М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 28

е. она параллельналюбого свойства, опиранга:(29Таким образом, длина всякого радиус-вектора характеристическойповерхности второго порядка обратно пропорциональна корнюквадратному из величины S, представляющей собой свойство вданном направлении. В случае гиперболоида и мнимого эллипсоида появляются мнимые радиус-векторы; здесь можно использовать поверхность 5//л:/л:/ = — 1, для которой справедливо соотношение г^= 1/1/ — 5. Очевидно, что для направлений, которым соответствует радиус-вектор, равный бесконечности (асимптотическиеповерхности гиперболоидов), величина свойства 5 равна нулю.Наконец, если тензор S связывает векторные свойства р и q,то, проведя плоскость, касательную к характеристической поверхности 5 в точке, которая определяется вектором q, и восставив нормаль к этой плоскости, получим направление вектора р.1434.2.

ПИРО- И ПЬЕЗОЭФФЕКТТеперь сосредоточим внимание на двух физических свойствах,присущих только кристаллам.Первое из них — пироэффект, заключающийся в изменении поляризации непроводящего или малопроводящего электрический токкристалла при изменении температуры. Изменение поляризациипроявляется в возникновении или исчезновении, увеличении илиуменьшении электрических зарядов на поверхности кристалла.Формула пирбэффекта такова: Р = рДГ, где Р — поляризация, обусловленная изменением температуры 5Т, р — вектор пироэффекта(тензор первого ранга).

Если разложить вектор поляризации Р потрем декартовым осям координат, то Р1= р^Т9 где i = l , 2, 3,Pi — компоненты тензора_ пироэффекта.Очевидно, что пироэффект может наблюдаться только по единичному направлению. Кроме того, в соответствии с принципомНеймана это направление должно быть полярным. В разделе 1.8отмечалось, что такие направления .присутствуют только в точечных группах из семейств вращающегося и неподвижного конусов.Среди них имеется лишь десять кристаллографических групп:1,m,2,3,4,6,2mm, 3m, 4mm, 6mm.В асимметричном кристалле всякое направление — единичное иполярное; компоненты pi могут приобретать любые значения.

Вкристалле симметрии m вектор р должен лежать в плоскости зеркального отражения; если эта плоскость перпендикулярна оси Х3,то Рз = 0. В прочих перечисленных группах единичное полярное направление совпадает с поворотной осью симметрии; если эта осьсовмещена с осью А3, то для кристаллов с такой симметрией р\ —= /?2 = 0.Другое специфическое свойство кристаллов — пьезоэффект,представляющий собой изменение поляризации диэлектрическогокристалла при деформации.

Точнее, речь идет о кристалле, к которому приложено механическое напряжение. Напомним, что последнее имеет размерность силы, отнесенной к единице площади.В общем случае напряженное состояние тела характеризуетсясимметричным тензором второго ранга /:Г/Ч/!./»]I /21 /22 /23-L/31 /32 /33-'Конкретный смысл компонентов этого тензора виден из рис. 4.2.1,на котором показаны силы, действующие на грани единичного куба, находящегося внутри напряженного тела. Компоненты f \ \ , /22,/зз называются нормальными; их положительные значения соответствуют растяжению, а отрицательные — сжатию вдоль координатных осей.

Компоненты /23, /is, /12 — сдвиговые; они характеризуют144напряжения, приложенные тангенциально по отношению к осямкоординат.Формула пьезоэффекта: P = df, где Р — поляризация, обусловленная напряжением /, d — тензор пьезоэффекта.

Это симметричный тензор третьего ранга, содержащий 27 пьезоэлектрических мо-L/535Рис. 4.2.1. Компоненты тензора напряжений fa:а — силы, действующие на грани единичного куба в напряженном теле,б — проекция вдоль оси Xiдулей di]k, из которых лишь 18 независимых (Ад=Ал/). Составляющие вектора поляризации выражаются следующим образом:33-+ ^/23/23Отсюда ясен физический смысл каждого из пьезоэлектрическихмодулей.

Пусть, например, к кристаллу приложено только нормальное напряжение fn вдоль оси Х\. Тогда P\ = d\\\f\\, Р2== ^211/11, -Рз^зп/п.. Следовательно, коэффициент dn\ определяетсоставляющую поляризации по оси Х\ при растяжении или сжатиивдоль оси Х\, коэффициент d%\\ — составляющую поляризации пооси Х2, a dan — составляющую поляризации по оси J3 при такойдеформации. Аналогично находится смысл остальных модулей.Тензор третьего ранга представляет собой таблицу в формекуба, которую можно выписать по слоям в следующем виде:3 слой2 слой1 слой^132^313^213^221 ^222 ^223^321 ^322 ^323^231 ^232 ^233^331 ^332 ^333Исключая из числа этих модулей те, которые не являются независимыми, обычно переходят к более коротким матричным обозна145чениям. При этом независимые модули тензора в каждом слое читаются в следующем порядке:Затем их выписывают в виде строки матрицы, и те модули, которые относятся к сдвиговым напряжениям (j^k), умножают на два:6И11 ^199 U*1331 Я Я ^^НоЯ122&ЛЛ Я ^^*110!\"211 "222 "233 2"223 2d213 2a212"311 "322 ^ззз 2u323 2a313 2а312УУмножение на два, как будет видно из дальнейшего, диктуетсяудобством записи уравнения пьезоэффекта в матричной форме.

Переходя к матричным обозначениям di\\ = di\, rf«22 = rf«2, Лзз = Лз>Zdi23 = di4, 2di\3 = di5, 2dn 2 = d/6, получаемdn d12 d13 du d15 dle"21 "22 ^23 ^24 ^25 ^^31 ^32 ^33 ^34 ^35 ^Если преобразовать соответственно обозначениятензора напряжений/i/e/в!/11 /12 /13/21 /22 / 2 3L/31 /32 /33 Jкомпонентов-/6/2/4 ЬL/5/4/3-Iто величина поляризации при пьезоэффекте определяется формулойPi = dnfi + d/2/2 + d/з/З + d/4/4 + Лб/5 + Аб/6-Остановимся детальней на физическом смысле матрицы пьезоэффекта. Строки этой матрицы соответствуют составляющим вектора поляризации Рь РЪ РЗ, & столбцы — компонентам тензора напряжений: нормальным /1, /2, fs и сдвиговым f 4 , fs, fe- В качествепримера приведем матрицу такого типичного пьезоэлектрика, каккварц:/ — 2,3 2,3 0 —0,67ОО\О0 0 0 0,67 4 , 6 х Ю- 12 /С/Я.\ 00000 0 /Вид этой матрицы показывает, что:1) при нормальной деформации вдоль оси Х\ и вдоль оси Х%кристалл поляризуется по оси Х\, векторы поляризации в этих двухслучаях одинаковы по величине, но противоположны по направлению;1462) при деформации вдоль оси Х3 поляризация не возникает;3) сдвиговые напряжения относительно осей Х\ и Х2 приводятк равной по величине, но противоположной по направлению поляризации вдоль этих осей;4) сдвиговое напряжение относительно оси Хз вызывает поляризацию вдоль оси Х 2 ;5) ни при каких напряжениях не возникает поляризации пооси Х&Численные значения пьезоэлектрических модулей позволяютколичественно связать величину поляризации с компонентамитензора напряжений.Наличие в кристалле элементов симметрии приводит к уменьшению числа независимых пьезоэлектрических модулей; при этомнекоторые из них или даже все сразу могут оказаться необходимо равными нулю.

Для установления подобных закономерностейудобно пользоваться методом прямой проверки, который основанна том, что компоненты тензора преобразуются аналогично соответствующим произведениям координат (см. предыдущий раздел).Рассмотрим кристалл с симметрией 1.

Действие центра инверсии на оси координат можно записать следующим образом: Xi—*- — X*. Это значит, что координаты произвольной точки Xi преобразуются в — х,\. Возьмем, например, компонент тензора d\^\ он должен преобразовываться подобно произведению координат ХьХз2. Последнее под действием центра преобразуется в — Xix^2. Следовательно, ^133== — ^1зз, а это возможно только при о?1зз = 0.

Очевидно, что подобный результат получится и для любого другого коэффициента dijk Это значит,что в центросимметричном кристалле пьезоэффект невозможен.Действуя методом прямой проверки, найдем в качестве примеров закономерности пьезоэффекта для точечных групп 2 и 4.Ось 2, направленная вдоль оси Хз, преобразует оси координат по законуXi-+—Xi, Х2-+—Х-,У Хз-^Хз Отсюда вытекает, например,И Т Д.Очевидно, что не обратятся в нуль лишь те модули, индекс которых содержитодну или три цифры 3. Соответствующая матрица схематически изобразитсяв виде*©0©•Me точкой обозначены модули', ртвпые пулю, а значком ф — модули, неравныепулю Это значит, чго при L / к г ь и и"п p a c i " чены! поль осой X i , Х2 и Х3, а так-же при наличии сдвигового напряжения / 5 , перпендикулярного оси Хз, поляризация может возникнуть юлоко n nanpai^iLiiHH оси A r j.

Если к кристаллу прилож и т > сленговые напряжения / 4 и / 5 , перпендикулярные осям Х\ к Х2, то возникает поляризация, направленная вдоль O I I T X осей.R матрице, TIP писанной для каждого конкретного вещества, на месте точекбудут сюять нули, а па месте значков ф — числовые значения соответствующих модулей Эго позволит точно рассчитать величину и направление вектораполяризации в зависимости от имеющихся деформирующих напряжений.147Ось 4 включает в себя ось 2. Поэтому, переходя к точечной группе 4, достаточно рассмотреть только те модули, которые не_обратились в нуль в группе 2.