Физические основы квантовых вычислений, страница 16

Для того, чтобы построить оператор,выбирают некоторое представление, в котором операторвсегда можно записать в виде матрицы. Вид матрицы определяется выбором базиса:X|ψi =cn |ni,nfˆ|ψi =Xn,kfkn cn |ki.143(3.1)Здесь fkn = hk|fˆ|ni, и можно определить c̃k =тогдаXfˆ|ψi ≡ |ϕi =c̃k |ki.Pn fkn cn ,kНа первый взгляд мы ничего нового не написали, а всеголишь занимались переобозначениями. Однако попробуемобъяснить словами проведенные манипуляции. Как видноиз формулы (3.1) действие оператора на состояние в выбранном представлении сводится к тому, что состояние |ni“заменяется"на другое состояние |ki. Эту замену формально также можно описать, введя новые операторы, позволяющие заменять одно состояние на другое. Проще всеготакую операцию определить, разбив ее на два этапа: напервом этапе избавляемся от “старого”состояния, а на втором этапе вводим “новое”.

Определим оператор, которыйпозволяет избавляться от существующего состояния:ân |ni = |0i,(3.2)где новый вектор |0i будет обозначать, что это состояниепустое. Теперь из этого пустого состояния необходимо получить другое состояние. Для этого определим второй оператор, который создает искомое состояние:â+k |0i = |ki.(3.3)Тогда состояние |ni переходит в состояние |ki простым действием:|ki = â+k ân |ni.Имея операторы â+k в количестве, равном числу состояний (вообще говоря бесконечном), можно построить всесостояния из одного “пустого", а произвольный вектор состояния и оператор в формуле (3.1), соответственно пред-144ставить в виде:|ψi =fˆ|ψi =XnXn,kcn â+n |0i,cn fkn â+k ân |ni.(3.4)Как видим из полученной формулы (3.4) роль базисныхвекторов взяли на себя операторы â+k и единственный вектор |0i. В обычном случае смысл введения новых операторов кажется весьма сомнительным, однако при описаниисистем тождественных частиц аппарат, использующий такие операторы, становится наиболее адекватным.Определим оператор â+ (ϕ) таким образом, что при действии на любое N -частичное состояние он переводит его вN + 1-частичное следующим образом:â+ (ϕ)|ψ1 , .

. . , ψN i = |ϕ, ψ1 , . . . , ψN i.(3.5)Такой оператор â+ (ϕ) называется оператором рождения.Введенный таким образом оператор неэрмитов, поскольку¡ +¢+â (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i = hψ1 , . . . , ψN |â(ϕ) = hϕ, ψ1 , . . . , ψN |.Сопряженный оператор â(ϕ) называется оператором уничтожения. Действительно, по определениюhψ1 . . . ψN |â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . . . ψN i = hψ1 .

. . ψN |ψ1 . . . ψN i = |c|2 ,следовательно вектор â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i N -частичныйи, таким образом, оператор уничтожения переводит N +1-частичное состояние в N -частичное. Определим теперьдействие оператора уничтожения на N -частичное состояние.Вычислим матричный элементC(ϕ) = hχ1 , . . . , χN −1 |â(ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i =145¡¢∗= hψ1 . . . ψN |â+ (ϕ)|χ1 . . . χN−1i = hψ1 . .

. ψN |ϕ, χ1 . . . χN−1i∗.Cогласно определению скалярного произведения N -частичныхсостояний (2.7) получаемC ∗(ϕ) =NXk=1ζ k−1 hψk |ϕihψ1 . . . ψk−1 ψk+1 . . . ψN |χ1 . . . χN −1 i.В силу произвольности N−1-частичного состояния hχ1 . . . χN−1|окончательно имеем:â(ϕ)|ψ1 . . .

ψN i =NXk=1ζ k−1 hϕ|ψk i|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i. (3.6)Определим теперь перестановочные соотношения длявведенных операторов рождения и уничтожения. Легко видеть, чтоâ+ (ϕ1 )â+ (ϕ2 ) = ζâ+ (ϕ2 )â+ (ϕ1 ).(3.7)Соответственно для операторов уничтожения такжеâ(ϕ1 )â(ϕ2 ) = ζâ(ϕ2 )â(ϕ1 ).Иными словами операторы рождения и, соответственно,операторы уничтожения между собой коммутируют длябозе-частиц и антикоммутируют для ферми-частиц.Получим теперь перестановочные соотношения междуоператорами рождения и уничтожения. Имеем:â(ϕ1 )â+ (ϕ2 )|ψ1 . . .

ψN i = â(ϕ1 )|ϕ2 , ψ1 . . . ψN i ==hϕ1 |ϕ2 i|ψ1 . . . ψN i++NXk=1ζ k hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.146(3.8)Действие операторов в обратном порядке дает:â+ (ϕ2 )â(ϕ1 )|ψ1 , . . . , ψN i ===NXk=1NXk=1ζ k−1 hϕ1 |ψk iâ+ (ϕ2 )|ψ1 , . .

. , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i =ζ k−1 hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i.(3.9)Умножим выражение (3.9) на ζ и вычтем его из (3.8). Врезультате получим:â(ϕ1 )â+ (ϕ2 ) − ζâ+ (ϕ2 )â(ϕ1 ) = hϕ1 |ϕ2 i.(3.10)Если одночастичные состояния представляют собой ортонормированнный базис |αi, коммутатор (3.10) принимаетпростой вид:+0(3.11)âα â+α0 − ζâα0 âα = δαα .7.4Представление чисел заполненияДля системы тождественных частиц по сути дела не имеет смысла перечислять все одночастичные состояния, вкоторых находятся N частиц, тем более если мы рассматриваем состояние, которое представляется суперпозициейнекоторых базисных состояний. Действительно, для системы ферми-частиц, никакое одночастичное состояние не может повториться, поэтому есть смысл только указать,представлено ли данное одночастичное состояние или нет.Для системы бозе-частиц никаких ограничений на этот счетнет, поэтому нам нужно знать только сколько частиц находится в данном одночастичном состоянии.

Иными словами,нам следует перейти от избыточно детального представления (2.6) и, соответственно, базиса (2.9) к представлению, в147котором содержится информация только о том, представлено ли данное одночастичное состояние в рассматриваемом N частичном и сколько частиц в нем находится. Такоепредставление называется представлением чисел заполнения. Для построения данного представления следует рассмотреть случаи бозе- и ферми-частиц раздельно.Бозе-частицы.

Этот случай в некотором смысле проще, поэтому рассмотрим его первым. Как следует из вводных замечаний к этому параграфу, следует ограничитьсятолько рассмотрением базисных состояний (2.9). Для бозечастиц запишем:1|n1 , n2 , . . . i = √| β1 . . . β1 , β2 . . . β2 , . . .

i.n1 !n2 ! . . . | {z } | {z }n1(4.1)n2Если теперь предположить, что каждое nβ может принимать любое целое неотрицательное значение (nβ = 0, 1, 2, . . . ),множество всех векторов (4.1) составляет базис в пространстве состояний (2.10). Для базисных ортонормированныходночастичных состояний операторы рождения и уничтожения удовлетворяют простым коммутационным соотношения, которые в точности совпадают с коммутационнымисоотношениями для повышающих и понижающих операторов системы связанных гармонических осцилляторов:+[aβ , aβ 0 ] = [a+β , aβ 0 ] = 0,0[aβ , a+β 0 ] = δββ .(4.2)Заметим, что в физике очень часто возбужденные состояния можно описать как системы элементарных возбуждений – квазичастиц, которые описываются бозевскими илифермиевскими функциями.

Если эти возбуждения описываются гамильтонианом осцилляторного типа, состояния втакой системе, имеющей вообще говоря, переменное число частиц, описываются состояниями (4.1), однако для них148можно ввести операторы рождения и уничтожения, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (4.2),связав их с обобщенными импульсами и координатами.

Вобщем случае коммутационные соотношения (4.2) следуютиз свойств симметрии относительно перестановки частиц.Подействуем операторами рождения и уничтожения насостояния (4.1):pnβ + 1|n1 , n2 , . . . , nβ + 1, . . . i,a+β |n1 , n2 , . . . i =√(4.3)aβ |n1 , n2 , . . . i = nβ |n1 , n2 , . . . , nβ − 1, . . . i.Легко видеть, что эрмитов операторNβ = a +β aβ(4.4)есть оператор числа частиц в данном одночастичном состоянии. Соответственно оператор полного числа частицестьXb=Na+(4.5)β aβ .βДля ферми-частиц базисное состояние (2.9) можно записать как|n1 , n2 , .

. . i = |α1 , α2 , . . . i,где nα = 0, 1.(4.6)Операторы рождения и уничтожения для ферми-частицудовлетворяют антикоммутационным соотношениям:+{aα , aα0 } = {a+α , aα0 } = 0,0{aα , a+α0 } = δαα ,где{A, B} = AB + BA−149антикоммутатор.(4.7)Подействуем теперь операторами рождения и уничтожения на базисные состояния ферми-системы в представлении чисел заполнения: 0,если nα = 1,a+|n,n...i=|n , n . .

. |{z}1 . . . i, если nα = 0,α 1 2 1 2α 0,если nα = 0,aα |n1 , n2 . . . i = |n1 , n2 . . . 0 . . . i, если nα = 1.(4.8)|{z}αЛегко видеть, то операторы числа частиц в одночастичномсостоянии и полного числа частиц равны:XNα = a +a,N=a+(4.9)ααα aα ,αИз антикоммутационных соотношений (4.7) и определения(4.9) следуетaα a+α = 1 − Nα .До сих пор мы рассматривали дискретные квантовыечисла, между тем, с одной стороны, весьма часто базисныесостояния могут определяться непрерывным спектром, а, сдругой стороны, часто состояния удобно описывать непрерывными волновыми функциями.

Заметим при этом, чтосостояния непрерывного спектра нормированы на δ-функцию.Например, пусть одночастичный базис определяет состояния с определенным значением импульса (свободные частицы) и hp0 |pi = δ(p0 − p), тогда коммутационные соотношения (3.10)перепишутся+0âp0 â+p − ζâp âp0 = δ(p − p).(4.10)Можно также определить операторы рождения и уничтожения частицы в точке пространства r. В этом случае150принято вводить немного новое обозначение для полевогоψ-оператора, соответственно ψ̂ + (r) и ψ̂(r), тогдаψ̂(r0 )ψ̂ + (r) − ζ ψ̂ + (r)ψ̂(r0 ) = δ(r − r).(4.11)Вспомним, что операторы рождения и уничтожения в определенном смысле эквивалентны состояниям, поэтому совершенно аналогично можно переходить от одного представления операторов к другому с помощью соответствующих матриц перехода.

Например, мы помним, что переходот координатного к импульсному представлению осуществляется с помощью матрицы перехода, которая есть по сутидела волна де-Бройля, поэтому можно записать связь: 2Zdp−1ei~ pr ap ,ψ̂(r) =3/2(2π~)Zdp−1ψ̂ + (r) =e−i~ pr a+(4.12)p.3/2(2π~)Обратное преобразование имеет вид:Zdr−1e−i~ pr ψ̂(r),ap =(2π~)3/2Zdr−1+ap =ei~ pr ψ̂ + (r).3/2(2π~)(4.13)Соотношения (4.12) можно обобщить и на любой другой,в частности дискретный, базис. При этом легко видеть чтороль матрицы перехода будет играть соответствующая волновая функция дискретного одночастичного базиса ϕn (r):XXψ̂(r) =ϕn (r)an , ψ̂ + (r) =ϕ∗n (r)a+(4.14)n.nn2Иногда соотношение (4.12) опеределяют “несимметрично”, по отношению к обратному преобразованию, тогда знаменатель в подынтегральном выражении равен 1, а в формуле (4.13) равен (2π~)3 .151Соотношения (4.12) и (4.14) определяют операторы уничтожения и рождения рождения частицы в точке r, приописании ее состояний в соответствующих представлениях.С помощью ψ-операторов можно записать оператор плотности числа частицρ̂(r) = ψ̂ + (r)ψ̂(r)(4.15)и соответственно полное число частиц естьZZN = drρ̂(r) = drψ̂ + (r)ψ̂(r).7.5Представление основных операторовПолучим теперь выражение основных операторов в представлении вторичного квантования.