Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 96

Пусть$-супероператор, действую­щий на операторы плотности в гильбертоном пространстве Н. Будем рас­сматривать супероператоры$,действующие независимо в каждой копии 1{,содержащейся в п-кратном тензорном произведениинСп) = 1i 0 ... 01i.(7.242)Мы бы хотели выбрать такое кодовое подпространство 1{~~1е простран­ства 1{(n), чтобы содержащаяся в 1{~~1е квантовая информация подверга­лась действию супероператора(7.243)и, тем не менее, могла быть декодирована с высокой точностью воспроиз­ведения.Скорость воспроизведения кода определяется как'l..J(n)l og 1 Lcode.- logH(n) 'R-(7.244)это количество кубитов, предназначенных для переноса одного кубитазакодированной информации.

Пропускная способность квантового кана­лаQ($)супероператора$представляет собой максимум асимптотическойскорости воспроизведения, при которой квантовую информацию можно по­слать по каналу со сколь угодно высокой точностью воспроизведения. Дру­гими словами,Q($)является таким наибольшим числом, что для любогоR < Q($) и любого Е > О существует такой код 1{~~1е со скоростью вос­произведения, по крайней мере равной R, что для любого I'Ф) Е 1{~~1е сос­тояние р, восстановленное после того, как I'Ф) подвергалось действию $Сп),имеет точность воспроизведенияF = ('ФIРI'Ф)Таким образом,Q($)> 1 -Е.(7.245)представляет собой квантовую версию опреде­ленной IПенноном пропускной способности классического канала с шу­мом.

Как мы уже видели в пятой главе, это не единственный вид про­пускной способности, которую можно связать с квантовым каналом. Так­же большой интерес представляет С($) -максимальная скорость, с кото­рой классическую информацию можно передавать по квантовому каналу7.16.87ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛАсо сколь угодно малой вероятностью ошибки. Формальный ответ на этотвопрос был сформулирован в разделе5.4,но только для ограниченногокласса возможных схем кодирования; общий ответ до сих пор неизвестен.Пропускная способность квантового канала Q($) даже еще менее понят­на, чем классическая пропускная способность С($) квантового канала.

От­метим, что Q($) и максимальная асимптотическая скорость воспроизведе­ния k/n, которая может быть достигнута хорошими [[п, k, d]] КККО с по­ложительным djn, суть не одно и то же. В случае пропускной способностиквантового канала мы не должны требовать, чтобы код корректировал лю­бое возможное распределениеpnошибок, при условии, что ошибки, кото­рые невозможно исправить, становятся в высшей степени атипичными прибольшомn.Здесь мы в основном ограничимся обсуждением двух интересных при­меров квантовых каналов, действующих на одиночный кубитстирающего канала (для которого точное значениезующего канала (для которогоQ- квантовогоQ известно) и деполяри­не известна до сих пор, но для нее можноустановить полезные верхнюю и нижнюю границы).Что это за каналы? В случае квантового стирающего канала, передан­ный кубит либо приходит неповрежденным, либо (с вероятностью р) теря­ется и его никогда не получают.

Мы можем найти унитарное представлениеэтого канала, погружая кубит в трехмерное гильбертоно пространство с ор­тонормированным базисом{\0), \1), \2) }. Канал действуетсогласно правилуJO) ® jo)E _" Jl=Pio) ®!О) Е+ y'pj2) ® J1)E,\1) ®\О) Егде { О) Е, \1) Е, \2) Е}1-->Jl=Pi1) ®!О) Е+ ур\2) ® J2)E,(7.246)взаимно ортогональные состояния окружения. По­лучатель может измерить наблюдаемую\2)(2\,чтобы определить, осталсяликубит неповрежденным или был «стерт».Деполяризующий канал (с вероятностью ошибки р) детально обеуж­дался в разделе3.4.1.Мы видим, что при р ~3/4судьбу переданного поканалу кубита можно описать следующим образом: с вероятностью(гдеq=4р/3) кубит доходит неповрежденным, а с вероятностью1- qq- раз­рушается; в последнем случае его состояние описывается случайной мат-рицей плотности! 1.И стирающий, и деполяризующий каналы разрушают кубит с опре­деленной вероятностью.

Их главное различие состоит в том, что в случаестирающего канала получатель знает, какие кубиты были разрушены; в слу­чае деполяризующего канала поврежденные кубиты не несут никаких спо­собствующих восстановлению отличительных признаков. Конечно, в обоих88ГЛАВА7случаях, отправитель не может заранее знать, какие кубиты будут уничто­жены.7.16.1.Стирающий каналПропускную способность квантового стирающего канала можно точ­но определить. Сначала мы установим верхнюю границу дляQ,а затемпокажем, что существуют коды, достигающие высокой точности воспроиз­ведения и сколь угодно близкой к верхней границе скорости воспроизве­дения.

На первом этапе вывода верхней границы пропускной способностипокажем, чтоQ =Опри р> 1/2.Стирающий канал может быть реализован, если Алиса посылает кубитБобу, а третья сторона в лице Чарли решает случайным образом, украстькубит (с вероятностью р) или позволить кубиту дойти до Боба неповре­жденным (с вероятностью 1-р). Если Алиса посылает большое количествокубитов n, то примерно (1- p)n кубитов доходят до Боба, а pn- перехва­тываются Чарли. Следовательно, при р > 1/2 Чарли обладает большим ко­личеством кубитов, чем Боб, и если Боб может восстановить закодирован­ную Алисой квантовую информацию, то вне всякоrо сомнения это можетсделать и Чарли. Следовательно, еслиQ(p) >О при р> 1/2,Боб и Чар­ли могут клонировать отправленные Алисой неизвестные закодированныеквантовые состояния, что невозможно.

(Строго говоря, они могут клониро­F = 1 -Е, для любого Е > 0.) Такимобразом, при р > 1/2 пропускпая способность квантового канала Q(p) =О.Чтобы найти границу для Q(p) в случае р < 1/2, мы обратимся к сле­вать с точностью воспроизведениядующей лемме. Предположим, Алиса и Боб связаны посредством идеально­го канала и канала с шумом с пропускной способностьюQ>О.

Допустимтакже, что Алиса посылает т кубитов по идеальному каналу ипо каналу с шумом. Тогда количество закодированных кубитовnr,кубитовкоторыеБоб может восстановить со сколь угодно высокой точностью воспроизведе­ния, должно удовлетворять неравенствуr~ т+Qn.(7.247)Мы получим его, заметив, что Алиса и Боб могут имитировать т отправ­ленных по идеальному каналу кубитов, посылая т/Q кубитов по каналус шумом и таким образом достигая скорости воспроизведенияR=rт/Q+n(7.248)7.16.Если быrПРОПУСКИЛЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛАпревысило т+ Qn, эта скорость Rспособность канала с шумомливо неравенствоQ,89превысила бы пропускнуючто невозможно.

Следовательно, справед­(7.247).Теперь рассмотрим стирающий канал с вероятностью ошибки р 1и предположим, чтоQ(p2 ) неравенствомQ(p 1 ) >О. Тогда для р 2 ~ р 1 мы можем ограничить(7.249)(Другими словами, если мы строим график Q(p) на плоскости (р, Q) и про­водим секущую линию из любой точки (р 1 , Q1 ) до точки (рО, Q1),то в интервале О ~ р ~ р 1 кривая Q(p) не может лежать выше секущей;=еслиQ(p)=дважды дифференцируема, то ее вторая производпая не можетбыть отрицательной.) Чтобы получить эту границу, представим, что Алисапосылает Бобу n кубитов, заранее зная, какие n(1- p 2 jp 1 ) из них прибудутнеповрежденными. Оставшиеся n(p 2 jp 1 ) кубитов стираются с вероятно­стью р 1 . Следовательно, Алиса и Боб используют как идеальный канал,так и канал с шумом с вероятностью стирания р 1 ; неравенствоно, а скорость воспроизведенияR,(7.247)вер­которой они могут достичь, ограниченанеравенствомР2R ~ 1 - PlС другой стороны, при большиха(1- p 2 )nP2Q( )+ PlPl .(7.250)n стирается всего около пр 2 кубитов,кубитов доходят неповрежденными.

Таким образом, Алисаи Боб имеют стирающий канал с вероятностью стирания р 2 , но с тем до­полнительным преимуществом, чтоони заранее знают, что некоторые изотправленных Алисой кубитов неуязвимы для стирания. Располагая этойинформацией, они оказываются в менее затруднительном положении, чембез нее; отсюда следует(7.249).Эта же граница применимаи для деполя­ризующего канала.Теперь результат Q(p) =О при р > 1/2 можно скомбинировать с нера­венством (7.249). Мы делаем вывод, что кривая Q(p) не может находитьсявыше прямой линии, соединяющей точки (p=O,Q=1) и (p=1/2,Q=0),илиQ(p)~1- 2р,(7.251)Действительно, существуют стабилизирующие коды, которые факти­чески достигают скорости воспроизведения1-2р при О ~ р ~1/2.Этоможно увидеть, позаимствовав идею Клода Шеинона и усреднив по слу­чайным стабилизирующим кодам.

Представим выбор (подряд) всехn - kГЛАВА907генераторов стабилизатора. Каждый выбирается среди4nоператоров Па­ули, имеющих одинаковую априорную вероятность, за исключением того,что каждый новый генератор должен коммутировать со всеми выбраннымив предыдущих раундах генераторами.Теперь Алиса использует этот стабилизирующий код, чтобы закодиро­вать Произвольное квантовое состояние в 2k-мерном кодовом подпростран­стве, и посылает Бобуnкубитов по стирающему каналу с вероятностьюстирания р.