А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации, страница 4

Соответствующая переполненная система в Hr ·r ·¸¸2 121/2√|ψ1 i =, |ψ2,3 i =3 03 ± 3/2и неортогональное разложение единицы√··¸¸2 1 021/4± 3/4√M1 =, M2,3 =.3/43 0 03 ± 3/4√конфигурация тетраэдра ~a1 = (0, 0, 1), ~a2 = ( 8/3, 0, −1/3), ~a2,3 =√m = 4 :√(− 2/3, ± 6/3, −1/3). Соответствующая переполненная система в Hr · ¸1 1|ψ1 i =,2 0r ·√ ¸1√1/ √3,|ψ2 i =2/ 32r ·√ ¡√¢ ¸1√1/ √3 ¡−1/2 ∓ i √3/2 ¢|ψ3,4 i =2/ 3 −1/2 ± i 3/2222Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАи неортогональное разложение единицы√·¸·¸1 1 011/32/3√M1 =, M2 =,2/3 2/32 0 02M2,31=2·1/3c.c.√√¡¢ ¸2/3 −1/2 ∓ i 3/2.3/4В случаях m = 3, 4 получаем нечеткие экстремальные наблюдаемые.Такого рода наблюдаемые не имеют аналога в классической статистике.1.9Томография квантового состоянияВ последнем случае m = 4 = d2 , поэтому линейно независимые операторы Mj ; j = 1, 2, 3, 4 образуют базис в пространстве эрмитовых операторов.Таким образом, вероятностиµS (j) = Tr SMj = hψj |S|ψj iоднозначно определяют состояние S.

В общем случае, наблюдаемая в H,dim H = d, обладающая таким свойством, называется информационно-полной.Экстремальная наблюдаемая видаMj = d−1 |ψj ihψj |; j = 1, . . . , d2 ,где |ψj i – единичные векторы, называется симметричной информационнополной (SIC-POVM), еслиTr Mj Mk = const,причем константа оказывается равной [d2 (d + 1)]−1 . Существование SICPOVM показано аналитически, либо численно, для d ≤ 67.

Имеется гипотеза, что они существуют во всех размерностях 4 .З а д а ч а 7. Покажите, что любое состояние S восстанавливается по формулеd2XS=[d(d + 1)µS (j) − 1]Mj .j=1Восстановление состояния по статистике измерений (одного или целогоряда) называют томографией квантового состояния. Например, формула(1.7) показывает, что состояние q-бита восстанавливается по средним значениям компонент спина ax = Tr Sσx , ay = Tr Sσy , az = Tr Sσz . Тем более, этопозволяют сделать вероятности для 3-х ортонормированных базисов операторов σx , σy , σz . Эти базисы обладают свойством “равнонаклоненности”(mutual unbiasedness):|hej |hk i|2 = const(1.21)для всех j, k.

В общем случае, базисы в H, dim H = d, обладающие такимсвойством, называются равнонаклоненными (MUB). Доказывается, что количество попарно равнонаклоненных базисов не превосходит d + 1, причем4 http://en.wikipedia.org/wiki/SIC-POVM1.10. ТЕОРЕМА НАЙМАРКА23константа равна 1/d. Существование d + 1 равнонаклоненных базисов доказано для размерностей вида pk , где p – простое число; имеется гипотеза, чтов других размерностях они не существуют. Измерения в равнонаклоненныхбазисах удобны для томографии квантовых состояний.1.10Теорема НаймаркаГеометрический смысл неортогональных разложений единицы проясняетследующая теорема.Т е о р е м а 8.

Пусть {Mx }x∈X — разложение единицы в гильбертовомпространстве H, dim H = d, |X | = n. Существует гильбертово пространe dim He ≤ n · d, изометрический оператор V : H → He и ортогоство H,eнальное разложение единицы {Ex } в H, такие, чтоMx = V ∗ Ex V.Изометрический оператор — это оператор, сохраняющий скалярное произведение, следовательно все углы, расстояния и объем. Для любых |φi, |ψi ∈H выполняется hφ|V ∗ V |ψi = hφ|ψi, т.е. V ∗ V = I. Изометрическое вложениеe иV позволяет отождествить H с подпространством V H пространства Heсчитать, что H ⊂ H. Тогда Mx можно рассматривать просто как ограничение Ex на H :·¸Mx...Ex =......Заметим, что теорема имеет место и в случае общего разложения единицы в бесконечномерном гильбертовом пространстве.Набросок доказательства. Рассмотрим векторную сумму Hn n копийпространства H, состоящую из векторов|ψ1 i|Ψi =  · · ·  , ψj ∈ H,|ψn iв которой определим псевдоскалярное произведение формулойXhΨ|Ψ0 i =hψx |Mx |ψx0 i.xСоответствующая квадратичная форма может быть вырождена.

ОбозначимH0 = {Ψ ∈ Hn : hΨ|Ψi = 0} и рассмотрим фактор-пространство Hn /H0 . Вe (Заменем определено настоящее скалярное определение. Это и будет H.тим, что размерность n · d пространства Hn могла лишь уменьшиться прифакторизации). Определим|ψiV |ψi =  · · ·  ≡ |Ψi.|ψi24Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАЗ а д а ч а 8.

После факторизации эта формула корректно определяет опеeратор V из H в H.Этот оператор изометричен, т.к.Xhψ|V ∗ V ψ 0 i =hψ|Mx |ψ 0 i = hψ|ψi,xPпосколькуMx = I. Теперь введем ортогональное разложение единицы,полагая в Hn0Ey |Ψi =  |ψy i  .0При этом hψ|V ∗ Ey V |ψ 0 i = hψ|My |ψ 0 i. ¤Из этой теоремы следует, что всякая переполненная системы являетсяпроекцией ортонормированного базиса. Далее с ее помощью будет проясненстатистический смысл нечетких наблюдаемых.Глава 2Составные квантовыесистемы2.1Наводящие соображенияРассмотрим две классические системы, c фазовыми пространствами Ω1 , Ω2в статистических состояниях P1 = {pi } , P2 = {qj }, соответственно.

Фазовым пространством составной системы является декартово произведениефазовых пространств подсистем Ω1 × Ω2 . Состояние составной системы,в котором эти подсистемы рассматриваются как независимые, описывается произведением распределений P1 × P2 = {pi qj }. Коррелированные подсистемы описываются совместным распределением P12 = {pij } , при этоммаргинальные распределения подсистем даются частичными суммамиXXpi =pij , qj =pij .jiПусть теперь состояния двух квантовых систем описываются матрицами плотности: S1 = [sik ] , S2 = [rjl ].

Тогда состояние составной системы,в котором эти подсистемы рассматриваются как независимые, описывается тензорным произведением матриц S1 ⊗ S2 = [sik rjl ] . Коррелированныеквантовые системы описываютсяпроизвольными матрицами с составны£¤ми индексами: S12 = s(ij)(kl) . При этом частичные состояния подсистемдаются частичными следами"#"#XXS1 =sik rjk , S2 =sij rik .(2.1)ikПонятие квантовой сцепленности 1 возникает уже при рассмотрении чистых состояний. Для классических систем чистые состояния исчерпываются1 Англ.

“entanglement”, в российской физической литературе переводится как “запутанность”.2526Глава 2. СОСТАВНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫраспределениями, вырожденными в точках фазового пространства, поэтому если составная система находится в чистом состоянии, то ее подсистемытакже находятся в чистых состояниях P12 = δi × δj .Чистое состояние квантовой системы является одномерным проектором,т.е. S12 = [cij c̄kl ]. Если cij 6= ci cj , то состояние сцепленное.

В этом случаечастичные состояния S1 , S2 , полученные по формуле (2.1) уже не чистые.Выходит так, что статистичность в каждой из подсистем возникает из ее“окружения”!Для более детального рассмотрения нам понадобится соответствующийматематический аппарат.2.2Тензорное произведение гильбертовых пространствСвоеобразие и необычныe возможности квантовой теории информации взначительной мере обусловлены свойствами составных квантовых систем.Пусть Hi (i = 1, 2) гильбертовы пространства двух квантовых систем соскалярными произведениями h·|·ii . Их совокупность описывается тензорным произведением гильбертовых пространств, которое строится следующим образом. Пусть задано билинейное отображение|ψ1 i, |ψ2 i −→ |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ≡ |ψ1 ⊗ ψ2 i(2.2)пары пространств Hi (i = 1, 2) в некоторое гильбертово пространство H,причем1.

векторы-произведения |ψ1 ⊗ ψ2 i линейно порождают H;2. скалярное произведение на порождающих элементах дается соотношениемhφ1 ⊗ φ2 |ψ1 ⊗ ψ2 i = hφ1 |ψ1 i1 hφ2 |ψ2 i2 .Данными требованиями пространство H определяется однозначно с точностью до унитарной эквивалентности, и называется тензорным произведением H1 ⊗ H2 гильбертовых пространств.З а д а ч а 9. Пусть {ej1 }, {ek2 } — ортонормированные базисы в H1 , H2 ,тогда {ej1 ⊗ ek2 } — ортонормированный базис в H1 ⊗ H2 и dim H = dim H1 ·dim H2 .Например, для системы из двух кубитов о.н.б.

является|↑↑i = |↑i1 ⊗ |↑i2 , |↑↓i = |↑i1 ⊗ |↓i2 , |↓↑i = |↓i1 ⊗ |↑i2 , |↓↓i = |↓i1 ⊗ |↓i2 . (2.3)Таким образом, реализуя H1,2 как пространства Cd1,2 числовых последовательностей {c1j }, {c2k }, получим реализацию H в виде пространства матриц2.2. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ27[cjk ]. Заметим, что всякий вектор ψ ∈ H1 ⊗ H2 однозначно записывается ввидеd2X|ψk i ⊗ |e2k i,|ψi =k=1другими словами|ψ1 i|ψi =  . . .  ,|ψd2 i(2.4)где компоненты |ψk i ∈ H1 , так что в общем случае H1 ⊗ H2 изоморфнопрямой сумме d2 = dim H2 слагаемых H1 ⊕ · · · ⊕ H1 .Для операторов X1,2 в пространствах H1,2 зададим их тензорное произведение в пространстве H = H1 ⊗ H2 , полагая(X1 ⊗ X2 )(ψ1 ⊗ ψ2 ) = X1 ψ1 ⊗ X2 ψ2 ,и продолжая по линейности. В представлении (2.4) тензорного произведения H1 ⊗H2 произвольный оператор действует как блочная d2 ×d2 -матрицаX = [Xkl ] , элементами которой являются операторы в H1 .З а д а ч а 10.

Если Sj — операторы плотности в H1 , то S1 ⊗S2 — операторплотности в H1 ⊗ H2 .Пусть оператор T действует в H = H1 ⊗ H2 . Частичный след оператора T (по второму сомножителю) обозначим TrH2 T ; это оператор в H1 ,ассоциированный с формойXhφ ⊗ ek2 |T |ψ ⊗ ek2 i, φ, ψ ∈ H.hφ|(TrH2 T )|ψi =kЗ а д а ч а 11.

Определение корректно (не зависит от выбора ортонормированного базиса {ek2 }). Если T = T1 ⊗ T2 , то TrH2 (T1 ⊗ T2 ) = (Tr T2 )T1 .Рассмотрим теперь важное следствие из теоремы Наймарка, дающеестатистическую интерпретацию произвольного разложения единицы и устанавливающее согласованность обобщенного и стандартного определений квантовой наблюдаемой.С л е д с т в и е . Пусть {Mj } — разложение единицы в H, тогда найдется гильбертово пространство H0 , единичный вектор ψ0 ∈ H0 и ортогональное разложение единицы {Ej } в H ⊗ H0 , такие, чтоMj = TrH0 (I ⊗ |ψ0 ihψ0 |)Ej .fj V, где V :Доказательство. Согласно теореме Наймарка, Mj = V ∗ EeH → H — изометрическое вложение.