А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поклассической механикеЛектор — Александр Владиленович КарапетянIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.Кинематика1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрии1.1.2. Совсем основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Цилиндрические и сферические координаты . . . . . . . . .

. .1.1.4. Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе) . . .1.1.5. Угловая скорость подвижного репера . . . . . . . . . . . . . . .1.1.6. Связь абсолютной и локальной производных по времени . . . .1.2. Кинематика абсолютно твердого тела . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .1.2.1. Абсолютно твёрдое тело. Формула Эйлера и Ривальса . . . . . .1.2.2. Примеры движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Сложное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4. Теорема о сложении угловых скоростей.Кинематические формулы Эйлера . . . . . .

. . . . . . . . . . .1.2.5. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Замечание о качении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............444455566679. . . . . .. . . . . .. . . . . .101011.................................2.Динамика точки2.1. Движение точки под действием сил .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона. Прямая и обратная задачинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Примеры сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .2.1.3. Основные динамические величины. Работа и момент силы . . . . . .2.1.4. Основные теоремы динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5. Одномерное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Задача Кеплера . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера . . . . . . .2.2.2. Прямая задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Качественный анализ уравнения . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .2.2.4. Аналитическое исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.5. Исследование эллиптического движения . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Динамика материальной точки при наличии связей . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Движение точки по поверхности . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Движение точки по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4. Сферический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .2.4. Относительное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Относительное движение материальной точки . . . . . . . . . . . . .2.5. Движение точки в поле тяготения Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1. Движение точки с учетом вращения Земли . . . . . . . . . . .

. . . .2.5.2. Падение точки на Землю с учетом вращения Земли . . . . . . . . . .2.5.3. Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.Динамика системы точек и твёрдого3.1. Динамика системы точек . . . . . . . .3.1.1. Основные понятия . . . . . . .3.1.2. Общие теоремы динамики . . .2......................11. . .

11ди. . . 11. . . 12. . . 12. . . 13. . . 13. . . 14. . . 14. . . 15. . . 16. . . 16. . . 17. . . 18. . . 18. . . 19. . . 19. . . 20. . . 22. . . 22. . . 24. . . 24. . . 25. . . 26тела28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3.Понятие о задаче n тел.Задача двух тел и её сведение к задаче Кеплера . . . . . . . . . . . . . . .3.1.4. Оси, формулы и теоремы Кёнига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Динамика твердого тела. Геометрия масс ТТ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2. Оператор инерции и эллипсоид инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Основные динамические характеристики ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4. Основные уравнения движения ТТ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5. Эквивалентные системы сил, действующих на ТТ . . . . . . . . . . . . . .3.2.6. Динамика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.7. Физический маятник: ТТ в однородном поле тяжести . . . . . . . . . . . .3.2.8. Плоско-параллельное движение ТТ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.9. Задача: Диск на наклонной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.10. Динамика ТТТ с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Волчки и всё о них . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Перманентные вращения. Вращение с постоянной угловой скоростью вокруг постоянной в теле оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Волчок Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Перманентные вращения волчка Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.4. Геометрическая интерпретация Пуансо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5. Регулярные прецессии динамически симметричного волчка Эйлера (A =B 6= C) . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.6. Волчок Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.7. Динамика твердого тела на горизонтальной плоскости . . . . . . . . . . . .303132323233333434353636373838383939404041ПредисловиеНабрано Ромой и Машей Ждановыми. Рисунков, к сожалению, пока нету. Текст был частично подправлен DMVN Corp. Пока тщательной переработке подверглись только первые двеглавы, последняя на предмет опечаток и лажи не верифицировалась. Разделение на главы ипараграфы условно и не претендует на точное соответствие названий и содержания. В порядкеисключения шрифт здесь будет 12pt, потому что легче читать (очень много мелких, но важныхиндексов).Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.31.

Кинематика1.1. Основные понятия1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрииМы часто будем использовать формулу «бац минус цаб»:[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b).Кроме того, если a ⊥ b, то есть (a, b) = 0, то, с использованием предыдущей формулы (хотяэто легко проверить и непосредственно) получаем[a, [a, b]] = a (a, b) −b(a, a) = − |a|2 b.| {z }0Ещё одно полезное соображение: если e и f — векторы, зависящие от времени, но (e, f ) ≡const, то (ė, f ) + (e, f˙) ≡ 0.1.1.2. Совсем основные понятияПусть M — точка в R3 , r — её радиус-вектор относительно некоторой системы отсчетаOxyz с ортами ex , ey , ez .

Время t ∈ R+ = [0, +∞), функция r = r(t) — закон движения.Кривая γ = {r(t)|t ∈ [a, b]} — траектория движения. Все функции дифференцируемы столькораз, сколько нужно.Определение. Скоростью точки в данный момент времени называется производная еерадиус-вектора по времени:drv = ṙ = .dtОпределение. Ускорением точки в данный момент времени называется первая производная её вектора скорости по времени или, что то же самое, вторая производная ее радиус-векторапо времени:d2 ra = v̇ = r̈ = 2 .dtТаким образом,r = xex + yey + zez ,v = ẋex + ẏey + żez ,a = ẍex + ÿey + z̈ez .Пример 1.1.

Простейшие виды движения точки:1. Движение вдоль неподвижной прямой:r = r 0 + se.2. Движение вдоль окружности x2 + y 2 = R2 в плоскости z = 0 [Рис. 1]. Введём (подвижную) систему координат (er , eϕ ).er := ex cos ϕ + ey sin ϕ,eϕ := −ex sin ϕ + ey cos ϕ.Тогдаr = Rer ,v = Rėr = Rϕ̇eϕ ,a = Rϕ̈eϕ + Rϕ̇ėϕ = Rϕ̈eϕ − Rϕ̇2 er .41.1.3. Цилиндрические и сферические координаты1. Цилиндрические [Рис. 2]: ϕ, ρ, z,2. Сферические [Рис. 3]: r, ϕ, θ,eϕ , eρ , ez ,er , eϕ , eθ ,r = ρeρ + zez .r = rer .1.1.4.

Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе)vВведем обозначения: τ = |v|— орт касательной к траектории. Пусть Π — cоприкасающаясяплоскость, то есть плоскость, что τ , ν ∈ Π, где ν — вектор главной нормали, ν ⊥ τ . Положимβ = [τ , ν] — вектор бинормали.Определение. Оси τ , ν, β называются естественными осями или репером Френе.РЕПЕР ФРЕНЕ: [Рис. 4] = 1.Определение.

Параметр называется натуральным, если drdsЗдесь будем считать, что штрих — это производная по натуральному параметру. Имеемdrṡ = ṡr ′ = vτ ,dsRs = vdt.v = ṙ =так как |τ | = |r′ | = 1, то ṡ = v;r′ = τ ;a = v̇ = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + v 2 τ ′ = Aτ + Bν.Очевидно, τ ′ ⊥ τ , поэтому A = v̇, и τ ′ = kν. Из курса дифференциальной геометрии известно, что k — кривизна кривой. Итак,v = vτ ,a = v̇τ + kv 2 ν.Пусть ρ := k1 — радиус кривизны, κ — кручение кривой. Напомним формулы Френе издифференциальной геометрии:′τ = kν,ν ′ = −kτ + κβ, ′β = −κν.Следствие 1.1. В наших обозначенияхτ̇ = kvν,ν̇ = −kvτ + κvβ,˙β = −κvν.1.1.5.