А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации, страница 6

Они могут принять рандомизованную стратегию, но вероятность успеха всегда будет < 1.Квантовая стратегия: Однако если A и B могут заранее создать сцепленное состояние и заранее выбрать схему квантовых измерений, каждыйв своей лаборатории, то существует способ обеспечить выигрыш с вероятностью 1!2.5. КВАНТОВАЯ ПСЕВДОТЕЛЕПАТИЧЕСКАЯ ИГРА33Рассмотрим состояние Белла S = |ΨiAB hΨ|,11|ΨiAB = √ (| ↑iA ⊗ | ↑iB + | ↓iA ⊗ | ↓iB ) = √ (| ↑↑i + | ↓↓i) .22(2.11)Приготовленное сцепленное состояние является тензорным произведениемдвух состояний Белла для двух пар q-битов: A1 B1 и A2 B2 :|Ψi = |ΨiA1 B1 ⊗ |ΨiA2 B2 .q-биты A1 и A2 посылаются игроку A, а q-биты B1 и B2 – игроку B дообъявления C.A и B также условливаются, что после получения номеров i и j, онипроизводят измерения спинов, каждый в своих q-битах, в соответствии стаблицейσ0 ⊗ σzσz ⊗ σ0σz ⊗ σz σx ⊗ σ0σ0 ⊗ σx σx ⊗ σx −σx ⊗ σz −σz ⊗ σx σy ⊗ σyи записывают результаты измерения в соответствующие клетки.Обозначая Xij наблюдаемую на пересечении i−й строки и j−го столбца,имеем:∗21.

Xij = Xijи Xij= σ0 ⊗ σ0 ≡ I, т.ч. Xij имеют собственные значения±1;2. в каждой строке i операторы Xij ; j = 1, 2, 3 коммутируют, т.е. являются совместимыми наблюдаемыми, более того Xi1 Xi2 Xi3 = I. Поэтомудля любого i = 1, 2, 3, указанного C, игрок A может совместно измерить наблюдаемые Xij ; j = 1, 2, 3, получив результаты +1 или −1,подчиняющиеся ограничению для A.

Тогда A помещает эти результаты в строку i. Аналогичное описание применимо к игроку B и любомууказанному столбцу j.3. чудесным образом, номера, помещенные A и B на пересечении i−йстроки и j−го столбца обязательно совпадут! Это следует из равенства¡ A¢BXij ⊗ Xij|Ψi = |Ψi; i, j = 1, 2, 3,BA(соотв. Xij) – оператор Xij в системе A = A1 A2 (соотв.

B =где XijB1 B2 ). Это равенство говорит, что если вся система A1 A2 B1 B2 приготовлена в состоянии |Ψi, то произведение результатов измерений A иB в любой клетке ij будет равно 1, т.е. результаты совпадут.Квантовая стратегия удовлетворяет всем правилам игры. Именно использование квантовых информационных технологий позволяет получитьрезультат, недостижимый классическими средствами.

С точки зрения классического наблюдателя дело обстоит так, как будто между A и B существует нематериальная связь. Игры типа описанной выше, были экспериментально реализованы и продемонстрировали “квантовое превосходство”.342.6Глава 2. СОСТАВНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫКорреляционные неравенства и операторные алгебрыЕсли бы четыре корреляции в (2.10) принимали произвольные не зависящиедруг от друга значения, то границу 2 в правой части неравенства следовалобы заменить на 4. Таким образом, квантовая локальность является ограничением, которое приводит к меньшему значению.Квантовые корреляционные неравенства (Цирельсон). Пусть Xj , Yk (j, k =1, 2) вещественные четкие квантовые наблюдаемые, т.ч.

|Xj | ≤ 1, |Yk | ≤1, Xj Yk = Yk Xj . Тогда для любого квантового состояния S√|ES X1 Y1 + ES X1 Y2 + ES X2 Y1 − ES X2 Y2 | ≤ 2 2.(2.12)Для системы из двух q-битов AB равенство в (2.12) достигается длянаблюдаемыхXj = σ(aj ) ⊗ IB , Yk = IA ⊗ σ(bk )и состояния Белла (2.11).Адекватным математическим аппаратом для описания всевозможныхкорреляционных неравенств оказывается современная теория операторныхпространств, получившая также название “квантовый функциональный анализ”. В частности, знаменитая гипотеза Конна о конечномерной аппроксимируемости в II1 -факторах оказывается равносильной “гипотезе Цирельсона” о совпадении множеств корреляций между подсистемами составной системы, реализуемых в тензорной и алгебраической (локальная теория поля)моделях составных квантовых систем (в отличие от несовпадения множествклассически- и квантово-реализуемых корреляций, которое демонстрируется неравенствами типа (2.10))3 .3 M.

Junge, M. Navascues, C. Palazuelos, D. Perez-Garcia, V. B. Scholz, R. F. Werner,Connes’ embedding problem and Tsirelson’s problem, J. Math. Phys. 52, 012102 (2011)Глава 3Применения сцепленныхсостояний3.1Квантовое состояние как информационныйресурсВ этом разделе нам потребуются элементарные сведения об эволюцияхквантовой системы. В дальнейшем, в части II этот вопрос будет рассмотренуглубленно и с общих позиций теории открытых квантовых систем. Покаже достаточно знать следующее:1) Обратимые эволюции квантовой системы описываются унитарнымиоператорами U : вектор исходного чистого состояния ψ преобразуется в результате такой эволюции в U ψ.

Соответственно, оператор плотности S преобразуется в U SU ∗ .2) Важнейший пример необратимой эволюции — изменение состоянияв результате измерения. Простейшее идеальное квантовое измерение связывается с ортонормированным базисом |ex i, векторы которого индексированы возможными исходами измерения x. Если система перед измерениемнаходится в состоянии S, то в результате такого измерения она переходит свероятностью hex |Sex i в состояние |ex ihex |.

Весь статистический ансамбльпосле измерения разбивается на подансамбли, соответствующие различнымисходам x, и описывается состояниемXS0 =|ex ihex |Sex ihex |,(3.1)xвообще говоря отличным от исходного. Таким образом, квантовое измерение включает неустранимое воздействие на наблюдаемую систему, котороеизменяет ее состояние, даже если исходы наблюдения “не считываются”. Вэтом принципиальное отличие квантовых “наблюдаемых” от классическихслучайных величин, наблюдение которых не изменяет статистический ансамбль, а сводится к простому отбору его представителей.3536Глава 3. ПРИМЕНЕНИЯ СЦЕПЛЕННЫХ СОСТОЯНИЙКвантовое состояние приготавливается макроскопическими устройствами.Изменяя параметры устройства, мы изменяем параметры состояния, и такимобразомполучаемвозможность“записывать”классическую информацию в квантовом состоянии.

Простейшийквантовый канал связи математически задается семейством (выходных илисигнальных) состояний Sx , где параметр x пробегает входной алфавит. Отображение x → Sx в сжатой форме содержит описание физического процесса,порождающего состояние Sx . Например, пусть x = 0, 1, причем S1 когерентное состояние поля излучения лазера, а S0 вакуумное состояние. В этомслучае мы имеем канал с двумя чистыми неортогональными состояниями.Для того чтобы извлечь классическую информацию, содержащуюся вквантовом состоянии, необходимо произвести измерение. В приведенномвыше примере такую роль играет любой приемник лазерного излученияс возможной последующей обработкой результатов измерения. Если измерение задается базисом |ey i, то условная вероятность получить исход y, приусловии, что был послан сигнал x, дается формулойP (y|x) = hey |Sx ey i.(3.2)Таким образом, для фиксированного измерения мы получаем обычный канал связи.

Это дает возможность поставить вопрос о максимальном количестве классической информации, которое может быть передано по данномуквантовому каналу связи и о его пропускной способности. Этот вопрос будетдетально рассмотрен в главе 4. Отметим здесь лишь один факт, имеющийпринципиальное значение:Пропускная способность любого квантового канала ограничена сверху величиной log dim H, причем эта величина достигается для “идеального” канала, сигнальные состояния которого образованы векторами о.н.б.в пространстве H, а измерение задается этим же о.н.б. Таким образом,размерность гильбертова пространства является мерой максимального информационного ресурса квантовой системы.3.2Сверхплотное кодированиеРассмотрим теперь следующий вопрос. Нелокальный, с классической точки зрения, характер ЭПР-корреляций наводит на мысль попытаться использовать их для мгновенной передачи информации. Покажем, что этогоневозможно достичь, находясь в рамках квантовой механики (с точки зрения которой ЭПР-корреляции не противоречат локальности).

Рассмотримдве квантовые системы A и B, в пространствах HA и HB соответственно,которые находятся в сцепленном состоянии SAB . В случае, представляющем интерес, системы пространственно разделены, хотя формально это нив чем не выражается. Система A получает классическую информацию, содержащуюся в значениях параметра x, которая может быть использованадля выполнения произвольных унитарных операций Ux в пространстве HA .При этом состояние системы AB переходит в Sx = (Ux ⊗ IB )SAB (Ux ⊗ IB )∗ ,3.2. СВЕРХПЛОТНОЕ КОДИРОВАНИЕ37таким образом, классическая информация записывается в квантовом состоянии составной системы. В свою очередь, над системой B может бытьпроизведено произвольное измерение, описываемое о.н.б.

|ey i в HB . Легковидеть, что результирующая переходная вероятность (3.2) не зависит от x,а значит количество передаваемой информации в самом деле равно нулю.Хотя ЭПР-корреляции сами по себе не позволяют передавать информацию, оказывается, что наличие таких корреляций между системами позволяет увеличить максимальное количество классической информации, передаваемой от A к B, вдвое, если между системами имеется идеальный квантовый канал связи, т. е. возможность безошибочно передать любое квантовое состояние. Таким образом, ЭПР-корреляции выступают как “катализатор” при передаче классической информации через квантовый канал связи,и с этот точки зрения, также представляют собой особого рода информационный ресурс.Рассмотрим системы A и B, каждая из которых представляет собой qбит, между которыми имеется идеальный квантовый канал связи.

Из тогочто было сказано выше, вытекает, что максимальное количество классической информации, которое может быть передано от A к B, равно log 2 = 1бит, и получается при кодировании бита в два ортогональных вектора, например,· ¸· ¸100 → |0i =, 1 → |1i =.01Протокол “сверхплотного кодирования,” предложенный Беннетом и Виснером в 1992 г., имеет в своей основе простой математический факт: базисБелла|e+ i = |00i + |11i, |e− i = |00i − |11i, |h+ i = |10i + |01i, |h− i = |10i − |01iв системе из двух q-битов AB (мы используем канонический базис |0i, |1iв пространстве√ одного q-бита и для краткости опускаем нормировочныймножитель 1/ 2) может быть получен из одного вектора |e+ i действием“локальных” унитарных операторов, т.

е. операторов, действующих нетривиально только в пространстве q-бита A, например|e− i = (σz ⊗ I)|e+ i,|h+ i = (σx ⊗ I)|e+ i,|h− i = −i(σy ⊗ I)|e+ i.Таким образом, если AB изначально находится в сцепленном состоянии|e+ i, участник A может закодировать 2 бита классической информации в4 состояния базиса Белла, производя только локальные операции, а затем(физически) послать свой q-бит B по идеальному квантовому каналу. Тогда,производя измерение в базисе Белла, участник B получает 2 бита классической информации. Конструкции протоколов сверхплотного кодирования ителепортации допускают обобщение на случай пространства произвольнойконечной размерности.38Глава 3.