furs (В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление)

1Ëåêöèÿ 3.11.2004Ïóñòü ìíîæåñòâî K ⊂ Rn çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî òî åñòü K êîìïàêòíî.Ïóñòü f : K → R ≡ {R ∪ {+∞} ∪ {−∞}} ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ, òî åñòüäëÿ ëþáîãî x èç Kf (x) > −∞ è Dom f = {x ∈ K : f (x) < ∞} =6 ∅Ôóíêöèÿ f : X → R ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó óíêöèÿ, åñëèÎïðåäåëåíèå 1. ∀λ Lλ f ≡ {x ∈ X : f (x) ≤ λ} çàìêíóòî.Îïðåäåëåíèå 2. ∀x̂ ∈ K ∀xn → x̂, f (x) ≤ limn→∞ f (xn ).Îïðåäåëåíèå 3.

epi f = {(α, x) ∈ R×Dom f : α ≥ f (x)} çàìêíóòî â R×K .Çàäà÷à 1. Äîêàçàòü ÷òî îïðåäåëåíèå (1)-(3) ýêâèâàëåíòíû.àññìîòðèì çàäà÷ó(f (x) → inf,x ∈ K.Òåîðåìà 1 (Âåéåðøòðàññà). Ïðåäïîëîæèì, K êîíå÷íîìåðíûé êîì-ïàêò, f : K → R ñîáñòâåííàÿ ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó óíêöèÿ. Òîãäàf (x) îãðàíè÷åíà ñíèçó íà K è ñóùåñòâóåò x̂ : f (x̂) = minx∈K f (x).Òåîðåìà äîêàçàíà íà ïðîøëîé ëåêöèè. àññìîòðèì çàäà÷ó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿZ t1J(x) =L(t, x, ẋ)dxt0x ∈ C 1 [t0 , t1 ],x(t0 ) = 0,x(t1 ) = 0. äàííîì ñëó÷àå K = {x ∈ C 1 : x(t0 ) = x(t1 ) = 0} íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ïîýòîìó òåîðåìà Âåéåðøòðàññà íå ïðèìåíèìà äàæå äëÿïîëóíåïðåðûâíûõ J(x).1.1Ïðàâèëüíîå îáîáùåíèå òåîðåìà ÂåéåðøòðàññàÎïðåäåëåíèå 4. X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.

Áóäåì ãîâîðèòü ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñëàáî ñõîäèòñÿ ê x̂ (xn ⇁ x̂), åñëè äëÿ ëþáîãîx∗ ∈ X ∗ hx∗ , xn i → hx∗ , x̂i.Îïðåäåëåíèå 5. Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ðåëåêñèâ-íûì, åñëè (X ∗ )∗ = X .Òåîðåìà 2 (Ýìáåðëåéíà-Øìóëüÿíà). Ïðîñòðàíñòâî X ðåëåêñèâíîòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èç ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{xn } ∈ X (kxn k ≤ C ) ìîæíî âûáðàòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Òåîðåìà 3. åëåêñèâíîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíî.1Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. ÌíîæåñòâîA ⊂ X ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } èç A ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x̂ ∈ A.Îïðåäåëåíèå 7.

Ôóíêöèÿ f : A → R̄ ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñè-òåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, åñëè:1. äëÿ ëþáîãî λ Lλ f ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî;2. äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ⇁ x̂, ãäå x̂ ∈ A, ñëåäóåò f (x) ≤limn→∞ f (xn );3. epi f = {(α, x) ∈ R × Dom f : α ≥ f (x)} ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî.Çàäà÷à 2. Äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëåíèÿ 1, 2 è 3 ýêâèâàëåíòíû.àññìîòðèì çàäà÷ó(f (x) → inf,x ∈ K, K ⊂ X.(1)Îïðåäåëåíèå 8. Çàäà÷à (1) êîýðöèòèâíà, åñëè ñóùåñòâóåò λ ∈ R ÷òîìíîæåñòâî Lλ f = {x ∈ A : f (x) ≤ λ} 6= ∅ è îãðàíè÷åíî â X .Òåîðåìà 4. Ïóñòü X ðåëåêñèâíîå áàíàõîâîå ïðîñòðàíñòâî, ìíîæå-ñòâî A ⊂ X ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, óíêöèÿ f : A → R ñîáñòâåííàÿ è ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, çàäà÷à (1) êîýðöèòèâíà.

Òîãäà f îãðàíè÷åíà ñíèçó íà ìíîæåñòâå A è ñóùåñòâóåò x̂ ∈ A : f (x̂) = min f (x).x∈AÄîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò λ ∈ R ÷òî ìíîæåñòâî Lλ f = {x ∈ A : f (x) ≤λ} 6= ∅ è îãðàíè÷åíî íà A ⊂ X . Äîñòàòî÷íî èñêàòü òî÷êó â A ∩ Lλ f . Ïóñòüxn ∈ A ∩ Lλ f ìèíèìèçèðóÿùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî åñòü f (xn ) →inf f (x) ïðè n → ∞. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } îãðàíè÷åíà â X . Ïåðåõîäÿx∈Aê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü xn ⇁ x̂, x̂ ∈ A ∩ Lλ f , òàê êàê A ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî. Ôóíêöèÿ f (ˆ(x) > −∞, òàê êàê óíêöèÿ f ñîáñòâåííàÿ è f (x̂) ≤ limxn →x f (xn ) = inf f (x). Ïîýòîìó f (x̂) = inf f (x).x∈Ax∈AÇàìå÷àíèå 1.

Ïðèìåðû óíêöèè f ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó îòíîñèòåëüíîñëàáîé ñõîäèìîñòè áàçèðóþòñÿ íà ïîíÿòèè âûïóêëóñòè.Îïðåäåëåíèå 9. Âûïóêëûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîòî-ðîå äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê x, y èç A ñîäåðæèò îòðåçîê [x, y] = {αx + (1 −α)y, α ∈ [0, 1]}.Îïðåäåëåíèå 10. Ïóñòü x1 , . . . , xn ∈ X Pëèíåéíîå ïðîñòàðíñòâî è α1 ≥n0, . . . , αn ≥ 0, α1 + . . . + αn = 1. Òîãäà x =êîìáèíàöèåé.j=1αj xj íàçûâàåòñÿ âûïóêëîéÇàäà÷à 3. Ïóñòü A âûïóêëîå, xi ∈ A, i = 1, . . . , n è x =âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ.

Äîêàçàòü, ÷òî x ∈ A.2Pnj=1αj xj Îïðåäåëåíèå 11. Ïóñòü B ⊂ X . Îâûïóêëåíèå B (îáîçí. Conv B ) ýòîìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèé ëþáûõ êîíå÷íûõ íàáîðîâ òî÷åêx1 , . . . , xn ∈ B .Çàäà÷à 4. Äîêàçàòü, ÷òî Conv B âûïóêëîå ìíîæåñòâî.Çàäà÷à 5. Ïóñòü B âûïóêëîå ìíîæåñòâî â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàí-ñòâî X . Äàêàçàòü, ÷òî çàìûêàíèå B âûïóêëîå.Òåîðåìà 5 (Ìàçóðà). Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, xn ∈ Xè xn P⇁ x̂. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûïóêëûõ êîìáèíàöèényn = j=1 αnj xj òàêèõ ÷òî yn → x̂ ñèëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Îò ïðîòèâíîãî, ïóñòü x̂ ∈/ Conv{xn } (ïî âòîðîé òåîðåìå îòäåëèìîñòè). Ñóùåñòâóåò 0 6= x∗ ∈ X ∗ òàêîé ÷òîsuphx∗ , xi <hx∗ , x̂i − ε, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñëàáîé ñõîäèìîñòè.x∈Conv{xn }Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü A ⊂ X . Åñëè A âûïóêëîå è çàìêíóòîå, òî A ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè óíêöèÿ f (x) âûïóêëàÿ è ïîëóíåïððûâíàÿ ñíèçó, òîf (x) ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü óíêöèÿ f (x) âûïóêëàÿ è ïîëóíåïððûâíàÿ ñíèçó. Òîãäà epi f = {(α, x) ∈ R × Dom f : α ≥ f (x)} âûïóêëîå è çàìêíóòî âR × Dom f . Ñëåäîâàòåëüíî, epi f ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî è f ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè.Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü X ðåëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ìíîæå-ñòâî A ⊂ X âûïóêëîå è çàìêíóòîå, f : A → R âûïóêëàÿ, íåïðåðûâíàÿè êîýðöèòèâíàÿ óíêöèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è (1).1.2Ïðîñòðàíñòâà ÑîáîëåâàÏóñòü Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rd ñ ãðàíèöåé ∂Ω ∈ C ∞ . Ïðîñòðàíñòâî∂yÑîáîëåâà Wp1 (Ω) = {y(x) ∈ Lp (Ω) : ∂x∈ Lp (Ω) îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ },j1 ≤ p < ∞.

Íîðìà â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìpZd X∂y(x)pkykpW 1 (Ω) =(2)dx < ∞ ∂xj + ky(x)kpΩf =1Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) ýòî ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ óíêöèé ñîâïàäàþùèõ ïî÷òè âñþäó. Ñëåäîâàòåëüíî, (2) îïðåäåëÿåò íîðìó. Îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿâ (2) îçíà÷àåò, ÷òî y(x) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóZ∂y∂ϕ, ϕ = − y(x)dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).∂xj∂xjΩÒåîðåìà 6. Wp1 (Ω) ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.3Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì óíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn }â Wp1 (Ω), òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî N ÷òî äëÿ ëþáûõm, n > N âûïîëíåíî kyn − ym kWp1 < ε.

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn },no∂yn óíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â Lp (Ω). Èç ïîëíîòû ïðî∂xiñòðàíñòâà Lp (Ω) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ŷ , ŷi - ïðåäåëîâ â Lp (Ω). Îñòàëîñü∂ ŷ= ŷi , äåéñòâèòåëüíî,äîêàçàòü òîëüêî, ÷òî ∂xiZŷi ϕ(x) = limΩ2n→∞ZΩ∂yndx == − limn→∞∂xiZyn (x)Ω∂ϕdx = −∂xiZŷΩ∂ϕdx.∂xiËåêöèÿ 10.11.2004Òåîðåìà 7.

Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) (1 ≤ p < ∞) ðåëåêñèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì îïåðàòîð A : Wp1 (Ω) → (Lp (Ω))d+1 , êîòîðûé∂y∂yäåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì Ay = y, ∂x,...,∂xd . Ñëåäîâàòåëüíî, W =1AWp1 (Ω) çàìêíóòî â (Lp (Ω))d+1 , êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå. Òàê êàê W ëèíåéíîå âûïóêëîå, òî W ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî â (Lp )d+1 .àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } ∈ Wp1 (Ω) è kyn kWp1 (Ω) ≤ c. Õîòèìïîêàçàòü, ÷òî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ⇁ ŷ ∈ Wp1 . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Ayn } îãðàíè÷åíà â (Lp )d+1 è ïåðåõîäÿ ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ayn ⇁ z (òàê êàê (Lp )d+1 ðåëåêñèâíî). Íî W ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî è Ayn ∈ W .

Ïîýòîìó z ∈ W è ñóùåñòâóåòŷ ∈ Wp1 òàêîé ÷òî z = Aŷ.àññìîòðèì îïåðàòîð A∗ : (Lq (Ω))d+1 → (Wp1 (Ω))∗ , ãäå 1q + p1 = 1. ÒîãäàImA∗ = (KerA)⊥ = (Wp1 (Ω))∗ èhf, yn iWp1 = hA∗ g, yn iWp1 = hg, Ayn i(Lp )d+1 → hg, Aŷi(Lp )d+1 = . . .= hA∗ g, ŷiWp1 = hf, yiWp1 .òî åñòü äëÿ ëþáîãî f ∈ (Wp1 (Ω))∗ ñóùåñòâóåò g ∈ (Lq (Ω))d+1 òàêîé ÷òîf = A∗ g .2.1Ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâàWp1 (Ω)Òåîðåìà 8. Ïðîñòðàíñòâî C 1 (Ω) ïëîòíî â Wp1 (Ω).Òåîðåìà 9 (î ñëåäå). Ñëåä γ : Wp1 (Ω) → Lp (Ω) íåïðåðûâåí, ãäå γy =y|∂Ω .Äëÿ ëþáîãî y ∈ C 1 (Ω) âåðíà îöåíêà kγykLp(∂Ω) ≤ ckykWp1 (Ω) Äàëåå ïåðåõîäèì ê çàìûêàíèþ.0Îïðåäåëåíèå 12.

Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) = {y ∈ Wp1 (Ω) :çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Wp1 (Ω).4γy = 0} 0Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå Wp1 (Ω) kyk0Wp1 (Ω)= k∇ykLp(Ω)Òåîðåìà 10. Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) êîìïàêòíî âêëàäûâàåòñÿ â Lp (Ω), åñ-ëè Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü. Òàêæå âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ÏóàíêàðåÑòåêëîâà-Ôðèäðèõñà:kykpLp(Ω)pZ Xd 0∂y≤cdx ∀y ∈Wp1 (Ω).∂xjj=1Ω2.2Òåîðåìà Òîííåëè î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷èàññìîòðèì çàäà÷óRJ(y) = L(x, y(x), ∇y(x))dx → inf, Ω ⊂ Rd(3)Ωy ∈ A0ãäå A =Wq1 (Ω), J(y) : Wq1 (Ω) → R.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ1. (íåïðåðûâíîñòè)L(x, y, p) ∈ C(Ω̄ × R × Rd ), ∂L(x,y,p)∈ C(Ω̄ × R × Rd )∂pjÓñëîâèå êâàçèðåãóëÿðíîñòè.

Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R óíêöèÿ p− >L(x, y, p) âûïóêëà2. (ðîñòà) Ïóñòü ñóùåñòâóåò q : 1 < q < ∞ è C > 0, β > 0, òàêèå ÷òî äëÿëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R L(x, y, p) ≥ C|p|q − β .3. (êâàçèðåãóëÿðíîñòè) Ïóñòü äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R óíêöèÿ p →L(x, y, p) âûïóêëà.0Ëåììà 1. A =Wp1 (Ω) ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî â Wq1 (Ω).0Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü Wq1 (Ω) çàìêíóòî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ïðè0íàäëåæèò Wq1 è yn → ŷ â Wq1 . Òîãäàkγyn − γ ŷkLp (Ω) ≤ Ckyn − ŷkWq1 −−−−→ 0.n→∞0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî γyn = 0 ïîëó÷àåì ŷ = 0, ñëåäîâàòåëüíî ŷ ∈W1q . Òàêèì îá0ðàçîì W1q - ëèíåéíîå âûïóêëîå è çàìêíóòîå, ñëåäîâàòåëüíî ñåêâåíöèëüíîñëàáî çàìêíóòî.Ëåììà 2. J(y) : Wq1 (Ω) → R ñîáñòâåííîå è çàäà÷à 3 êîýðöèòèâíà.Äîêàçàòåëüñòâî.