М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 25

Соотношение симметрии позициии голоэдрическойгруппы симметрии решетки (двумерная аналогия).а — симметрия позиции равна голоэдрической симметрии, б — симметрия позиции ниже симметрии^решеткиТТТj>Li0оо0оооооооооо—<^оо—с!)————с•)—I————/ную задачу об установлении симметрии решетки по внешнему видукристалла.Здесь можно использовать теоремы 1 и 3 из раздела 3.2. Тогдасимметрия решетки получается как результат добавления к группеМ центра инверсии и плоскостей симметрии, проходящих черезось я, если п^З. Это дает те группы симметрии решетки, которыеприведены в табл.

9.Особый случай представляют собой группы М, содержащие осьтретьего порядка. Добавив к ним центр инверсии и вертикальныеплоскости симметрии, мы получим группу Зт. Такой симметриирешетки отвечают гексагональная система координат и, как былопоказано в разделе 3.4, примитивная или дважды объемноцентрированная ячейка. В первом из этих двух вариантов симметриярешетки повышается до 6/m/nm.Совокупностькристаллов, характеризующихся одинаковойкристаллографической системой координат, представляет собойТаблица 9Кристаллографические точечные группы и их разбиение на сингонииТочечные i руппы(М и S)Сит опииСимметрия решетки (/ОТриклинная1, ТТМоноклинная2, т, 2/т2/тОртогональная(ромбическая)222, тт2, ттттттТетрагональная4, 4, 4 / т , 422, 4тт,42т, 4 /ттт4/тттГексагональнаяа) тригональная3, 3, 32, Зт, ЗтЗт или 6/ тттб) собственногексагональная6, 6, 6 / т , 622, бтт6т2, 6 /ттт6 /тттКубическая23, тЗ, 432, 43т, тЗттЗтсингонию.

Соответственно на сингонии делятся и кристаллографические точечные группы (см. табл. 9). Поэтому сингонию можно также определить как совокупность точечных групп, которымотвечает одна и та же координатная система. Названия шестисингонии аналогичны названиям шести систем координат. Гексагональную сингонию удобно разбить на две подсингонии: в первую входят группы с осями третьего порядка (это тригональнаяподсингония), во вторую — группы^ с осями шестого порядка(собственно гексагональная подсингония).

Первые три сингониисоставляют низшую категорию, три следующие — среднюю категорию, кубическая сингония относится к высшей категории. Такоеподразделение обусловлено характером точечных групп, входящихв соответствующие сингонии.Говоря о группах симметрии М, описывающих габитус кристалла, необходимо отметить следующее. Симметрия внешней формы реального кристалла всегда более или менее отличается отсимметрии идеализированного кристаллического многогранника.Неоднородность среды, в которой растет кристалл (например,влияние стенок сосуда), приводит к неравномерному развитиюсимметрически связанных граней.

В результате симметрия занижается. Вместе с тем наблюдается и обратный эффект: недостаточное развитие некоторых характерных изоэдров может привести128к образованию кристалла с завышенной симметрией. Поэтому приопределении истинной симметрии кристалла нельзя ограничитьсяизучением его внешней формы. Необходимые сведения дает исследование различных физических свойств. Наиболее надежныйметод — рентгеноструктурный анализ, позволяющий выявить симметрию внутреннего строения кристалла (пространственную группу), из которой симметрия внешней формы вытекает как следствие.3.7. ИНДЕКСЫ УЗЛОВ, УЗЛОВЫХ РЯДОВ,УЗЛОВЫХ СЕТОКЧасто возникает необходимость количественно охарактеризовать положение узла решетки, ориентацию узлового ряда или узловой сетки относительно кристаллографической системы координат.

При этом удобно пользоваться специальными индексами.Об индексах узлов уже было сказано в разделе 3.1. Добавимлишь, что обычно индексы узлов (как и прочие индексы) определяют на основе тройки координатных векторов: t mnp = ma + Aib + pc.Если координатные векторы а, Ь, с не являются базисными, тоэлементарная ячейка непримитивна и часть узлов имеет индексы,выражающиеся нецелыми числами (рис. 3.7.1).•И22•\{ь•иi'200с, - Ю*22.1122Рис.

3.7.1. Индексы узлов в ортогональнойцентрированнойузловой сетке\ XРис. 3.7.2. Символы узловых рядов в двумерной решеткеПрямая, проходящая через любые два узла решетки, представляет собой узловой ряд (очевидно, что на этой прямой имеетсябесчисленное множество равноотстоящих узлов). Решетку можнопредставить как серию параллельных узловых рядов, охватывающих все узлы решетки. Выберем в данной серии узловой ряд,проходящий через начало координат. Проведем вектор tmnP в ближайший узел этого ряда. Числа m, ny p представляют собой индексы рассматриваемого узлового ряда; они же являются индексами всей серии узловых рядов. Записанные в квадратных скобках(без запятых), они образуют символ узлового ряда [пгпр].

Нарис. 3.7.2 показаны символы некоторых узловых рядов в двумерной решетке.129Всякая плоскость, проходящая через три узла решетки, естьузловая сетка. Совокупность параллельных узловых сеток, охватывающая все узлы трехмерной решетки, называется серией узловых сеток. Сетки, которые входят в одну серию, отстоят другот друга на равные расстояния, так как они связаны трансляциями.Решетку можно разбить на серии узловых сеток множествомспособов.

Каждой серии отвечают тройка целочисленных индексовft, k, l и символ ( h k l ) , который записывают в круглых скобках.Числа ft, , / показывают, на сколько частей делит данная сериясеток координатные векторы а, Ь, с (рис. 3.7.3). Вместе с тем индексы ft, &, / характеризуют наклон сеток по отношению к координатным осям. Для ортогональной системы координат уравнениеплоскости, в которой лежит ближайшая к началу координат сеткаиз данной серии, имеет видхa/h.уb/k.гc/l,ha.kЬ.IсЛ——— 4- -2— + ——— = 1 ИЛИ —— JC + —У У+ —— 2 = 1 .Следовательно, величины ft, k, l пропорциональны направляющимкосинусам нормали к этой сетке.Очевидно, что числа _ft,_ , / могут быть и отрицательными, причем симв'олы (hkl) и (hkl) идентичны; напомним, что знак «минус» принято писать над соответствующим индексом.

Пусть данная серия сеток делит вектор с на / частей и те плоскости, которые пересекают вектор с, пересекают ось X (или ось У) в ее отрицательной части, т. е. они пересекают вектор —а (или — Ь). Тогдаесли считать индекс / положительным, то индекс ft (или k) будетотрицательным и наоборот.Если узловые сетки параллельны какой-либо координатнойоси, то соответствующий индекс равен нулю. Символы серий сеток,параллельных координатным плоскостям, имеют вид (001), (010)и (100).

Для примитивной решетки индексы ft, k, I — взаимнопростые числа (рис. 3.7.3, а—в). В случае непримитивной решеткичисла ft, k, l могут иметь общий множитель (рис. 3.7.3,г).Если одна из сеток, входящих в данную серию, проходит черезузлы т\п\р\, гп2П2р2 и тз^зрз, то индексы ft, k и / можно найти изсистемы уравненийhm1hm9где q — номер узловой сетки; сетка, проходящая через начало координат, считается пулевой, прочие сетки имеют номера, выражаемые как положительными, так и отрицательными числами.Важной характеристикой серии узловых сеток (hkl) являетсярасстояние между ближайшими сетками, называемое межплоскостным расстоянием.

Это'расстояние, обозначаемое dhki, зависитот величины индексов ft, /е, I и от параметров элементарной ячей130ки. Для триклинной решетки эта зависимость достаточно сложна.Чтобы записать соответствующую формулу, введем следующиеобозначения h/a = H, k/b = K, ljc = L\ sina = s b sin|3 = s2, sin у — $s;? = c3. Тогда\HK (ciC2 — f3) + 2/CL (c2c3 — Ci) + 2ЯL (сгс^ — c2)____.1 _^__C-_C5.unklIРис. З.7.З. Символы серий узловых сеток, записанные в предположении, что всеэти сетки делят вектор с на / частей.а—в — примитивная решетка, г — непримитивная решеткаВ случае прямоугольной решеткительно упрощается:формула значи-unkl1313.8.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОЭДРЫИ ИХ СИМВОЛЫВ разделе 1.7 был дан общий обзор всевозможных изоэдров.Теперь нужно отобрать из них те, которые совместимы с кристаллографическими точечными группами, т. е. могут проявлятьсяв огранке кристалла.Каждая грань кристалла, как уже было сказано, параллельнанекоторой серии узловых сеток. Поэтому положение грани относительно кристаллографической координатной системы описывается так же, как и положение соответствующей серии сеток, т. е.с помощью трех индексов ft, k и /. Тройка индексов, заключенныхв круглые скобки (hkl), может рассматриваться, следовательно,и как символ грани.

Например, шесть граней куба имеют символы:(100), (010), (001), (ТОО), (ОТО), (001). В реальных кристаллахиндексы граней — это обычно небольшие числа. Они редко бывают больше, чем четыре, и исключительно редко — больше, чемшесть.В гексагональной сингонии часто используют символы вида(hkil), в которых индекс i соответствует координатной оси U(см. рис. 3.3.7).