М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 71

е. совместным распреде√√лением вероятности по координате Q = 2Re z и импульсу P = − 2Im z:F |A(â, ↠)|F = |F (z)|2 A(z ∗ , z) dz dz ∗ .CФункция |F (z)|2 , как и полагается настоящей плотности вероятности неотрицательна и нормирована на единицу.При всём сходстве с обычными волновыми функциями ψ(x), функция F (z) имеет ряд существенных отличий.• Волновая функция ψ(x) задаёт амплитуды вероятностей √для разныхвзаимоисключающих значений координаты x, а функция πF (z) задаёт амплитуды вероятностей для когерентных состояний, которые нетолько не ортогональны, но даже не являются линейно независимыми11 .– Аргумент функции ψ(x) — вещественный, а функции F (z) — комплексный.– Чтобы задать волновую функцию ψ(x), надо определить её значенияна множестве всюду плотном на R.– Чтобы задать функции F (z), достаточно задать её значения на сходящейся последовательности различных точек.

Это возможно поскольку F (z) определяется через аналитическую функцию f (z).• Хотя функция |F (z)|2 очень похожа на распределение вероятностейпо z, она таковым не является. Однако, она становится распределением вероятности по z в классическом пределе, т. е. для состояний и вопросов, для которых эффектом антинормального упорядочения можнопренебречь.12.9. Сжатые состояния**Рассмотренные выше, в разделе 12.7, когерентные состояния гармонического осциллятора не исчерпывают всех возможных когерентных состояний для пары операторов координата-импульс (см. раздел 7.2.3). Общее11 Системакогерентных состояний ψz является ортоподобной, т.

е..C|ψz ψz | dz dz ∗ == const · 1̂ = .1̂. Константа для нормированных когерентных состояний равна π. В силу этогоψ2 |ψ1 = π1 ψ2 |ψz∗ ψz∗ |ψ1 dz dz ∗ , что совпадает с уравнением (12.44).C12.9. С ЖАТЫЕСОСТОЯНИЯ **381когерентное состояние для пары операторов координата-импульс должноудовлетворять уравнению(x̂ + iγ p̂)|ψzγ = z|ψzγ ,в котором параметры z ∈ C и γ > 0 могут быть выбраны произвольными.Однако когерентные состояния гармонического осциллятора ограниченны1случаем фиксированного γ = xp00 = mω(см.

(12.5)). Такие состояния всеполучаются сдвигом по координате и импульсу гауссова распределения (основного состояния) с фиксированной шириной.Мы можем рассмотреть когерентные состояния с другими значениями γ, которым будут соответствовать гауссовы распределения более илименее широкие, чем для основного состояния осциллятора.

Такие состояния называют сжатыми состояниями гармонического осциллятора12 .Сжатые состояния могут быть получены из когерентных изменениеммасштаба (растяжением или сжатием) по координате (масштаб по импульсуменяется автоматически так, чтобы продолжало выполняться соотношениеx0 p0 = h̄).Удобно построить оператор сжатия, действие которого позволяло быпроводить соответствующее изменение масштаба. Сжатие по координате xсоответствует сдвигу по ln |x|. Таким образом, генератор соответствующегопреобразования должен иметь вид:Ĝ0 = −ih̄∂∂= −ih̄x= x̂p̂.∂ ln |x|∂x(12.45)Данный оператор, однако, не является эрмитовым, а следовательно, экспонента от негоiie h̄ kĜ0 ,e h̄ kĜ0 ψ(x) = ψ(ek x)не будет унитарным оператором. Это связано с тем, что при сжатии в ek разпо x во столько же раз уменьшается квадрат нормы ψ2 .

Для того чтобысделать оператор унитарным, можно добавить к генератору Ĝ0 константус таким расчётом, чтобы новый оператор оказался эрмитовым:1ih̄1∂+= x̂p̂ −= [x̂, p̂]+ =Ĝ = −ih̄ x∂x 222=1â2 − (↠)2(x̂p̂ + p̂x̂) = −ih̄. (12.46)2212 Название связано с тем, что распределение по координате или по импульсу для такогосостояния может оказаться более узким (сжатым), чем для основного состояния осциллятора.382ГЛАВА 12Экспонента от эрмитового оператора автоматически оказывается унитарной:2D̂k = e h̄ kĜ = e 2 (âik−(↠)2 ),kD̂k ψ(x) = e 2 ψ(ek x).(12.47)Как эволюционирует сжатое состояние, по сравнению с исходным? Пусть|ψk = D̂k |ψ,|ψk (t) = Ût |ψk = Ût D̂k |ψ = Ût D̂k Ût−1 Ût |ψ = (D̂k )г (−t)|ψ(t),2†22iωt 2−2iωtkk(↠)2 )=(D̂k )г (−t) = e 2 (âг (−t)−(âг (−t)) ) = e 2 (e â −e=eke2iωt2(â2 −e−4iωt (↠)2 ) .Таким образом, каждые 14 периода колебаний осциллятора меняется знак k,т.

е. сжатие по координате (и растяжение по импульсу) сменяется растяжением по координате (и сжатием по импульсу).Средние значения координаты и импульса, как и для любых волновыхфункций гармонического осциллятора, колеблются как в классике (12.39).В моменты времени, не кратные четверти периода, сжатое состояниеуже не когерентно для пары наблюдаемых координата-импульс, но оказывается когерентным для пары зависящих от времени интегралов движенияQ̂и (t) = Q̂г (−t) = cos(ωt) Q̂ш − sin(ωt) P̂ш ,P̂и (t) = P̂г (−t) = sin(ωt) Q̂ш + cos(ωt) P̂ш .12.10. Классический предел*Как получить из квантового осциллятора классический? Мы уже установили, что средние значения координаты и импульса для произвольногоквантового состояния гармонического осциллятора эволюционируют точнотак же, как и в классике (12.39).

Однако какие из квантовых состоянийнаиболее похожи на классические? Для стационарных состояний с любойэнергией Q(t) = P (t) = 0, Q2 (t) = P 2 (t) = n + 12 , E = En == h̄ω(n + 12 ).В классическом пределе постоянную планка h̄ можно считать малой(n велико) и мы можем пренебречь добавкой 12 в формулах для энергиии средних квадратов.12.11. К ВАНТОВАННЫЕПОЛЯ ( Ф *)383Основному состоянию (n = 0) можно сопоставить состояние равновесия классического осциллятора, а возбуждённым состояниям — классические состояния с неизвестной фазой колебаний:мы знаем, что осцилляторколеблется с определённой амплитудой Q2 (t) = P 2 (t), но не знаем с какой фазой происходят колебания. Из-за этого незнания координатаи импульс усредняются по периоду и их средние значения обнуляются.Определение фазы колебания — это определение времени: ϕ = ωt.

Соотношение неопределённостей энергия-время (2.2) может быть переписанокак соотношение фаза-уровень:δt · δE =δϕh̄· δE ω2⇔δϕ · δn 1.2(12.48)Таким образом, чтобы хотя бы приближённо определить фазу колебаний, нам необходимо пожертвовать точным определением энергии.Наиболее классическими состояниями осциллятора принято считатькогерентные состояния, поскольку для них неопределённости координатыи импульса минимальны и не зависят от времени δQ2 (t) = δP 2 (t) = 12 .При этом чем больше средняя энергия когерентного состояния, тем болееклассическим оно является.12.11.

Квантованные поля (ф*)Классическая теория поля может рассматриваться как теоретическаямеханика систем, с бесконечным числом степеней свободы. При этом значение поля в каждой точке пространства (или каждая Фурье-компонентаполя) может рассматриваться как обобщённая координата.Квантовая теория поля соотносится с классической теорией поля точнотак же, как квантовая механика соотносится с теоретической механикойсистем, с конечным числом степеней свободы.Квантовая теория поля — теория с переменным числом частиц, поскольку частицы в ней выступают в роли возбуждений поля.

Мы обязаны рассматривать частицы в качестве возбуждений соответствующих полейв тех случаях, когда характерные энергии становятся сравнимы с энергиямипокоя частиц, а это, в частности, означает, что корректная релятивистскаяквантовая механика может быть построена только в рамках квантовой теории поля.Если мы рассматриваем поле свободных (т. е.

ни с кем не взаимодействующих) частиц, то обычно поле заключается в ящик Lx × Ly × Lz с пе-384ГЛАВА 12риодическими граничными условиями и разлагается в ряд Фурье. Каждомуразрешённому (при данных размерах ящика) волновому вектору ставитсяв соответствие количество степеней свободы K, равное числу поляризаций у частиц рассматриваемого сорта. После этого пишется гамильтонианквантованного поля, состоящий из суммы членов, описывающих все этистепени свободы:2π2π2πĤ =Nx ,Ny ,Nz ,Ĥkσ , k =LxLyLzk,σNx , Ny , Nz ∈ Z,σ = 1, . .

. , K.Взаимодействие частиц описывается с помощью добавления в гамильтониан членов, содержащих переменные, относящиеся к разным состояниям частиц.Вид гамильтониана Ĥk,σ зависит от того, является ли рассматриваемое поле бозонным или фермионным. Для бозонных полей (например, дляэлектромагнитного поля) надо взять гамильтониан гармонического осциллятора1 2Ĥk,σ = h̄ωk,σ ( P̂k,σ+ Q̂2k,σ ) = h̄ωk,σ (â†k,σ âk,σ + 12 ).2Здесь Q̂k,σ и P̂k,σ — обобщённые координаты и импульсы гармоническихосцилляторов, они не являются координатами и импульсами каких-либочастиц в обычном пространстве, а связаны с фурье-компонентами поля.Операторы â†k,σ и âk,σ оказываются операторами рождения и уничтожениячастицы (кванта поля, для электромагнитного поля — фотона) в состояниис волновым вектором k, т.

е. с трёхмерным механическим (не обобщённым)импульсом pk = h̄k, энергией εk,σ = h̄ωk,σ и поляризацией σ. ОператорN̂k,σ = â†k,σ âk,σ оказывается оператором числа частиц с волновым вектором k и поляризацией σ. Через операторы N̂k,σ легко записываются такиевеличины, как общее число частицN̂ =N̂kσ ,k,σобщая энергияĤ =k,σεkσ (N̂kσ + 12 ) =k,σh̄ωkσ (N̂kσ + 12 ),12.11. К ВАНТОВАННЫЕобщий импульсp̂ =ПОЛЯ ( Ф *)385pk N̂kσ .k,σОбщая энергия оказывается ненулевой даже в отсутствие частиц (такое состояние называют вакуумом)E0 =1h̄ωkσ ,2k,σэту энергию называют энергией нулевых колебаний вакуума (или просто —энергия вакуума). Более того, энергия вакуума, как правило, оказываетсябесконечной (одна из знаменитых расходимостей квантовой теории поля).Однако обычно эту энергию просто отбрасывают, используя модифицированный гамильтонианĤk,σ =h̄ωk,σ â†k,σ âk,σ .k,σВ большинстве случаев нас интересуют не абсолютные значения энергий,а изменение энергии, поэтому мы можем вычесть из энергии произвольную(хотя и бесконечную) константу.

Однако энергия нулевых колебаний вакуума проявляется на эксперименте в виде эффекта Казимира, за счёт которого две параллельные проводящие пластинки притягиваются. Это притяжение вызвано зависимостью E0 для нулевых колебаний электромагнитногополя от размера ящика (т. е. от расстояния между пластинами).Также энергия вакуума должна быть существенна для гравитационныхэффектов, в общей теории относительности она может давать вклад в космологическую постоянную.Для фермионных полей гамильтонианы Ĥk,σ действуют на двумерныхпространствах состояний и имеют два уровня с энергией ε0 (нет частицы)и с энергией ε0 + h̄ωk,σ (есть частица).