Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению

Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 17

PDF-файл Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 17 Вариационное исчисление (53317): Лекции - 7 семестрОсмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению: Вариационное исчисление - PDF, страница 17 (53317) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 17 страницы из PDF

. . , αk , αF , λ, y ∗ = (ψ, β) = (ψx , ψt , β)takie, qtoαi ≥0,λ ∈ ∂Ψθ0 ,ψx ∈ L∞ (∆θ , Rn ),β ∈ Rs ,kX0kP0αi æθi = 0,+∆θψtαF ≥0,ψt ∈ L∞ (∆θ , R),i = 1, . . . , k;αi + αF + |β| + kψx kL∞ + kψt kL∞ > 0;αi æθi p p̄ + αF λ(−v̄) +Ri = 0, . . . , k;dt̄dτRψx∆θdx̄dτ− v̄ dτ + βKpθ p̄ = 0.Poloжim v зtih uslovihαF λ = λ̃.Togdaλ̃≥0,λ(v̄χM0θ ) = λ(v̄) ∀v̄.Poloжiml=Xαi æi + βK.127− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ − v̄f θ dτ +Togda uravnenie Зlera-Lagranжa perepixets v vide:Rlp p̄ +dx̄dτψx∆θ+Rψt∆θ− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ − v̄f θ dτ +dt̄dτ− v̄ dτ + λ̃(−v̄) = 0.(iii) Analiz uravneni Зlera-Lagranжa.a) Pustь snaqala x̄ = 0, t̄ = 0, a v̄ ∈ L∞ – lba.

TogdaZ−∆θ(ψx f θ + ψt )v̄ dτ − λ̃(v̄) = 0 ∀v̄ ∈ L∞ .Otsda vytekaet, qto(36)(37)λ̃ imeet integralьnoe predstavlenieλ̃(v̄) =Zλ̃a v̄ dτ∆θ∀v̄ ∈ L∞ ,gde λ̃a = −ψx f θ −ψt . Poskolьku λ̃≥0, to i λ̃a ≥0, a iz uslovi sosredotoqennostiλ̃ na M0θ vytekaet, qto λ̃a χM θ = λ̃a . Sledovatelьno,0ψx f θ + ψt ≤0 p.v. na ∆θ ,ψx f θ + ψt = 0 p.v.

na M+θ .b) S uqetom (37) uravnenie Зlera-Lagranжa (36) priobretaet vid:lpθ p̄+Z∆θ!Zdx̄dt̄ψx− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ dτ + ψt dτ = 0.dτdτθ∆Ono vypolneno dl lbyh x̄ ∈ W11 (∆θ , Rn ) i t̄ ∈ W11 (∆θ , R). Otsda,kak my znaem, vytekaet, qto ψx i ψt – lipxicevy na ∆θ , priqem vypolnenysoprжennye uravneni:dψx= v θ ψx fxθ ,dτdψt−= v θ ψx ftθ ,dτ−i uslovi transversalьnosti:ψx (τ0 ) = lxθ 0 ,−ψx (τ1 ) = lxθ 1 ,128ψt (τ0 ) = ltθ0 ,−ψt (τ1 ) = ltθ1 .v) Obratims k uslovi netrivialьnosti. PustьkX0αi + |β| = 0.Togda lxθ 0 = 0, ltθ0 = 0.V зtom sluqae iz soprжennyh uravneni i uslovi transversalьnosti vytekaet,qto ψx = 0 i ψt = 0.

Otsda v silu (37) λ̃ = 0, a togda αF = 0, poskolьkuλ̃ = αF λ, λ 6= 0. Itak, my poluqaem:kX0αi + αF + |β| + kψx k + kψt k = 0,t.e. uslovie netrivialьnosti ne vypolneno. Takim obrazom, uslovie netrivialьnostiravnosilьno uslovi:kXαi + |β| > 0.0Ne ograniqiva obwnosti, moжno sqitatь, qtokX0αi + |β| = 1.Niжe vse mnoжiteli Lagranжa αi , β, ψx , ψt , otnoswies k stacionarno toqkeω θ v zadaqe B θ snabжaem verhnim indeksom θ.My prixli k sleduwe sisteme uslovi stacionarnosti dl toqki ω θ vzadaqe B θ :suwestvut qisla αiθ , i = 0, . . .

, k , vektor β θ ∈ Rs i funkcii ψxθ (·) ∈11W∞(∆θ , Rn ), ψtθ (·) ∈ W∞(∆θ , R1 ), takie, qtoαiθ ≥0,i = 0, . . . , k,kXαiθ æθi = 0,i = 1, . . . , k;(38)(39)0αiθ + |β θ | = 1,−dψxθ= v θ ψxθ fxθ ,dτ(40)129dψtθ= v θ ψxθ ftθ ,dτψxθ (τ0 ) = lxθ 0 , −ψxθ (τ1 ) = lxθ 1 ,−ψtθ (τ0 ) = ltθ0 ,(41)(42)−ψtθ (τ1 ) = ltθ1 ,(43)ψxθ f θ + ψtθ ≤0 p.v.

na ∆θ ,ψxθ f θ+ψtθ= 0 p.v. na(44)M+θ .(45)7. Analiz uslovi stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ . Qastiqnyeprincipy maksimuma. Perepixem uslovie stacionarnosti v prisoedinennozadaqe B θ dl traektoriitθ (τ ), xθ (τ ), v θ (τ ),poluqennoe vyxe, v terminah zadaqiτ ∈ ∆θ = [τ0 , τ1 ],B i traektorii(x̂(τ ), û(τ ) | t ∈ [t̂0 , t̂1 ]).Pustьt.e.τ = τ θ (t)– prava obratna (kaka-nibudь) funkci k funkcii t = tθ (τ ),tθ (τ θ (t)) = t ∀t ∈ [t̂0 , t̂1 ].Togda, kak uжe otmeqalosь vyxe,xθ (τ θ (t)) = x̂(tθ (τ θ (t))) = x̂(t) ∀t ∈ [t̂0 , t̂1 ],uθ (τ θ (t)) = û(tθ (τ θ (t))) = û(t) ∀t ∈ tθ (M+θ ),Sledovatelьno,fxθ θ = fx (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ ))τ =τ (t)Analogiqno,Poloжimftθ τ =τ θ (t)[t̂0 , t̂1 ].= fx (t, x̂(t), û(t)) = fˆx p.v.

na [t̂0 , t̂1 ].τ =τ θ (t)= fˆt p.v. na [t̂0 , t̂1 ].ψx (t) = ψxθ (τ θ (t)),ψt (t) = ψtθ (τ θ (t)).Iz uslovi (40), (41) v silu lemmy 3 vytekaet, qtofunkcii na [t̂0 , t̂1 ], udovletvorwie uravnenim−t.e. p.v. naψx (t) i ψt (t)– lipxicevydψx (t)= ψx (t)fx (t, x̂(t), û(t)),dt130−ili, korotko,dψt (t)= ψx (t)ft (t, x̂(t), û(t)),dt−ψ̇x = ψx fˆx ;−ψ̇t = ψx fˆt .Obratims k uslovim transversalьnosti. My uжe otmeqali, qtot̂0 = tθ (τ0 ),x̂(t̂0 ) = xθ (τ0 ),t̂1 = tθ (τ1 ),x̂(t̂1 ) = xθ (τ1 ),i, sledovatelьno,p̂ = (t̂0 , x̂(t̂0 ), t̂1 , x̂(t̂1 )) = (tθ (τ0 ), xθ (τ0 ), tθ (τ1 ), xθ (τ1 )) = pθ .Analogiqno, v silu lemmy 3 imeem:ψx (t0 ) = ψxθ (τ0 ),ψx (t1 ) = ψxθ (τ1 ),ψt (t0 ) = ψtθ (τ0 ),ψt (t1 ) = ψtθ (τ1 ).Poзtomu iz uslovi transversalьnosti (42) i (43) na ψxθ i ψtθ vytekat sootvetstvuwieuslovi transversalьnosti na ψx i ψt :gdeψx (t̂0 ) = ˆlx0 ,ψx (t̂1 ) = −ˆlx1 ,ψt (t̂0 ) = ˆlt0 ,ψt (t̂1 ) = −ˆlt1 ,ˆlx = l′ (p̂, α, β) i t.d.0x0Nakonec, obratims k uslovim lokalьnogo maksimuma (44) i (45).

Vypixemih podrobnee:Pustьψxθ (τ )f (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ )) + ψtθ (τ )≤0 p.v. na ∆θ ;(44′ )ψxθ (τ )f (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ )) + ψtθ (τ ) = 0 p.v. na M+θ .(45′ )τ ∈ ∆i ⊂ M0θ i, sledovatelьno,uθ (τ ) = ui,ψxθ (τ ) = ψx (ti ),tθ (τ ) = ti ,ψtθ (τ ) = ψt (ti ),xθ (τ ) = x̂(ti ).131(Haprimer, ψxθ (τ ) = ψx (tθ (τ )) =Togda iz uslovi (44′ ) poluqaemψx (ti ) v silu lemmy 3 i t.p.)ψx (ti )f (ti , x̂(ti ), ui) + ψt (ti )≤0,i = 1, . . . , N.Pustь teperь t ∈ [t̂0 , t̂1 ]\{t1 , .

. . , tN }.θTogda τ = τ θ (t) ∈ M+i tθ (τ ) = t.Sledovatelьno,x̂(t) = x̂(tθ (τ )) = xθ (τ ),û(t) = û(tθ (τ )) = uθ (τ ).Krome togo,ψxθ (τ ) = ψxθ (τ θ (t)) = ψx (t),ψtθ (τ ) = ψtθ (τ θ (t)) = ψt (t).Togda iz (45′ ) poluqaem:ψx (t)f (t, x̂(t), û(t)) + ψt (t) = 0 p.v. na [t̂0 , t̂1 ].Podvedem itog.

Pustьθ = {t1 , . . . , tN , u1 , . . . , uN }– indeks, to estьt0 ≤t1 ≤ . . . ≤tN ≤t1 ,ui ∈ U, (ti , x̂(ti ), ui ) ∈ Q,i = 1, . . . , N.Togda suwestvutαi ∈ R, i = 0, . . . , k, β ∈ Rs ,1ψ(·) = (ψt (·), ψx (·)), ψt (·) ∈ W∞(∆θ , Rn ),takie, qtoαi ≥0,i = 0, . . . , k;kX0ψx (t0 ) = lx0 ,αi æ̂i = 0,1ψx (·) ∈ W∞(∆θ , Rn )i = 1, . .

. , k,αi + |β| = 1 (moжno sqitatь),−ψ̇x = Hx (t, x̂, û, ψ),−ψ̇t = Ht (t, x̂, û, ψ),−ψx (t1 ) = lx1 ,ψt (t0 ) = lt0 ,(46)−ψt (t1 ) = lt1 ,H(t, x̂, û, ψ) = 0 p.v. na [t̂0 , t̂1 ],H(ti , x̂(ti ), ui , ψ(ti ))≤0, i = 1, . . . , N,gdePl = αi æi + βK, lx0 = lx′ 0 (p̂, α, β), α = (α0 , . . . , αk ),H(t, x, u, ψ) = ψx f (t, x, u) + ψt , ψ = (ψt , ψx ).1328. Organizaci qastiqnyh principov maksimuma. Princip maksimuma.Pustь λ = (α0 , .

. . , αk , β, ψ)– nabor mnoжitele Lagranжa, udovletvorwihuslovim (46). Mnoжestvo vseh takih naborov oboznaqim qerez M θ .: Proektorλ = (α0 , . . . , αk , β, ψ) 7→ (α0 , . . . , αk , β) = (α, β)inъektiven naM θ.: Destvitelьno, para α, β odnoznaqno opredelet znaqenie lx0 (p̂, α, β), a togdaψx i ψt odnoznaqno opredelts iz uslovi−ψ̇x = ψx fx (t, x̂, û),ψx (t0 ) = lx0 (p̂, α, β),−ψ̇t = ψt ft (t, x̂, û),ψt (t0 ) = lt0 (p̂, α, β).✷: MnoжestvoM θ – koneqnomerny kompakt.: Destvitelьno, koneqnomernostь M θ vytekaet iz predloжeni, a ego ograniqennostь i zamknutostь vytekat iz opredeleni M θ .

✷Vvedem na mnoжestve indeksov otnoxenie qastiqnogo pordka, kotoroe vletsnapravleniem na зtom mnoжestve (sm., naprimer, Dж. A. Kelli ”Obwa topologi”,M., Nauka, 1968, gl. 2, s. 95). Pustь P – otobraжenie, sopostavlwee kaжdomu indeksu θ = {t1 , . . . , tN , u1 , . . . , uN } sootvetsvuwee (neupordoqennoe)mnoжestvo par(t1 , u1), .

. . , (tN , uN )v proizvedenii R × Rm . Otmetim, qto P ne vlets inъekcie: dvum raznymindeksam moжet sootvetstvovatь odno i to жe moжestvo par.Budem govoritь, qto indeks θ2 sleduet za indeksom θ1 (ili, qto indeks θ1predxestvuet indeksu θ2 ) i pisatь v зtom sluqae θ1 ≤θ2 , esli P (θ1 ) ⊂ P (θ2 ).Proverьte, qto opredelennoe takim obrazom binarnoe otnoxenie meжdu indeksami refleksivno i tranzitivno, i, sledovatelьno, vlets otnoxeniemqastiqnogo pordka.Krome togo, ono obladaet svostvom: dl kaжdo pary indeksov θ1 i θ2(vozmoжno, ne sravnimyh), nadets treti indeks θ , kotory sleduet za θ1 i133θ2 , i togda, soglasno Kelli, vvedennoe otnoxenie qastiqnogo pordka vletsnapravleniem na mnoжestve indeksov.Dokaжem poslednee svostvo. Dl indeksov θ1 i θ2 rassmotrim mnoжestvoSSpar P (θ1 ) P (θ2 ).

Pustь θ - lbo indeks tako, qto P (θ) = P (θ1 ) P (θ2 )(oqevidno, tako nadets). Togda P (θ1 ) ⊂ P (θ), P (θ2 ) ⊂ P (θ) i, sledovatelьno,θ1 ≤θ, θ2 ≤θ, qto i trebovalosь.SNiжe dl troki indeksov θ , θ1 i θ2 , svzannyh usloviem P (θ) = P (θ1 ) P (θ2 ),budem ispolьzovatь oboznaqenieθ = θ1_θ2 .Analogiqno зta operaci opredelets dl lbogo koneqnogo mnoжestva indeksov.Fiksiruem indeks θ0 , kotoromu sootvetstvuet kompakt M θ0 . (Esli dopustitь naliqie pustogo indeksa – minimalьnogo sredi indeksov, – to pustoindeks moжno vybratь v kaqestve θ0 .

Kakimi uslovimi opredelen sootvetstvuwikompakt M θ0 ?)Rassmotrim vse indeksy θ , sleduwie za θ0 .Oqevidno: θ0 ≤θ ⇒ M θ ⊂ M θ0 . PoloжimM=\M θ.θ0 ≤θ:M – nepusto kompakt.: Kompakty M θ , takie, qto θ0 ≤θ , obrazut centrirovannu sistemu zamknutyhpodmnoжestv kompakta M θ0 . Destvitelьno, esli imeets koneqna podsistemaM θ1 , .

. . , M θs ,to, polagaθ = θ1θ0 ≤θk ,_θ2_...k = 1, . . . , s,_θs ,poluqaem nepusto kompakt M θ , soderжawis v kaжdom M θk (ibo θk ≤θ ∀k ),a, znaqit, i v ih pereseqenii. Sledovatelьno, pereseqenie mnoжestv M θ povsem θ takim, qto θ0 ≤θ , nepusto. ✷Itak, kompaktM nepust. Vozьmem ego зlementλ = (α, β, ψ).134Dl nego vypolneny vse uslovi (46) qastiqnogo principa maksimuma, sootvetstvuwielbomu indeksu θ , sleduwemu za θ0 . Otsda vytekaet, qto dl lbo paryt, u tako, qto t ∈ [t̂0 , t̂1 ], u ∈ U , (t, x̂(t), u) ∈ Q, vypolneno neravenstvoH(t, x̂(t), u, ψ(t))≤0.(47)Зto i estь uslovie maksimuma.Posnim ego. Bvedem mnoжestvoU(t) = {u ∈ U | (t, x̂(t), u) ∈ Q},gdet ∈ [t̂0 , t̂1 ].Soglasno (46)H(t, x̂(t), û(t), ψ(t)) = 0 p.v.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее