М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 26

Эти символы легко получить, пользуясь соотношением i =— (h + k ) : например, (331)=(3361).Символ грани, заключенный в фигурные скобки {hkl}, относится ко всей совокупности симметрически эквивалентных граней,включающей данную грань, т. е. представляет собой символ изоэдра. Например, шести граням куба соответствует символ {100}.Изоэдры, наблюдающиеся в кристаллах карбамида (см. рис.1.6.3), это — тетрагональная призма с символом {110} и тетрагональный тетраэдр {111}.Отметим, что один и тот же символ в разных кристаллографических точечных группах может отвечать разным изоэдрам.

Например, в кубической сингонии символ {111} соответствует изоэдру, грани которого перпендикулярны осям третьего порядка.В ^группах 23 и 43/п это тетраэдр с гранями (111), (111), ( П 1 ) ,(ПГ), а в группах тЗ, 432 и /пЗ/п — октаэдр с гранями (111),(111), ( Т ) , (111), (Ш), (ИГ), ( И Г ) , (ИГ).Каждая точечная группа характеризуется строго определеннымнабором возможных для нее изоэдров. Результаты полного вывода изоэдров для 32 кристаллографических групп представленыв табл. 10.Т а б л и ц а 10Кристаллографические изоэдры и их символыТриклинная сингония{Ш}1 (С,)КС,)СимволмоноэдрпинакоидМоноклинная сингонияСимволы{001}{/i&O}{Ш}m(C s )2(С 2 )моноэдрпинакоиддиэдр2/т (С2А)пинакоидмоноэдрдиэдрпинакоидпинакоидромбическая призмаОртогональная сингоиияСимволыmm2 (C2z/){001}222 (D2)моноэдрпинакоидmmm (^«Л^1 пинакоидпинакоид{100}{110}{hkO}> ромбическая призма{Ш}{Ш}{Ш}диэдр) ромбическая пираJ мидаромбическая призмаромбический тетраJ' эдр:1ромбическая призма} ромбическая дипирамиj даТетрагональная сингония4 (С4)Символы{001}{Ш)}{Ш}{Ш}4 ( <54)(C^пинакоидпинакоидтетрагональная призматетрагональная пирамида\ тетрагональный тетра- тетрагональная дипирамидаэдрмоноэдрСимволы{001}{100}{110}{АЛО}14mm (C4 )моноэдр1)422 (D4)пинакоид— mm (D4/l)тпинакоид42m (D^^пинакоидтетрагональная призмадитетрагональная призма{Ш}тетрагональная'пирамидате грагональнаядипирамидатетрагональнаядипирамида{Ш}дитетрагональная пирамидатетрагональныйтрапецоэдрдитетрагональная дипирамидатетрагональная дипирамидатетрагональный тетраэдртетрагональный скаленоэдр133Продолжение табл.

10Тригональная подсингонияСимволы3(S 6 )3(С 3 ){001}(hkQ)моноэдрпинакоидтригональная призмагексагональная призматригональная пирамида ромбоэдр{hkl}СимволыЗт (С3,()32 (D 3 ){001}{100}моноэдртригональная призмагексагональная призмадитригональная призмапинакоидгексагональная призматригональная призмадитригональная призма{110}{hkO}{Ш}{Ш}{hkl}Зт Фол)пинакоидгексагональная призмагексагональная призмадигексагональная призмагригональная пирамида ромбоэдрромбоэдргексагональная пирами- тригональная дипира- гексагональная дипирамидамидададитригональная пира- тригональный трапецо- тригональный скаленомидаэдрэдрГексагональная подсингонияСимволы{001}{Л/Ю}{hkl}6(С 6 )Отш (С6у){001}{100}{hkO}{/,0/}{/]/(/){hkl}134зА>моноэдрпинакоидгексагональная призма тригональная призмагексагональная пирами- тригональная дипирамидадаСимволы{110}66 (С:— mm (D h)т622 (D 6 )пинакоидмоноэдрпинакоидгексагональная призмагексагональная дипира»мидапинакоидгексагональная призма(/игексагопл^ьная призма! i скс.'н ounj.Mia;|шфа%.п лJдпгексагоналъная пирамидаi}rei cai онрльнс п дш.ирами^аjгексагональныйтрапецоэдрдигекса'ональная дипирамида6m2 (D3fl)пинакоидгексагональнаяприематригональначпризмачигригональначпри, АШтригоналъная дипирамндагексагональнаядипирамидадитригональнаядипирамидаПродолжение табл.

10Кубическая сингонияСимволы23(7)кубромбододекаэдртетраэдрПентагон додекаэдр(Okl){АЛ/} (Л < 0 тригонтритетраэдр{hll} ( Л < / ) тетрагонтритетраэдрпентагонтритетраэдр{hkl}{100}{110}{111}Символы43m (Td)кубромбододекаэдртетраэдртетрагексаэдр{0*/}{hhl} (h < /) тригонтритетраэдр{hll} ( A < / ) тетрагонтритетраэдргексатетраэдр{hkl}{100}{110}{111}m3 (Th)кубромбододекаэдроктаэдрпентагондодекаэдртетрагонтриоктаэдртригонтриоктаэдрдидодекаэдр432 (0)кубромбододекаэдроктаэдртетрагексаэдртетрагонтриоктаэдртригонтриоктаэдрпентагонтриок гаэд рm3m (0Л)кубромбододекаэдроктаэдртетрагексаэдртетрагонтриоктаэдртригонтриоктаэдргексоктаэдрЭтот вывод удобно провести по следующей схеме. Группы низшей категории(кроме групп d и Ci) и средней категории делятся на два типа: 1) с однимособым направлением, 2) с несколькими особыми направлениями.

К первомутипу относятся группы С п , Спл, 5 П . В этих группах грань может занимать триразличные позиции. (001) — перпендикулярно особому направлению, (ЛАЮ) —параллельно особому направлению, (hkl) — общее положение Следовательно,в каждой из этих групп существует три вида изоэдров за исключением группы2— (С 2 л), где {001} и {Л/еО} — это изоэдры одного и того же вида (шшакоиды).тКо второму типу относятся группы вида Cnv, Dn, Dnh, Dn<i, в которых помимоглавных осей имеются перпендикулярные к ним особые направления (оси 2 или2). В этих группах грань может в принципе занимать семь различных позиций:(001), (100), (110), (МО), (Ш), (Ш), (hkl).

Запись (АЛ/) или (hll) означает,что два индекса в данном символе равны. Однако в некоторых случаях разныепозиции граней приводят к однотипным изоэдрам. Например, во всех группах сп = 4 или /г^б изоэдры {100} и {110} — это тетрагональные или гексат опальныепризмы. В группах l ( C i ) и 1 (Ci) нет особых направлений и, следовательно, имеет смысл выделять лишь изоэдры общего положения {hkl}.Рассмотрим в качестве примера группу 32 (jD 3 ). В соответствии с правиламивыбора координатной системы в кристалле такой симметрии ось Z должна бытьнаправлена вдоль осп 3, ось X — вдоль одной из осей 2, ось Y — под углом120° к оси X (т. е. 1«кже вдоль оси 2).

В позиции (001) грань перпендикулярнаоси 3, что приводит к нинакоиду. Грань (100) параллельна оси 3 и равионаиюнна к дьум соседним осям 2, это дает гексагональную призму. Изоэдр {НО}, содержащий грани, перпендикулярные осям 2, — тригональная призма. Грань типа(А/Ю) параллельна оси 3 и образует произвольный угол с осями 2; соответствующий изоэдр — дитригональная призма Грань типа (АО/) располагается параллельно оси 2 и равнонаклонно по отношению к двум другим осям 2, что приводит к ромбоэдру.

Грань типа (АЛ/), равнонаклонная к осям X и Y и составля135ющая произвольный угол с осью Z, принадлежит тригональной дипирамиде. Наконец, изоэдром общего положения {hkl} в данной группе является тригональный трапецоэдр. Таким образом, в случае группы 32 имеется семь различныхтипов изоэдров. Четыре из них реализуются в кристаллах низкотемпературногокварца (см.

рис. 1.7.10): 1 —гексагональная призма_{1010}, 2 и 3 — ромбоэдры{1010} и {0111}, 4 — тригональная дипирамида {1121}, 5 — тригональпый трапецоэдр {5161}.В группах кубической сингонии также насчитывается семь разных изоэдров:{100}, {ПО}, {111}, {0 /}, {hhl}, {till}, {hkl}. Рассмотрим в качестве примераизоэдры группы m3m. Здесь есть три изоэдра, грани которых занимают строгофиксированное положение относительно элементов симметрии: куб {100} — грани перпендикулярны осям 4, октаэдр {111} — грани перпендикулярны осям 3,ромбододекаэдр {110} — грани перпендикулярны осям 2.

Грани, занимающие положения (О/г/), (hhl) и (/I//), перпендикулярны плоскостям симметрии: первая —координатной, две другие — диагональным. Эти грани порождают три изоэдра:{Ш} — тетрагексаэдр, {hhl} — тетрагонтриоктаэдр, {Ml} — тригонтриоктаэдр.Изоэдр»общего положения {hkl} в группе m3m — гексоктаэдр.Глава 4ЗАВИСИМОСТЬ Ф И З И Ч Е С К И Х СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВОТ ТОЧЕЧНОЙ СИММЕТРИИ4.1. ТЕНЗОРЫ Ф И З И Ч Е С К И Х СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВДля описания физических свойств кристаллов широко используются тензоры. Познакомимся с зтим важным понятием на примере электропроводности.В изотропной среде, например в проводящей ток жидкости,векторы плотности тока j и напряженности электрического поляЕ связаны законом Ома: j = aE, где a — удельная электропроводность. В такой среде векторы j и Е всегда совпадают по направлению. Разложим эти векторы на составляющие по декартовымосям координат (эти оси, как это принято в кристаллофизике,будем обозначать Х\, Х2 и Х$): j[/i, /2, /з] и Е[ ь 2, з].

Дляизотропной среды /i = a i, /2 = ст 2, /з = а з. В анизотропной средесвязь между векторами j и Е усложняется:/2 = G2lE\ + 022^2 + (*2зз>(1 )(J3 = O3lE\ + 0>32^2 + 0»33^3,т. е. каждая составляющая плотности тока зависит от каждойсоставляющей напряженности.Нетрудно установить физический смысл коэффициентов оц.Так, аз2 определяет составляющую плотности тока в направленииоси Х3, если напряженность поля направлена вдоль оси Х%.

Изуравнений (1) следует, что векторы j и Е в анизотропной среде,вообще говоря, не совпадают по направлению.Таблица коэффициентов•—-»I°21 °^22G23I/о\(Z)называется тензором электропроводности, который представляетсобой пример тензора второго ранга.В общем случае, если свойство р связано со свойством q соотношением р = Тд, свойство Т рассматривается как тензор того илииного ранга. Число коэффициентов (компонентов), входящихв тензор, равно Зп, где п — ранг тензора.Очевидно, что ранг тензора Т определяется числом составляющих, или компонентов, необходимым для полного описания взаимной зависимости свойств р и q.

Так, если р и q — скалярные вели-*137чины, то Т — тоже скаляр, который можно рассматривать кактензор нулевого ранга. с Если р — вектор, a q — скаляр, то тензорТ должен содержать три компонента и является тензором первогоранга. В случае, когда р и q — векторы, ранг тензора Т равендвум. Если величина q сама является тензором второго ранга, ар — вектор, то Т — это тензор третьего ранга, содержащий27 компонентов, которые необходимы, чтобы связать три составляющих р с девятью компонентами q, и т. д.Примером тензора нулевого ранга является плотность р, входящая в формулу m = pl/, где m — масса, V — объем. Тензорывторого ранга характеризуют кроме уже рассмотренной электропроводности такие свойства анизотропных тел, как теплопроводность, тепловое расширение, диэлектрическая и магнитная проницаемость, диэлектрическая и магнитная восприимчивость и другие.