М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 7

Часто встречается и группа 2mm (молекулы воды, СЬЬСЬ, цис-дихлррэтилена, молекулыдигалоидных мета- и орто-пройзводных бензола и другие). Примерами молекул, группы симметрии которых содержат оси болеевысокого порядка, служат пирамидальные молекулы NH 3 (группа 3m), BrF5 (группа 4тт).IV. Семейство групп вида п и /г/т (семейство вращающегосяцилиндра) в отличие от предыдущих, включает в себя не два, ачетыре ряда точечных групп:Т"1. о о,2.4,6,8,Н"О,п/ ,. ..Т, 74, ...12, 16, ...2/т, 4/т, 6/т, 8/т, ...3247+24/оо/тЗдесь в виде дроби (например, 2/т) записаны взаимно перпендикулярные ось и плоскость симметрии.Как было показано в разделе 1.1, особенностью точечныхгрупп первого ряда является то, что в каждой из них содержитсяцентр инверсии.

В группах второго ряда центра инверсии нет, ноесть плоскость, перпендикулярная направлению главной оси (этигруппы У,ГЖПО было бы записать в виде 1/m, 3/т, 5/т..., нообычно их обозначают символами вида п). В группах третьегоряда нет ни центра инверсии, ни плоскости симметрии. На:;очец,группы четвертого ряда содержат и центр инверсии и плоскость т. Действительно, так как любая ось четного порядка содержит в себе ось 2, присутствие центра инверсии в таких группах вытекает из теоремы 3 (см. раздел 1.2).В пределе все эти ряды приводят к одной и той же тачечнойгруппе оо/ш (символ этой группы можно записать и как оо), чтоявляется основанием для объединения их в одно семейство — семейство вращающегося цилиндра (см. рис.

1.3.1, в).Группами этого семейства описывается симметрия молекул1,5-дихлорнафталина_ (группа 2/т), борной кислоты НзВОз(рис. 1.3.6) (группа 6) и других.V. Семейство неподвижного цилиндра. Если к каждой изгрупп предыдущего семейства добавить плоскость симметрии т,проходящую через ось, получается четыре новых ряда точечныхгрупп:1т,Зт,5т,7т, . . .2т2,6т2, Тт2, Пт2, . .. оо—т42т,82т, Т22т, Тб2т, . . .т2/ттт, 4/ттт, 6/ттт, 8/ттт,Рассмотрим последовательно каждый из этих рядов.Выше отмечалось, что инверсионная ось нечетного порядкасодержит в себе поворотную ось того же порядка.

Тогда в соответствии с теоремой 4 из раздела 1.2 каждая из точечных групппервого ряда содержит столько плоскостей симметрии, каков порядок главной оси. Кроме того, благодаря присутствию центраинверсии перпендикулярно каждой плоскости располагается осьвторого порядка. Эти оси проходят между плоскостями симметрии.

На рис. 1.3.7 показано расположение элементов симметриив первых двух группах этого ряда. Первая из этих групп ужевстречалась в предшествующем семействе, тде для нее было использовано ее обычное обозначение 2/т.Инверсионные оси четного порядка содержат в себе поворотные реи с порядком в 2 раза меньшим. Поэтому при наличииоси п с четным п имеется я/2 плоскостей симметрии, проходящихчерез главную ось.Группы второго ряда, где я = 4/+2, содержат, кроме того,плоскость симметрии, перпендикулярную главной оси.

В соответ33ствии с теоремой 2 по линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей т проходит ось второго порядка. Всего таких побочных осей в группе содержится я/2. Первые две группыРис. 1.3.7. Расположение элементов симметрии в точечных группах первогоряда семейства неподвижного цилиндра:_а — группа 1/п, чаще обозначаемая символом 2/т, б — группа 3/пэтого ряда представлены на рис. 1.3.8. Группа 2т2 уже фигурировала в семействе неподвижного конуса в обозначении 2mm;чаще всего эту группу обозначают символом mm2 (см. ниже).Рис.

1.3.8. Расположение элементов симметрии в точечных группах второго ря_да семейства неподвижного цилиндра:а — группа 2т2 (ориентация элементов симметрии на рисунке соответствует более обычному обозначению тт2), б — группа 6т2В группах третьего ряда нет плоскости, перпендикулярнойглавной оси, но здесь также присутствуют п/2 побочных осейвторого__порядка, что вытекает из теоремы 5 (см., например,группу 42т на рис.

1.3.9).Расположение элементов симметрии в первых двух группахчетвертого ряда показано на рис. 1.3.10. Обозначения этих группстроятся подобно обозначениям групп семейства неподвижногоконуса с добавлением плоскости т, перпендикулярной к главнойоси; их записывают как в виде —mm (с помощью прямой дрот34/би), так и в виде п/ттт (с помощью косой дроби). Группу2/ттт обычно обозначают как ттт.В пределе все эти ряды дают точечную группу — m (друmгая запись ост). Такую симметрию имеет неподвижный цилиндр.В качестве примеров молекул, симметрия которых описывается точечными группами настоящего семейства, приведем молекулу ферроцена (см. рис^ 1.1.2, а, группа 5т), молекулу SbCls(см.

рис. 1.1.2,6, группа 6т2), молекулу нафталина (группаттт), молекулу бензола (группа б/mmm), двухатомные молеt группа —°° т \ .кулы галогенов, водорода, кислорода, азота_\гп IБудем в дальнейшем называть оси п и п, для которых я>3.осями высшего порядка.Точечные группы, которые не содержат ни одной такой оси, объединяютсяв низшую категорию. Существует всеговосемь таких групп (1, 1, 2, m, 2/m, 222,тт2, ттт).Рис. 1.3.9. Расположение элементов симметрии вточечной группе *42т (третий ряд семейства неподвижного цилиндра)Точечные группы, содержащие одну ось высшего порядка(или несколько таких осей, но проходящих по одной прямой),принадлежат средней категории. Таких групп бесчисленное множество.Выше были рассмотрены точечные группы этих двух категорий.

В дальнейшем нам предстоит познакомиться с группамивысшей категории, содержащими несколько осей высшего порядка, которые не совпадают по направлению (насчитывается всегодевять таких групп; о них говорится ниже).При классификации точечных групп имеет смысл также выделить предельные группы, содержащие оси бесконечного поряд1-г/О0 00 0\ка. Пять из них оо, сю 2, оо/п, — , — m мы уже упоминали.Vmm/Существуют еще две такие группы, которые служат основой дляразделения групп высшей категории на два семейства.

Но прежде чем переходить к этим семействам, остановимся на некоторыхобщих принципах символики точечных групп.Одинаково широкое применение находят две системы обозначений точечных групп. Первая из них называется символикойШенфлиса (она будет описана в разделе 1.5), вторая называетсямеждународной символикой. В международных символах точечных групп обычно указываются не все элементы симметрии, алишь так называемые' «порождающие» (благодаря теоремам о35комбинациях они автоматически вызывают присутствие остальных, «порожденных» элементов).

В вопросе о том, какой из элементов считать «порождающим» (если возникает такая альтернатива), предпочтение отдается плоскости т.Употребляются сокращенные (использованные выше) и развернутые (более подробные) международные символы точечныхгрупп. В развернутой форме символ точечной группы низшей ка-Рис. 1.3 10.

Расположение элементов симметрии вточечных группах четвертого ряда семейства неподвижного цилиндра:а — группа 2/ттт, обычно обозначаемая простоттт, б — группа 4/ттттегории содержит три позиции 1 , соответствующие осямнат X, У, Z. Если в точечной группе присутствует плоскость симметрии, перпендикулярная той или иной оси, в соответствующейпозиции ставится обозначение «т». При наличии оси 2, идущейвдоль какой-либо из осей координат, в соответствующей позицииставится «2».

Одновременное присутствие этих двух элементовсимметрии обозначается «2/т». Отсутствие элементов симметрии,соответствующих данной позиции, отмечается с помощью «1».В этих обозначениях последние шесть из перечисленных вышегрупп низшей категории записываются следующим образом:112; llm; 11 — ; 222; тт2; A JLA.тт т тЗдесь подразумевается, что в группах 2, т и 2/т ось 2 или 2~ направлена вдоль оси Z, а в группе mm2 имеющиеся плоскостиперпендикулярны осям X и У; такой способ выбора осей координат чаще всего применяется для этих групп. Однако возможна идругая ориентация.

Например, символ 1 ~ 1 показывает, что сосью 2 совмещена координатная ось У, а символ 2mm означает,1Исключением являются группы 1 и 1, для которых развернутая форма записи не нужна.36что плоскости симметрии перпендикулярны осям Y и Z, в то время как по оси X проходит ось 2.В точечных группах средней категории ось высшего порядкаобычно совмещают с осью Z. Обозначение этой оси высшего порядка ставится в первой позиции. Наличие плоскости, перпендикулярной к главной оси, отмечается в этой же позиции с помощью дроби. Вторая позиция отводится для обозначения элементов симметрии, соответствующих координатной оси X. Третьяпозиция нужна лишь для точечных групп с главными осями четного порядка — она служит для обозначения элементов симметрии, соответствующих направлению, которое лежит в плоскости,перпендикулярной главной оси, и образует с осью X угол а == 180°М (в случае главных осей с нечетными порядками втретьей позиции всегда получится то же, что и во второй).В остальном правила построения символа те же, что и для низшей категории.В качестве примеров развернутой записи точечных группсредней категории приведем следующие символы:_31 развернутая форма) =3 (сокращенная форма)411 = 4; 31=3; 4 1 1 = 4 ;— 2—3—42243 — = Зт;— т 2 = бт2;— — — — — m m ( и л и 4/ттт).ттт т ттВ семействах II и III развернутая и сокращенная формы записине отличаются друг от_друга.