Физические основы квантовых вычислений, страница 18

(7.7)Z2 =n=0N =0n1 ; n2n1 + n 2 = Nk=0Для многоуровневых систем результат легко обобщается.Применим полученный результат для систем бозе и ферми частиц:YYXeβ(µ−εν )nν,σ .Z=(7.8)νσ nν,σДалее в формуле (7.8) проведем суммирование для двухсортов частиц раздельно. Для ферми-частиц nν,σ = 0, 1,поэтому получаем´YY³1 + eβ(µ−εν ) .ZF =(7.9)νσ160Для бозе-частиц никаких ограничений на число частиц вданном одночастичном состоянии нет, поэтому суммирование приводит к сумме бесконечной геометрической прогрессии, однако для сходимости результата необходимо наложить ограничение на величину параметра µ. Посколькуэнергия каждой частицы ограничена, необходимо, чтобыпри достаточно больших n члены суммы убывали, поэтомуµB < 0(7.10)и получаемZB =YY³νσ1 − eβ(µ−εν )´−1.(7.11)Ограничений на параметр µF ферми-системы нет. Результаты (7.9) можно (7.11) объединить одной записью, введязнакомый параметр ζ :´−ζYY³1 − ζeβ(µ−εν ).(7.12)Zζ =νσИтак, для систем невзаимодействующих тождественныхчастиц факторизуется большая статистическая сумма,однако следует заметить, что теперь сомножители (одночастичные статсуммы) соответствуют не реальным отдельным частицам, а индивидуальным одночастичным состояниям, поэтому в сумме всегда присутствует бесконечноечисло сомножителей.

Такая, на первый взгляд абстрактная, ситуация на самом деле полностью отражает свойствасистем тождественных частиц: не имеет значения какая частица находится в системе с данной энергией, важно сколько частиц и в каких состояниях составляют данный ансамбль.Мы логично подошли к выводу, что для системы тождественных частиц важную роль (даже, может быть более161важное чем сама функция распределения) играет среднеечисло частиц в данном квантовом состоянии hnν,σ i.Запишем матрицу плотности большого каноническогоансамбля ρG в представлении вторичного квантования:!ÃX−1+ρG =Z exp β(µ − εν )aν,σ aν,σ =Ã=Z −1 exp βν,σXν,σ(µ − εν )n̂ν,σ!.(7.13)По определению среднее число частиц в состоянии |ν, σiестьhnν,σ i = T r n̂ν,σ ρG .(7.14)Запишем выражение (7.14) в явном виде и учтем, перестановочные ссотношения для операторов рождения и уничтожения, а именно: операторы числа частиц в разных состояниях между собой перестановочны, поэтому при вычислении следа с оператором n̂ν,σ “зацепится” только одинсомножитель в факторизованной сумме.

Получаем:hnν,σ i =QP β(µ−εν )nν,σeX0 ,σ 0 6=ν,σ} nν,σ{νQP β(µ−ε )nnν,σ eβ(µ−εν )nν,σ ==νν,σenν,σPneβ(µ−εν )n= P β(µ−ε )nνe{все (ν,σ)} nν,σn(7.15)nПоследнее слагаемое в формуле (7.15) можно выразить ввиде производной:!ÃX∂exp (β(µ − εν )n) .(7.16)hnν,σ i =ln∂(βµ)n162Полученная в выражении (7.16) уже вычислена для фермии бозе-систем:³´−ζ∂1ln 1 − ζeβ(µ−εν )hnν,σ iζ == β(ε −µ). (7.17)ν∂(βµ)e−ζТаким образом получаем распределение Бозеhnν,σ iB =1eβ(εν −µ)и распределение Ферми:hnν,σ iF =−11eβ(εν −µ)+1.(7.18)(7.19)Отметим, что в полученных формулах распределений среднее число частиц не зависит от проекции спина, однаконельзя забывать, что состояние обязательно определяетсянабором {ν, σ}, поэтому в распределении Ферми (7.19) наданном уровне энергии могут находиться 2s + 1 частицы сразными проекциями спина, а для бозе-частиц таких ограничений нет. Тем не менее при выполнении суммированиянельзя забывать различные спиновые состояния.7.8Понятие о парастатистикеРассмотрим системы, описываемые статистикой, которуюможно рассматривать как “гибрид” статистик Ферми и Бозе, т.е.

в каждом состоянии ν такой системы может находиться не более p частиц. Если p = 1, имеем статистикуФерми, а если p → ∞ – статистику Бозе. В таком случаеговорят, что система описывается парастатистикой. Мыне будем здесь пытаться ввести многочастичный формализм чисел заполнения, как это делали для существующихферми- и бозе-частиц, но получим только функцию распределения, аналогичную распределениям (7.1) и (3.3), исходя163из комбинаторных представлений для нахождения наиболее вероятного распределения.Поскольку в каждом состоянии |νi может находитьсяне более p частиц (p ≥ 1), следует сперва определить статистический вес каждого состояния.

Статистический вессостояния, когда в нем находится n частиц есть: γν (n). Таким образом каждое состояние обладает статистическимвесомpXΓν =γν (n).(8.1)n=0Соответственно, в каждом состоянии может находиться число частиц:pXNν =nγν (n).(8.2)n=0Полное число состояний в такой системе (статистическийвес) равно:Γ=XνΓν !.γν (0!)γν (1)! . . . γν (p)!(8.3)Найдем экстремум числа состояний (8.3) при условиях:XXN=Nν , E =εν N ν .(8.4)ννОбычно ищется экстремум не самой функции (8.3), а еелогарифма, т.е.

статистической энтропии при вариации попеременным γν . Составим функционал:Φ = ln Γ − βE + βµN ="#XX=ln Γν ! −(ln γν (n)! + βεν γν (n)n − βµγν (n)n) . (8.5)νn164Далее заменим по формуле Стирлинга с точностью до предэкспоненциального множителя всеln γν (n)! ≈ γν (n) ln γν (n) − γν (n)и проварьируем функционал (8.5) по переменным γν (n) :"#X X(ln γν (n) + βεν n − βµn) δγν (n) = 0.(8.6)ννРешением уравнения (8.6) будет экспонентаγν (n) = e−β(εν −µ)n ,(8.7)а частная статистическая сумма (статистический вес Γν )равна сумме конечной геометрической прогрессии:Γν =pXe−β(εν −µ)n =n=01 − e−β(εν −µ)(p+1).1 − e−β(εν −µ)(8.8)Теперь нам осталось определить среднее число частиц всостоянии ν.

Процедура совершенно аналогична, проделанной для распределения Ферми и Бозе:PppXne−β(εν −µ)n−1hnν i =nΓν γν (n) = Pn=0=p−β(εν −µ)nn=0 en=0Ã p!X∂lne−β(εν −µ)n .=∂(βµ)n=0Сумма под знаком логарифма посчитана и равна (8.8), поэтому окончательно получаемhnν i =1eβ(µ−εν )−1−p+1eβ(µ−εν )(p+1)−1.(8.9)Как видно, формула (8.9) при p = 1 переходит в распределение Ферми (7.19), а при p → ∞ – в распределение Бозе(7.18).165.