Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 89

Код с расстояниема код с расстояниемs+ 1 можетd = 2t+ 1 может исправитьобнаружитьstошибок,ошибок или исправитьsошибок в известных позициях.7.9.2.Симплектическая записьСвойства стабилизирующих кодов часто лучше объясняются и вы­ражаются на языке линейной алгебры. Стабилизатор кода S - абелеваподгруппа группы Паули, имеющая порядок 2n-k и состоящая из эле­квадраты которых равны единице, может рассматриваться как(n - k )-мерное замкнутое линейное подпространство пространства Fin,самоортогональное относительно некоторого ( симплектического) внутрен­ментов,него произведения.ствуГруппа Gn = GnfZ2 изоморфна двоичному векторному простран­Fin.

Мы утверждаем это, замечая, что поскольку У = ZX, то любойэлемент М группы Паули (с точностью до знакав виде произведения операторовZ±)можно представитьи Х; мы можем написать(7.126)ГЛАВА50гдеZми Хм-7тензорные произведения степеней операторовZи Х соот­ветственно. В более явном виде оператор Паули можно записать какn(а\,6)n= Z(а)Х(,В) = Q9Z"'' · Q9x13',i=lгде а иf3 -двоичные строки длиныn.Тогда операторы У действуют в техпозициях, в которых «сталкиваются» а и ,6. 1 Умножение вна сложение в(7.127)i=lGnотображаетсяF:jn:(а\,В)(а'\,6')= ( -1)"'·!3(а+ a'\f3 +,В');(7.128)показатель фазы а'· f3 подсчитывает количество перестаново кцессе иреобразования произведения к стандартной формеИз уравнения(7.128)Z и Х,(7.127).в про­следует, что коммутационные свойства операто­ров Паули можно представить в виде(а\,В)(а'\,6')= (-1)"''·!3+a·f3' (а'\,В')(а\,6).(7.129)Таким образом, два оператора Паули коммутируют, если и только если соот­ветствующие векторы ортагональны относительно симплектического внут­реннего произведенияа · ,В' +а' ·,в.(7.130)Отметим также, что квадрат оператора Паули равен(7.131)так как а·f3 подсчитывает количествомножителей У в операторе; квадратоператора Паули равен единице, если и только еслиа·f3 =О.(7.132)Заметим, что замкнутое подпространство, каждый элемент которого обла­дает этим свойством, автоматически самоортогонально, посколькуа· /3' + а' · f3 = (а + а') · (,В + ,6') - а · f3 - а' · ,В' = О;то есть, на языке теории групп, подгруппаG n,(7.133)квадрат каждого элементакоторой равен единице, автоматически является абелевой.1То есть в тех позициях, в которых в обеих двоичных строках а и(3 записаны единицы.(7 .126), (7 .127) использовано свойство тензорного про­изведения (А 0 В)(С 0 D) = (АС) 0 (BD), которое по индукции можно обобщить напроизвольнос количество сомножителей.

- При.м. ред.При записи операторов Паули в виде7.9. СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫ51На языке линейной алгебры, некоторые из сделанных ранее утвержде­ний относительно группы Паули легко проверлютея путем подсчета ли­нейных условий. Элементы являются независимыми, если линейно незави­симы соответствующие векторы вn - kтак что мы можем рассматриватьF:fn,генераторов стабилизатора как базис в линейном подпространстверазмерностиn - k.Будем использовать обозначениеSдля линейного про­странства и соответствующей абелевой группы.

Тогда SJ.. обозначает век­торное пространство размерности n + k, ортогональное каждому векторуиз(относительно симплектического внутреннего про изведения). Отме­Sтим, чтоSJ..содержитS,так как все векторы изs.J..взаимно ортогональны.SНа языке теории групп, пространствусоответствует нормализующая(или централизующая) группа N(S)(= 31.) группы S с Gп, то есть под­группа группы G n, содержащая все элементы, коммутирующие с каждымэлементом S. Так как S - абелева группа, она содержится в своем соб­ственном нормализаторе, в который входят и другие элементы (которые мыобсудим ниже). Стабилизатор кода с расстояниемd обладает свойством, со­l::(ai V ,Вi) меньше,гласно которому каждый элемент (аi,В), вес которогоiчемили принадлежит подпространству стабилизатораd,пределами ортогонального пространстваs.J...S,или лежит заКод можно характеризовать его стабилизатором, стабилизаторнераторами, а(n- k)хn- k-его ге­генераторов можно представить матрицей размерности2nН= (HziHx).(7.134)Здесь каждая строка представляет собой оператор Паули, записанный в ви­де (аi,В).

Синдром ошибки Еа = (ааi,Ва) определяется его коммутацион­ными свойствами с генераторами Mi = (а~j,В~); то есть(7.135)В случае невырожденного кода каждая ошибка имеет свой собственныйсиндром. Если код вырожден, то возможно несколько ошибок с одним син­дромом, но для их исправления мы можем примелить любой из соответ­ствующих наблюдаемому синдрому операторов Е~.7.9.3.Несколько примеров стабилизирующих кодов(а) Девятикубитовый код. Этот[[9, 1, 3]]-кодимеет восемь генераторовстабилизатора, которые можно представить в видеzl z2, z2zз, z4z5,Xl Х2ХзХ4Х5Х6,Z5 Z6 ,Z 7 Z8 ,Z8 Z9 ,X 4JC 5X 6X 7 X 8 X 9 .(7.136)52ГЛАВАВ записи(7.134)7онипринимаютвид1 1 о о о о оо 1 1 о о о оо о о 1 1 о оо о о о 1 1 оооооооооо о о о о о 1 1 оо о о о о о о 1 1о о о о о о о о оо о о о о о о о о(Ь) 7-кубитовый код.

Этотоооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо111111000о о о 1 1 1 1 1 1[[7, 1, 3]]-код имеет шесть генераторов стабили­затора, которые можно записать какЙ_ (HhamО-где Hham-3ОHham)(7.137)'х 7-матрица контроля четности классического[7,4,3]-кода Хэмминга. Три контрольных оператораMl= zl ZзZ5Z7,м2 = z2zзzбz7,(7.138)Мз = z4z5zбz7обнаруживают инвертирования битов, а три контрольных оператораМ4 =Xl ХзХБХ7,м5 = х2хзхбх7,(7.139)мб = х4х5хбх7обнаруживают фазовые ошибки.

Пространство с М 1=1=М2=М3=натянуто на кодовые слова, удовлетворяющие контролю четностиХэмминга. Вспоминая, что адамаронекое преобразование базиса обме­нивает операторы=Мб= 1zи Х, мы видим, ЧТО пространство с м4=м5=натянуто на кодовые слова, удовлетворяющие контролючетности Хэмминга в базисе, полученном преобразованием Адамара.Действительно, мы построили семикубитовый код, требуя, чтобы кон­троль четности Хэмминга удовлетворялся в обоих базисах. Генераторыкоммутируют, потому что код Хэмминга содержит дуальный ему код;то есть каждая строка матрицы Hham удовлетворяет контролю четно­сти Хэмминга.7.9.СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ КОДЫ(с) КШС-коды. Вспомним, что если классический53[n, k, d]-код С содержитдуальный ему код Cj_, мы можем выполнить КШ С-конструкцию, что­бы получить квантовыйможно записать как[[n, 2k - n, d]]-код.-Н=где Н-(n-k)Стабилизатор этого кода(но)О Н '(7.140)х п-матрица контроля четности кода С.

Как и для семи­кубитового кода, стабилизаторы коммутируют, поскольку С содержитcj_' а кодовое подпространство натянуто на состояния, удовлетворяю­щие контролю четности Н вF-иР-базисах. Или, что эквивалентно,кодовые слова удовлетворяют контролю четности Н и инвариантныотносительно[v)->[v + w),(7.141)где w Е Cj_.(d)Более общие КШС-коды. Рассмотрим более общий стабилизатор, каж­дый генератор которого можно выбрать в виде произведения операто­ровZ (=(а[О)) или операторов Х (=(0/,8)).Тогда генераторы имеютвидЙ=(Hcf ;;х(7.142)).Какому условию должны удовлетворять Нх иHz,еслигенераторы коммутируют между собой? Так как операторыZZи Х­долж­ны сталкиваться с операторами Х в четном количестве позиций, мыимеем(7.143)Но это всего лишь требование того, чтобы дуальный кодC:k с матри­цей контроля четности Нх содержался в коде Сz с матрицей контролячетности Нz· Другими словами, этот КККО входит в семейство КШСкодов с(7.144)Итак, мы можем характеризовать КШС-коды как такие и только такие,стабилизаторы которых имеют генераторы вида(7.142).Однако следует предостеречь: определяемый уравнением(7.142)невырожден, если ошибки ограничены весами, меньшими, чем=шin (d z,d х)(гдеdz -расстояние кода Сz, аdх -кодd=расстояние ко­да Сх ).

Но истинное расстояние КККО может превышатьd. Например,54ГЛАВА 79-кубитовый код в этом обобщенном смысле является КШС-кодом. Нов этом случае классический код Сх имеет единичное расстояние, от­ражая, например, то, чтоZ 1 Z 2 содержится в стабилизаторе. Тем неменее, расстояние КШС-кода d = 3, так как ни один оператор Паулис весом два не принадлежит Sj_ \ S.7.9.4.Закодированные кубитыМывидели,-чтопричиняющиебеспокойствоошибкинаходятсяв Sj_ \ S- те, что коммутируют со стабилизатором, но лежат за его пре­делами.

Эти операторы Паули интересны также и по другой причине: ихможно рассматривать как «логические» операторы, действующие на зако­дированные данные, которые защищены кодом.С точки зрения линейной алгебры, мы можем видеть, что нормали­+kзатор Sj_ стабилизатора содержит nнезависимых генераторов.