Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 90

Дей­ствительно, подпространство в 2п-мерном пространстве векторов (ai~),n - k линейно незави­n + k. Из n + k век­торов, образующих линейную оболочку этого пространства, n - k мож­но выбрать в качестве генераторов самого стабилизатора. Оставшиеся 2kсодержащее векторы, ортогональные каждому изсимых векторов, имеет размерностьгенераторов сохраняют кодовое2n- (n- k)=пространство, так как они коммутируютсо стабилизатором, но нетривиально действуют наkзакодированных ку­битов.Фактически в качестве эmхнокубитовые операторыры ПаулиZиндексомi.Zi, xi,2kопераций могут быть выбраны од­i =1, 2, ...

, k, где zi, xi - операто­и Х, действующие на закодированный кубит, обозначенныйВо-первых, отметим, что мы можем расширитьраторов стабилизатора до максимального набораnn- kгене­коммутирующих опе­раторов. Добавляемые в наш наборk операторов можно обозначить какТогда мы можем рассматривать общие собственные состоянияо о о'(в кодовом подпространстве 1ts) как логические базисные со­стояния iz1 , ... , zk), с z1 =О, соответствующим Z1 = 1, и с zj = 1, соот­Z1 , ...

, Zk.zl'zkветствующимzj =Оставшиесяk-1.генераторов нормализатора можно выбрать взаимнокоммутирующими, а также коммутирующими со стабилизатором, но то­гда они не будут коммутировать с любым из операторовZi.Осуществляяпроцедуру ортонормирования Грамма- Шмидта, мы можем выбрать эm ге­нераторы, обозначенные какXi, чтобы диагонализоватьсимплектическуюформу, так что(7.145)7.10. 5-КУБИТОВЫЙ КОДТаким образом, каждыйщего оператораzjXj55обращает собственное значение соответствую­и, следовательно, может рассматриваться как операторПаули Х, действующий на j-й закодированный кубит.(а) 9-кубитовый код.

Как мы обсуждали выше, в качестве логических опе­раторов можно выбрать(7.146)Они антикоммутируют между собой (Х иции1),Zсталкиваются в пози­коммутируют с генераторами стабилизатора и не зависят отгенераторов (ни один из элементов стабилизатора не содержит три опе­ратора Х или три оператораZ).(Ь) 7-кубитовый код. Мы видели, что(7.147)Тогда Х добавляет нечетвое кодовое слово Хэмминга, аZобращаетего фазу. Эти операции осуществляют инвертирование бита, соответ­ственно, и обращение фазы в базисенении7.10.{IO) р, ll) F }, определенном в урав­(7.93).5-кубитовый кодВсе рассмотренные до сих пор КККО относятся к КIIIС-типудый генератор стабилизатора является произведением операторовZ-каж­или Х.Но не все стабилизирующие коды обладают этим свойством. Примерам ста­билизирующего кода, не относящиеся к КIIIС-типу, является совершенныйневырожденный[[5, 1, 3]]-код.Его четыре генератора стабилизатора можно представить в видеМ1=XZZXl,М2= lXZZX,М3= XlXZZ,М4= ZXlXZ.(7.148)Генераторы М 2 3 4 получены из М 1 путем выполнения циклической пере­становки кубиrо~.

(Полученный с помощью циклической перестановки ку­битов пятый оператор М 5 = ZZXlX = М 1 М 2 М 3 М 4 зависит от четырех56ГЛАВА7других.) Поскольку результатом циклической перестановки сомножителейгенератора является другой генератор, код сам по себе цикличен-резуль­татом циклической перестановки кубитов кодового слова является кодовоеслово.Очевидно, что каждыйMiне содержит ни одного У и, следователь­но, при возведении в квадрат дает1.Для каждой пары генераторов имеетместо по два столкновения между Х иZ,так что генераторы коммутиру­ют. Можно быстро проверить, что каждый оператор Паули с весом единицаили два антикоммутирует по крайней мере с одним генератором, так чторасстояние кода равно трем.Рассмотрим, например, существуют ли коммутирующие со всеми че­тырьмя генераторами операторы ошибок с носителями на первой паре ку­битов. Чтобы коммутировать с 1Х в М 2 и с Х1 в М 3 , оператор с весомдва должен быть равен ХХ.

Но ХХ антикоммутирует св М 4 . В симплектической записи стабилизатор0110000110- ( 0001110001(7.148)XZв М1 и с10010 )0100110100 .01010й-ZXимеет вид(7.149)Эта матрица имеет изящную интерпретацию, так как каждый из ее столб­цов можно рассматривать как синдром однокубитовой ошибки. Например,оператор однокубитового инвертирования битав позициицииjjоператороператорMiMiимеетимеетZ.1Xjкоммутирует сMi,еслиили Х, и антикоммутирует, если в пози­Таким образом, таблицаxlх2Хзх4М1О1ООМ2оо11оМ3ООО11М41ооохБ11составляет список результатов измерения М 1 2 3 4 в случае инвертирова­ния бита. (Например, если инвертирован первь{й' бит, результаты измеренияМ 1 = М 2 = М 3 = 1, М 4 = -1 выявляют ошибку).

Аналогично, правуючасть Й можно рассматривать как таблицу синдромов фазовых ошибок.zl z2Zзz4zБ1ОО1ОМ2о1оо11О1ООМ4о1о1оМ1М37.10.Так как У антикоммутирует с575-КУБИТОВЫЙ КОДдает суммаi-xПутем непосредственной проверки можно убедиться в том, что все15столбцов таблиц Х иZиХ, синдром ошибкиYiZ:11о1111остолбцов таблиц синдромов Х, У иZ1111о111различны, и, следовательно, мывновь подтверждаем, что рассматриваемый код невырожден и корректи­рует одну ошибку. Действительно, код совершенен- каждая из пятнадцатинетривиальных двоичных строк длины четыре выступает в качестве столб­ца в одной из этих таблиц.Благодаря свойству цикличности кода, петрудно охарактеризовать все15нетривиальных элементов его стабилизатора.

Помимо М 1= XZZXlи четырех операторов, получаемых из него путем циклических перестало­вок кубитов, стабилизатор включает(7.150)плюс все его циклические перестановки, а также(7.151)и все его циклические перестановки. Очевидно, что все элементы стабили­затора являются операторами Паули с весом четыре.В качестве логических операторов можно выбратьz=zzzzz,Х=ХХХХХ;(7.152)они коммутируют с М 1 2 3 4 , дают в квадрате единицу1 и антикоммути­руют между собой. Им~я' ~ее пять, они сами не содержатся в стабилиза­торе.

Следовательно, если нас не беспокоит разрушение закодированногосостояния, то мы можем определить значениета, измеряяZZ для закодированного куби­каждого кубита и вычисляя четность результатов. Фактиче­ски, поскольку код имеет расстояние три, существуют элементы множестваSj_ \ S с весом три; альтернативные выражения дляZиХ можно полу­чить путем умножения на элементы стабилизатора. Например, мы можемГЛАВА 758выбратьZ = (ZZZZZ) · (-ZYYZl) = -lXXlZ(7.153)(или одну из его циклических перестановок) иХ=(ХХХХХ) · (-YXXYl)=(7.154)-ZllZX(или одну из его циклических перестановок).

Следовательно, возможноустановить значение Х илиZ, измеряя Х илиZ только трех из пяти куби­тов в блоке и вычисляя четности результатов.Если угодно, ортонормированный базис кодового подпространстваможно построить следующим образом. Начиная с любого состояния I'Ф 0 ),можно получить(7.155)MESJwЭто (ненормированное) состояние удовлетворяет условию M'l\li 0 ) =0)для каждого М' Е S, так как умножение на элемент стабилизатора лишьпереставляет слагаемые в сумме. Чтобы получить закодированное состоя­ние /0), отвечающее собственному значению Z = 1, можно начать с состо­яния /00000), которое также является собственным состоянием с Z = 1,но не принадлежит стабилизатору; в итоге находим (с точностью до нор­мировки)!О) =LМ/00000) =MES= /00000) + (М 1 +циклические перестановки)/00000) +++(М 3 М 4 +циклические перестановки)/00000)+(М 2 М 5 +циклические перестановки)/00000) ==/00000) + (/10010) +циклические перестановки)­- (/11110) +циклические перестановки)- (/01100) +циклические перестановки).После этого, применяя Х к(7.156)/0), то есть инвертируя все пять кубитов, можнонайти/l) =Х/0)= /11111) + (/01101) +циклические перестановки)­- (/00001) +циклические перестановки)- (/10011) +циклические перестановки).Как измеряетсяМ1 =XZZXlсиндром?Возможная длясхема изображена на рисунке.выполнения(7.157)измерения5-КУБИТОВЫЙ КОД7.10.5912------г-~----------3------г--+--~-------45------4---1---+---+-----IO) --t--+1--!-t-++++t+l----1Повороты Адамара первого и четвертого кубитов преобразуют М 1 в тен­зорное произведениеZZZZl,а затем вентилиCNOTотпечатывают зна­чение этого оператора на служебный кубит.

Заключительные поворотыАдамара возвращают закодированный блок в стандартное кодовое подпро­странство. Схемы для измерения М 2 3 4 получаются из изображенного вы­ше путем циклической перестановки' ~ти кубитов в кодовом блоке.А что можно сказать о кодировании? Мы хотим построить унитарноепреобразованиеUencode : /0000) 0 (а/О/+ Ь/1))Мы только что видели, чторатораZ,jOOOOO)-+а/0)+ b/II.(7.158)является собственным состоянием опе­отвечающим собственному значениюZ=1, а j00001) - соб­Z = -1. Сле­ственным состоянием, отвечающим собственному значениюдовательно, (с точностью до нормировки)ajO) + bjl) =L MjOOOO) 0 (ajO) + bjlj).(7.159)MESИтак, нам необходимо понять, как построить схему, применяющую опера­цию2::: М к начальному состоянию.Так как генераторы независимы, каждый элемент стабилизатора можноединственным способом представить в виде произведения генераторов и,следовательно, записатьLМ= (1 + М 4 )(1+ М 3 )(1 + М 2 )(1 + М 1 ).(7.160)MESТеперь, чтобы двигаться дальше, удобно представить стабилизатор в аль­тернативной форме.

Отметим, что, не изменяя стабилизатор, генераторможно заменить наMiMj.MiЭта замена эквивалентна добавлению j-й стро-ки к i-й строке матрицы Й. Используя подобные операции со строками,можно выполнить процедуру Гаусса в матрице Нх размерности4х5и,60ГЛАВА7таким образом, получить новое представление для стабилизатора11011й =или10001 )010010010100110( 1100010111(7.161)00011М1= -YZ1ZY,= +1XZZX,М 3 =+ZZX1X,М 4 = -Z1ZYY.М2В таком видеMi(7.162)применяет Х (инвертирование) только кi-yи пятомукубиту в блоке. 1Выбирая стабилизатор в таком виде, мы можем примелить ~(1+М 1 )к состоянию10, z 2 , z3 , z4 , z 5 ), выполняя схемуIO)IZ:1)---1IZз)---+-z4)-------1lzs)--------11Преобразование Адамара готовит состояние ~(IO)кубит находится в состоянииIO),+ 11) ).Если первыйто другие операции ничего не делают,то есть результатом действия этой схемы является тождественное ире­образование11111.Но если после адамаронекого поворота первый ку­11), то остальные вентили этой схемы при­1Z1ZY. В этом случае результатом является применение опера­М 1 = - YZ1ZY.

Можно построить подобные схемы, применяющиебит оказывается в состояниименяютции+ 2lzz~(1 М ) к состоянию 1 , О, z 3 , z 4 , 5 ), и так далее. Кроме вентилей Ада­мара, каждая из этих схем подвергает действию операций Z и контролируе­мого1Z от одного дочетырех кубитов; эти кубиты никогда не инвертируют-В оригинале были пропущены знаки минус в выражениях для генераторов М 1 и М 4 .Именно учет правильных знаков генераторовзнакам в выражениях для базисных векторов(7 .162) приводит к правильным(7.156), (7.157).