М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 31

5.2.3, г ) . Здесь под действием перпендикулярных трансляцийвозникают оси 3, проходящие через центры треугольников со сторонами tj_, и оси 2, проходящие через середины этих сторон.Из рис, 5.2.3 следует важное заключение: сосуществование оси/г и перпендикулярной к ней трансляции возможно лишь при п == 2, 3, 4 и 6.

Значения п = 5, 7, 8... привели бы к необходимостизаполнить плоскость правильными пятиугольниками, семиугольниками, восьмиугольниками..., что невозможно.Аналогичным образом действует перпендикулярная трансляцияна винтовые оси. Возникающие при этом расположения элементовсимметрии показаны на рис. 5.2.4. Здесь проявляются следующиесоотношения, в справедливости которых нетрудно убедиться:4!=32i; 42Еэ2; 6,=эЗ,;62Еэ32; 62Еэ2; 63ЕэЗ;Расположения с осями 32, 43, 65, 64, которые энантиомерны осямЗь 4 Ь 6i, 62, можно получить, отразив рис.

5.2.4, б, в, д, е в плоскости, перпендикулярной к чертежу. Из рис. 5.2.4 видно, что и длявинтовых осей недопустимы значения п = 5, 7, 8... .Сочетания перпендикулярных трансляций с инверсионнымиосями показаны на рис. 5.2.5. Поскольку инверсионные оси 3 и бсоответственно эквивалентны зеркально-поворотным осям шестогои третьего порядка, ось 3 смещается в центр шестиугольника, аось 6 — в центр треугольника, построенного на трансляции.^ Нарис.

5.2.5, а, б находят отражение соотношения: 3^3; 3^1; 4э2.По той же причине, что и в случае поворотных и винтовых осей,при наличии перпендикулярной трансляции значения я = 5, 7, 8 ...невозможны.Обратимся к сочетаниям закрытых и открытых элементов симметрии с наклонной трансляцией t. Последнюю разложим на составляющие t,| И t_[_.Поворотная ось под действием составляющей tj_ сместится всоответствии с приведенной выше теоремой, а именно в центр правильного л-угольника, построенного на векторе tj_.

Составляющаяtn, если она представляет собой соответствующую долю кратчайшей трансляции, направленной вдоль оси, превратит эту ось в винтовую. На рис. 5.2.6 показаны конкретные примеры.При наличии поворотной оси 2 наряду с наклонной трансляциейti должна существовать трансляция t2 (рис. 5.2.6, а). Разностьвекторов ti — t2 = 2tj_ и их сумма ti + t2 = 2t,, представляют собой162трансляции, которые согласно правилам выбора кристаллографических осей следует считать координатными; обозначим их с и а.Ячейка, построенная на векторах с и а, оказывается центрированной.

Под действием составляющей t± ось 2 смещается на расстояние с/4, а под действием составляющей t,, превращается в ось 2ьВ итоге получаем систему чередующихся поворотных и винтовыхосей второго порядка.—О—ИавРис.5.2.5. Действие перпендикулярной трансляции на инверсионные____°си:а — ось 3, б — ось 4, в — ось 6. Рисунки а—в являются изображением групп РЗ, Р4Т Р6Рис. 5.2.6, б представляет собой проекцию вдоль оси 3; на рисунке видна составляющая tj_, которая смещает ось 3 в центр треугольника со стороной tj_, а составляющая t,, превращает ее в винтовую ось Зь На трех трансляциях t, связанных осью 3 (на рисунке показаны их проекции), можно построить параллелепипед повторяемости в форме ромбоэдра.

Это означает, что в данном расположении элементов симметрии присутствует гексагональнаядважды объемноцентрированная решетка; проекция соответствующей ячейки изображена на рис. 5.2.6, б двойной линией.На рис. 5.2.6, в представлена картина, к которой приводит аналогичный анализ сочетания наклонной трансляции с осью 4. Приведенная проекция изображает тетрагональную объсмноцентрированную ячейку.163Рассмотренные примеры иллюстрируют также результаты, которые дает комбинация наклонной трансляции и винтовой оси.В этом случае ось смещается в центр я-угольника, построенногона векторе tj_, и под действием составляющей t,, становится поворотной.

Итоговое расположение элементов симметрии выглядитточно так, как это показано нарис. 5.2.6.Тем же способом получаетсярасположение элементов симмет-рии, к которому приводит сочетание наклонной трансляции с инверсионными осями (рис. 5.2.7).Специфика здесь заключаетсялишь в необходимости рассмотреть действие имеющихся транс-Рис. 5.2.6. Действие наклонной трансляции на поворотные и винтовые оси:а — ось 2; б — ось 3; в — ось 4.Рисунки а—в представляют собойизображение пространственных групп82, R3 и /4164Рис.

5.2.7. Действие наклонной трансля-^ции на инверсионные оси: а — ось 3;б — ось 4. Рисунки являются изображунием пространственных групп РЗ и /4.Рядом с центрами инверсии, не лежащими в плоскости чертежа, стоят дроби,которые указывают высоту этих точекв долях кратчайшей трансляции по координатной оси Zляций на центр инверсии, содержащийся в инверсионной оси 3(рис. 5.2.7, а), и на особую точку инверсионной оси 4 (рис. 5.2.7, б).О том, как это сделать, говорилось в начале настоящего раздела.В заключение обратимся к сочетаниям наклонной трансляции сплоскостями зеркального и скользящего отражения. Типичные случаи представлены на рис. 5.2.8. Картина действия наклонной*}Рис.

5.2.8. Действие наклонной трансляции на плоскости зеркального и скользящего отражения:а — плоскость га; б — плоскость Ь. Рисунки изображают расположение элементов симметрии в пространственных группах Вт и ВЬтрансляции на плоскость т (рис. 5.2.8, а) во многом сходна с той,которая возникает при сочетании такой трансляции с осью 2(рис. 5.2.6, а). Здесь в центрированной двумерной ячейке чередуются плоскости m и а.

Если наклонная трансляция t действует наплоскость b (рис. 5.2.8, б), то составляющая t± смещает ее нарасстояние с/4, а составляющая 1ц превращает в плоскость п. Этирисунки можно рассматривать и как комбинацию наклонной трансляции с плоскостями а и п.Разумеется, здесь не были описаны все мыслимые случаи.

Так,мы не анализировали сочетание наклонной трансляции с осью 6.Однако сказанное дает возможность легко заполнить пробелы.В частности, учитывая то, что ось 6 содержит в себе ось 3 и перпендикулярную к ней плоскость т, не представляет труда изучитьи этот случай.5.3. СОЧЕТАНИЯ ОТКРЫТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕЖДУСОБОЙ И С ЗАКРЫТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ СИММЕТРИИВ главе 1 были рассмотрены сочетания закрытых элементов симметрии. Теперь нужно установить аналогичные соотношения дляоткрытых элементов симметрии и для тех случаев, когда открытыеэлементы симметрии сочетаются с закрытыми.Общий принцип, который здесь обнаруживается, заключается втом, что открытые элементы симметрии в некоторых отношенияхведут себя подобно сходственным закрытым элементам: винтовые165оси — подобно поворотным осям того же порядка, плоскости скользящего отражения — подобно плоскостям зеркального отражения.Иными словами, отправным пунктом здесь могут служить теоремы, сформулированные в разделе 1.2.Будем объединять в понятии элементов симметричности сходственные открытые и закрытые элементы симметрии.

Так, будемназывать плоскостями симметричности плоскости скользящего изеркального отражения, вместе взятые, осями симметричности второго порядка — оси 2i и 2, осями симметричности третьего порядка — оси 3i, 32 и 3 и т. д. Тогда теоремы о комбинациях элементов симметрии можно обобщить следующим образом.Теорема 1. Если две оси симметричности второго порядка пересекаются или скрещиваются под углом а=\80°/пч где п — натуральное число, то перпендикулярно к этим осям проходит ось симметричности п-го порядка.Теорема 2.

Если две плоскости симметричности пересекаютсяпод углом а, то параллельно линии их пересечения проходит осьсимметричности с углом поворота 2ос. В частности, если две плоскости симметричности взаимно перпендикулярны, параллельно линии их пересечения проходит ось 2 или ось 2\.Теорема 3. Если ось симметричности второго порядка пересекается или скрещивается с нормалью к плоскости симметричностипод углом а=180°М, то перпендикулярно к этой оси и этой нормали проходит инверсионная ось п.Отметим важный частный случай теоремы 3: взаимно перпендикулярные ось симметричности второго порядка и плоскость симметричности порождают центр симметрии. Справедливы также следующие утверждения: 1) при наличии центра симметрии и оси симметричности второго порядка перпендикулярно к этой оси проходит плоскость симметричности; 2) при наличии центра симметриии плоскости симметричности перпендикулярно к этой плоскостипроходит ось 2 или 2ьТеорема 4. Если перпендикулярно к оси симметричностип-го порядка проходит ось симметричности второго порядка (илинормаль к плоскости симметричности), то должно существовать пнепараллельных осей симметричности второго порядка (или нормалей к плоскостям симметричности), перпендикулярных к оси пили HQ.

Здесь, как и в предыдущих теоремах, возможны случаискрещивания и пересечения.Теорема 5. Если перпендикулярно оси п располагается нормальк плоскости симметричности (или ось симметричности второго порядка), то под углом 180°/rt к этой нормали (или оси) и перпендикулярно оси П проходит ось симметричности второго порядка(или нормаль к плоскости симметричности).В отличие от теорем из раздела 1.2 эти теоремы не дают окончательного ответа на вопрос о характере и расположении элементов симметрии, которые возникают как следствие сосуществованияэлементов, фигурирующих в посылках теорем. Окончательный результат можно получить, если учесть действие сдвигов т, содер166жащихся в исходных элементах симметрии.

Это действие во многом сходно с действием трансляций. Необходимо также принятьво внимание характер расположения исходных элементов — пересечение или скрещивание. Мы не будем рассматривать этот вопросв деталях 1 и ограничимся рядом типичных примеров.ВгРяс. 5.3.1. Сочетания осей симметричности второго порядка 2и 2ьа — оси пересекаются под прямым углом; б — оси скрещиваются под прямым углом; в — оси пересекаются под >1лом 45°; г —оси скрещиваются под углом 45°1. Под углом 90° пересекаются оси 2 и 2\. Пусть они направлены вдоль осей X и У соответственно (рис. 5.3.1, а). Тогда согласно теореме 1 параллельно оси Z должна проходить ось 2, которая под действием сдвига, содержащегося в оси 2Ь будет смещена на половину этого сдвига.

Если исходные оси скрещиваются,то возникающая ось окажется винтовой (рис. 5.3.1, б); расстояниемежду скрещивающимися осями будет равно половине сдвига, присутствующего в возникающей оси 2 . Эти заключения, а также при1См книгу Ю. Г. Загальской и Г. П. Литвинской «Геометрическая микрокристаллография», указанную в списке рекомендуемой литературы.2Если горизонтально ориентированный элемент симметрии (или центр инверсии) не лежит в плоскости чертежа, то на рисунках ставятся дроби, указы-167меры, следующие ниже, можно проверить, действуя изображенными элементами симметрии на произвольную точку пространства.2. Те же оси пересекаются (скрещиваются) под углом 45°. Тогда возникающая ось должна быть поворотной (винтовой) осью четвертого порядка (рис.

5.3.1, в, г).3. Пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости bum,(рис. 5.3.2, а). Результат, получаемый с помощью теоремы 2, ана.логичен представленному на рис. 5.3.1, а. Если пересекаются плос--4---4---SгРис. 5.3.2. Сочетания плоскостей симметричностиа — плоскости Ь и т пересекаются под прямым углом; б — плоскости Ьи с пересекаются под прямым углом; в — плоскости а и т пересекаютсяпод углом 45°; г — плоскости а и с пересекаются под углом 45°кости Ь и с или п и т, т.