̇ dt.3.3. Волчки и всё о них3.3.1. Перманентные вращения. Вращение с постоянной угловойскоростью вокруг постоянной в теле осиЭто движения такого типа: γ = γ 0 ; ω = ω0 γ 0 .Подставим в (1), получим ω02 [γ 0 , JO γ 0 ] = −mg[s, γ 0 ]. Умножим обе части скалярно на s:ω0 ([γ 0 , JO γ 0 ], s) = 0, (ω0 6= 0)γ 0 : ([γ 0 , JO γ 0 ], s) = 0.Эта поверхность — конус Штауде.

Пересечение конуса Штауде со сферой Пуассона: двеокружности.Динамически допустимые γ 0 (достаточное условие): ([γ 0 , JO γ 0 ], [γ 0 , s]) > 0.3.3.2. Волчок ЭйлераВолчок Эйлера — это ТТ с неподвижной точкой при отсутствии сил, или что то же самое —тяжелое ТТ с закрепленным центром масс.dK O= 0 ⇒ K O = k = const (в абсолютном пространстве)dtДинамические уравнения ЭйлераJO ω̇ + [ω, JO ω] = 0(K O = JO ω)(отделяются от уравнений Пуассона; автономная система ОДУ 3-го порядка).Первые интегралы:2H = 2T = (JO ω, ω) = 2h,K 2 = (JO ω, JO ω) = k 2 .Перепишем систему в видеAω̇ + (C − B)ω2 ω3 = 0, 1B ω̇2 + (A − C)ω3 ω1 = 0,C ω̇3 + (B − A)ω1 ω2 = 0,2H = Aω12 + Bω22 + Cω32 = 2h,k 2 = A2 ω 2 + B 2 ω 2 + C 2 ω 2.123(1∗∗ )Пусть A 6= B 6= C 6= A, тогда можно считать, что A < B < C. Из двух последних уравненийсистемы имеемk 2 − 2AH = C(C − A)ω32 + B(B − A)ω22 ,2hC − k 2 = B(C − B)ω22 + A(C − A)ω12 , (отсюда k 2 ∈ [2Ah, 2Ch].)−B(B − A)ω22 + (k 2 − 2Ah)ω32 =C(C − A)(2hC − k 2 ) − B(C − B)ω22ω12 =.A(C − A)38Подставим эти выражения для ω32 и ω22 в (1∗∗ ), получим дифференциальное уравнение наω2 :Z ωqpC−Adω2 2p 2 .ω1 ω3 = ± P4 (ω2 ) ⇒ t − t0 = ±ω̇2 = ±BP4 (ω2 )ω0Это эллиптический интеграл, он обычно не берется в элементарных функциях).Фазовый портретПространство 3-х мерное.