М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 45

Все мгновенные измененияклассических состояний могут интерпретироваться как изменение нашегознания о системе.7.5.5. Относительные состояния (ф*)Корреляции между состояниями подсистем возможны не только в квантовой теории, но и в классической теории вероятностей, там для описания232ГЛАВА 7корреляций могут использоваться условные вероятности: вероятности измерения для одной подсистемы, при условии, что измерение для другойподсистемы дало определённый результат.

Таким образом, состояние (распределение вероятностей) для сложной системы описывается совместнымраспределением вероятностей(x, y),где x и y нумеруют возможные чистые состояния подсистемы-1 и подсистемы-2. Условное ненормированное распределение вероятностей дляподсистемы-1, при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0 ,получается фиксированием значения второго аргумента:y0 (x) = (x, y0 ).(7.16)Аналогично условному распределению вероятности, для квантовыхподсистем в зацепленном состоянии Х. Эверетт III ввёл относительное состояние — состояние, в котором оказывается подсистема-1, при условии,что подсистема-2 была найдена в определённом состоянии.

Чистое состояние сложной системы описывается заданием совместной волновой функции(совместных амплитуд вероятности)ψ(x, y),где x и y (полные наборы независимых наблюдаемых для подсистем 1 и 2)нумеруют базисные чистые состояния подсистемы-1 и подсистемы-2.Относительная ненормированная волновая функция (относительноесостояние) задаёт условные амплитуды вероятности для подсистемы-1,при условии, что измерение для подсистемы-2 дало y = y0 . Относительноесостояние получается фиксированием значения второго аргумента:ψy0 (x) = ψ(x, y0 ).(7.17)Оно задаёт состояние подсистемы-1, при условии, что над подсистемой-2было проведено измерение, которое дало определённый результат y = y0 .В выражении относительное состояние слово относительное употребляется в смысле, отчасти аналогичным используемому в теории относительности: состояние подсистемы-1, относительно состояния y = y0подсистемы-2.

Если подсистема-2 выступает в роли наблюдателя, то мыполучаем состояние системы относительно состояния наблюдателя (т. е.7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ233задание состояния наблюдателя аналогично заданию системы отсчёта в специальной теории относительности16 ). В частности, если известна унитарная эволюция сложной системы ψ(x, y; t), и мы задали определённую временную эволюцию y = y0 (t) состояния наблюдателя (подсистемы-2), томожно записать соответствующую ей временную эволюцию относительного состояния подсистемы-1:ψy0 (t) (x; t) = ψ(x, y0 (t); t).Если бы наблюдатель (подсистема-2) мог задавать свою собственнуюэволюцию произвольным образом, или/т. е. если бы он мог производитьсам над самими собой измерения с желаемым произвольно заданным исходом, то он мог бы тем самым управлять эволюцией квантовой системы(подсистема-1), с которой он взаимодействует (см.

9.3.9 «Активное сознание (фф*)»).Мы можем записать относительное состояние (7.17) с помощью оператора проекции на подпространство y = y0 для подсистемы-2:P̂y0 = 1̂1 ⊗ |y0 y0 |.(7.18)Здесь 1̂1 — единичный оператор для подсистемы-1, а |y0 y0 | — проектор насостояние y = y0 для подсистемы-2:|ψy0 ⊗ |y0 = P̂y0 |ψ⇒|ψy 0 подсистема-1=y0|ψ.(7.19)подсистема-2 система 1+2Обратите внимание, что, поскольку |y0 описывает подсистему-2, а |ψ —сложную систему из подсистем 1 и 2, скобка y0 |ψ даёт не число, а состояние подсистемы-1.Формула (7.19) уже по существу не использует разложение рассматриваемого состояния |ψ по базису, т.

е. того, какие именно наборы наблюдаемых мы выбрали в качестве аргументов волновой функции. Мы можем переписать (7.19) как геометрическую (не зависящую от выбора базиса) формулу для состояния относительно произвольного состояния |φ16 В некоторых русских переводах статьи “Relative State” Formulation of Quantum Mechanics,Hygh Everett, III, Reviews of Modern Physics, Vol. 29, N.

3, 1957 относительные состояния переводятся как соотнесённые. Такой перевод следует считать неправильным, т. к. он не демонстрирует той идейной связи с теорией относительности, которая послужила основой работыи которую Эверетт стремился отразить в заголовке.234ГЛАВА 7подсистемы-2:|ψφ0 ⊗ |φ0 = (1̂1 ⊗ |φ0 φ0 |) |ψ⇒|ψφ0 = φ0 |ψ.(7.20)P̂φ0Зная относительные состояния |ψφ0 подсистемы-1, относительно всехвозможных состояний |φ0 подсистемы-2 мы можем восстановить состояние |ψ сложной системы. При этом мы можем забыть о редукции волновой функции при измерении, если мы включили наблюдателя в сложнуюсистему в духе многомировой интерпретации (9.3.7 «Многомировая интерпретация Эверетта (фф)»).Использование относительных состояний также полезно для понимания при моделировании измерительного прибора с точки зрения квантовоймеханики (8.2 «Моделирование измерительного прибора*»).Относительные состояния были введены Эвереттом для того, чтобы обосновать возможность применения квантовой механики к Вселеннойв целом, как к замкнутой квантовой системе.

Это прямо связано с проблемой квантования общей теории относительности (созданием квантовойтеории гравитации). При этом наблюдаемое нами состояние Вселенной интерпретируется как относительное состояние для данного состояния наблюдателя (одно из многих возможных=сосуществующих).7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**)Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом. Теперьу нас есть надежда на продвижение!Нильс Бор WИстория неравенства БеллаНеравенство Белла было введено Джоном Беллом в 1964 году при анализе мысленного эксперимента Эйнштейна – Подольского – Розена, предложенного в 1935 году.Неравенство Белла представляет собой необходимое условие того, чтотри случайных величины с заданными корреляциями между собой могутбыть одновременно реализованы в рамках классической теории вероятностей.7.5.

К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ235Рис. 7.9. Джон Стюарт Белл (1928–1990).http://www.s9.com/Biography/Bell-John-StewartПодобная задача ставится без какого-либо упоминания квантовой механики. И, естественно, математики занимались ею и до 1964 года. Какпишет А. Ю. Хренников, неравенства Белла были первоначально полученына сотню лет раньше Джорджем Булем, а общее решение для системы nслучайных величин было получено Н. Н. Воробьёвым в 1962 году.Таким образом, заслуга Белла состоит не в выводе неравенства, а в егоприменении к интерпретации квантовой механики.Пусть имеются три случайных величины a, b, c, которые могут принимать значения ±1.

Величины a, b, c не зависят друг от друга, а зависят отнекоторой случайной переменной λ.Рис. 7.10. Джордж Буль (1815–1864). WРис. 7.11. Николай Николаевич Воробьёв (1925–1995). [http://emi.nw.ru]Мы будем обозначать угловыми скобками классическое усреднение,которое может быть записано как интеграл по вероятностной мере P (dλ)по вероятностному пространству Λ (этот интеграл может быть на самомделе взвешенной суммой, или комбинацией суммы и интеграла):A = A(λ) P (dλ).Λ236ГЛАВА 7Тогда с учётом линейности классического среднего, используя, что a2 ≡ 1,получаем|ab − bc| = |(a − c) b| = |(1 − ac) ab | 1 − ac = 1 − ac. 0×a2±1Таким образом, неравенство Буля – Белла|ab − bc| 1 − ac.(7.21)Заменив c на −c можно записать другую (эквивалентную) форму того женеравенства:|ab + bc| 1 + ac.(7.22)Смысл неравенства БеллаПредставим себе, что есть некоторый классический случайный процесс: переменная λ принимает различные значения из вероятностного пространства Λ, причём вероятность того, что λ ∈ L ⊂ Λ, задаётся как вероятностная мера 0 P (L) 1.Однако мы не наблюдаем величину λ непосредственно, вместо этогомы можем по своему усмотрению измерять две величины из набора a(λ),b(λ), c(λ), причём все величины могут принимать только значения ±1.При этом выбор пары измеряемых величин мы делаем независимо отвыпавшего λ.

Например, пара измеряемых величин выбирается уже послетого, как генератор случайных событий (рулетка, карты, кости, броуновское движение, дробовой шум) выдал конкретную точку λ (чтобы человек,управляющий генератором, ничего в нём не подкрутил), но до того, каку нас есть возможность что-то узнать о выпавшем варианте (чтобы мы тоже не могли учесть λ при выборе пары измерений).Много раз генерируя случайные значения λ с одинаковым распределением вероятности P , мы с необходимостью должны получить корреляторыab, bc, ac, удовлетворяющие неравенству Буля – Белла.И хотя каждый раз мы измеряем только две величины из трёх, третьякаждый раз тоже принимает какое-то определённое, хотя и не известноезначение (разумеется, в классическом случае). Таким образом, существует8 возможных комбинаций значений для a, b и c. Каждой из этих комбинациймы можем приписать неотрицательную вероятностьP (a, b, c) 0,P (a, b, c) = 1.a,b,c∈{−1,+1}7.5.

К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ237Корреляторы могут быть выражены через вероятности, например,P (+, +, c) + P (−, −, c) − P (+, −, c) − P (−, +, c).ab =c∈{−1,+1}И если бы вдруг оказалось, что неравенство Белла нарушено, мы не смогли бы подобрать 8 неотрицательных вероятностей P (a, b, c), что неизбежноозначало бы нарушение процедуры: не иначе человек, управляющий генератором случайных событий, знает о том, какие именно величины мырешили измерять, и подкручивает свой генератор в соответствии с этим17 .Неравенство Белла и скрытые параметрыВ квантовой механике вероятностное пространство задаётся не толькосостоянием системы, но и выбором измеряемой величины, т.

е. по существувыбором измерительной установки. В связи с этим у нас нет основанийожидать, что неравенство Белла будет выполняться для некоммутирующихнаблюдаемых, которые не могут быть измерены одновременно.Тем не менее, если неравенство Белла выполняется для некоммутирующих наблюдаемых, это оставляет надежду, что можно придумать некоторый скрытый параметр λ (который и параметризует элементарные события,по которым мы интегрируем), такой, что все наблюдаемые однозначно выражаются через этот параметр. В этом случае удалось бы придумать единоераспределение вероятностей для λ (общее вероятностное пространство)для взаимоисключающих измерений.

Единое вероятностное пространствоозначало бы, что все квантовые вероятности и неопределённости сводятсяк классической теории вероятности и, подобно классическим вероятностям,могут быть объяснены тем, что мы не знаем точного состояния системы,которое в этом случае задавалось бы уже не волновой функцией, а наборомскрытых параметров.Однако при измерении двух некоммутирующих переменных состояние системы меняется после первого измерения, что оказывает влияние навторое.