Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 85

В этом случае супероператор ошибок является тензорным про­изведением однокубитовых супероператоров. Если на самом деле ошибкиодинаково действуют на все кубиты, то мы можем представить п-кубито­вый супероператор как$(n)_[$(1)error -errorJ®n '(7.59)где $i;for - однокубитовый супероператор, действие которого (в его уни­тарном представлении) имеет видВлияние ошибок на закодированную информацию особенно легко анали­зировать, если предположить, что каждое из трех состояний окруженияlex,Y,z)ортогонально состояниюJe 1 ).В этом случае запись того, возниклаошибка или нет, для каждого кубита постоянно отпечатывается на окруже­нии, и разумно говорить о вероятности ошибкиPerrorдля каждого кубита,где(eJJeJ)=(7.61)1- Perror·tЕсли наш квантовый код может исправитьоператоры Паули имеют вес, не превышающийшающийt.t,ошибок, то «хорошие»а «плохие»-вес, превы­Тогда восстановление несомненно будет успешным, по крайнеймере пока ошибкам не подвергнутсяt+1кубитов.

Отсюда следует, чтоточность воспроизведения подчиняется условию1- F~L (nS) Perror(l- Perror)snn-ss=t+l~(nt+lt + 1 ) Perror·(7.62)(Для каждого из ( t~l) способов выбора t + 1 положений, вероятность воз­никновения ошибки во всех этих позициях равна p~t,;" где мы иренебре­гаем вероятностью возникновения дополнительных ошибок в остальныхn- t- 1позициях. Следовательно, окончательное выражение(7.62)деляет верхний предел вероятности возникновения по крайней мереошибок в блоке изnкубитов.) При малой Perror и большомtопре­t+1точностьвоспроизведения закодированной информации существенно улучшается посравнению с точностью воспроизведениякубита.F = 1-О(р) незащищенного7.4.29ВЕРОЯТНОСТЬ СБОЯДля действующего на один кубит общего супероператора ошибокне существует четкого понятия «вероятности ошибки»; состояние кубитаи окружения, полученное в результате действия оператора Паули1,не ор­тогонально (и, следовательно, его нельзя полностью отличить) состоянию,полученному в результате действия операторов Паули Х, У,Z.В предель­ном случае, когда декогерентизация вообще отсутствует, «ошибки» возни­кают в результате действия на кубиты неизвестных унитарных преобразо­ваний.

(Если бы действующее на кубит унитарное преобразованиеизвестно, то мы могли бы исправить «ошибку», просто применивРассмотрим некоррелированныенаnунитарныеошибки,Uбылоut .)действующиекубитов в кодовом блоке, каждая из которых (с точностью до несу­щеетвенной фазы) имеет вид(7.63)гдеW-(бесследовая, эрмитова) линейная комбинация операторов Х, Ун Z, удовлетворяющая условию Wкубитаlw),2=1. Если приготовлево состояние(7.63), то точность вос­а затем возникает унитарная ошибкапроизведения итогового состояния(7.64)Если унитарная ошибка(7.63) действует на каждый из nкубитов в кодовомблоке, а результирующее состояние разложено по операторам Паули, какв уравнении (7.45), тогда состояние IBAD) (возникающее из слагаемых,в которых W действует по крайней мере на t1 кубитов) имеет норму+порядка(y'P)t+l, анеравенство (7.58) приобретает вид(7.65)Таким образом, кодирование обеспечивает увеличение точности воспроиз­ведения одного и того же порядка независимо от того, возникают ли некор­релированные ошибки вследствие декогерентизации или неизвестного уни­тарного преобразования.Чтобы избежать путаницы, подчеркнем значение слова «некоррелиро­ванный» для ясного понимания предыдущего обсуждения.

Мы рассматри­ваем действующую наnкубитов унитарную ошибку как «некоррелирован­ную», если она является тензорным произведением однокубитовых уни­тарных преобразований, независимо от того, как могут быть связаны другс другом унитарные преобразования, действующие на различные кубиты.Например, коррекция квантовых ошибок эффективно справляется с ошиб­кой, приводящей к повороту всех кубитов на угол е вокруг общей оси.Если код может защитить отtнекоррелированных ошибок, то точностьГЛАВА 730воспроизведения после восстановления равна F = 1- O(B 2 (t+l)).

Напро­тив, больше трудностей вызвала бы унитарная ошибка вида u(n) "' 1 ++ iBE~:~, где Е~:~ - п-кубитовый оператор Паули с весом, большим t.В этом случаеIBAD)имеет норму порядка В, а типичная точность воспро­изведения после восстановления равна F =1- 0(0 2 ).Классические линейные коды7.5.Квантовые коды коррекции ошибок впервые были изобретены менеечетырех лет тому назад, 1 но классические коды коррекции ошибок име­ют гораздо более длинную историю. За последние пятьдесят лет была по­строена удивительнокрасивая и мощная теорияклассического кодирова­ния. Многое из нее может быть использовано при создании КККО.

Здесьмы сделаем беглый обзор лишь некоторых элементов классической теории,акцентируя наше внимание на двоичных линейных кодах.В двоичном кодеkбитов кодируются двоичной строкой длиныесть из 2n строк длиныстрок-n. Тоn мы выбираем подмножество, содержащее 2kкодовых слов; k-битовое сообщение кодируется путем отбора од­ного из этих 2k кодовых слов.В частном случае двоичного линейного кода кодовые слова образуютk-мерное замкнутое линейное подпространство С двоичного векторногопространстваF2.То есть побитовое исключающее ИЛИ(XOR)двух кодо­вых слов является другим кодовым словом. Пространство кода С натянутона базис изkвекторов v 1 ,v2 , .•.

, vk;произвольмое кодовое слово можнопредставить в виде линейной комбинации этих базисных векторов(7.66)где каждое ai Е{0, 1},а сложение выполняется по модулюзать, что вектор v( а 1 , а 2 , ... ,а= (а 1 , ... ,ak).kбазисных векторов v 1,ak)длиныn2. Можно ска­кодирует k-битовое сообщениеv 2 , .•. , vk можно скомпоновать в k х п-матри-цу(7.67)1 Отсчитывая отПрим.ред.1998 года, времени опубликования английского издания этих лекций. -7.5.КЛАССИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОДЫ31которая называется генерирующей матрицей кода. Тогда в матричных обо­значениях уравнение(7.66)может быть переписано какv(a)действующая налево матрицаG= aG;(7.68)кодирует сообщение а.Альтернативный способ описания k-мерного кодового подпростран­ства векторного пространстваусловий.

Существует такаяF!j состоит в определении n - k(n - k) х п-матрица Н, чтолинейных(7.69)Hv=Oдля всех тех и только тех векторовv, которые принадлежат коду С.Эта мат­рица Н называется матрицей контроля четности кода С. Строки матрицы Нобразуютn - kлинейно независимых векторов, а кодовым пространствомявляется пространство ортогональных им векторов. Ортогональность опре­деляется относительно побитового внутреннего произведения по модулюдведвоичные(«collide» -строкидлиныnортогональны,обе принимают значение1)еслиони2;«сталкиваются»в четном количестве позиций.

От-метим, чтонет =0,где ат-(7.70)транспонированная матрица G; строки G ортогональны стро­кам Н.Единственным типом ошибки классического бита является его инвер­тирование. Возникшую в п-битовой строке ошибку можно характеризоватьп-компонентным вектором е, где единицы в е показывают позиции, в кото­рых появились ошибки. Возмущенная ошибкой е строкаv--->vvпринимает вид+е.(7.71)Ошибки можно обнаружить, применяя матрицу контроля четности.

Еслиvявляется кодовым словом, тоH(v+e) =Hv+He=He.(7.72)Вектор Н е называется синдромом ошибки е. Обозначим через е множе­ство ошибок{ eJ,которые мы хотим уметь корректировать. Исправлениеошибок будет возможно, если и только если все они имеют различные син­дромы. Только при этом условии можно однозначно выявить ошибку с син­дромом Н е, а затем исправить ее, инвертируя отмеченные в е биты,v+e---> (v+e)+e=v.(7.73)32ГЛАВА 7С другой стороны, если Н е 1 = Н е 2 при е 1ol е 2 , то мы можем неправильноинтерпретировать ошибку е 1 как е 2 .

Тогда попытка исправления произведетследующий эффект:(7.74)Восстановленное сообщениеv + е1+ е 2 принадлежит подпространству ко­дов, но оно отличается от исходного сообщенияv; закодированная инфор­мация повреждена.Расстояниеdкода С представляет собой минимальное значение весаиенулевых векторовvЕ С, где вес равен количеству единиц в строкеЛинейный код с расстояниемdv.= 2t + 1 может исправить t ошибок; код со­поставляет конкретный синдром каждой е Е Е, где Е содержит все векторыс весом, не превышающимt.Это так, поскольку если Н е 1 = Н е 2 , то(7.75)и, следовательно, е 1+ е2Е С.

Но если е 1 и е 2 не равны между собойи каждый имеет вес, не превышающийне превышает2t.принадлежать С.t,то вес е 1+е 2 больше нуля, ноd = 2t + 1, то вектор е 1 + е 2 не можетСледовательно, Н е 1 и Н е 2 не могут быть равны другНо посколькудругу.Полезной конструкцией классической теории кодирования является ду­альный (двойственный) код.

Мы видели, что генерирующая kхп-матрицаи(n - k)Gх п-матрица контроля четности Н кода С связаны соотношениемнет =О. Транспонируя это равенство, получим GНтзом, мы можем рассматривать Н как генератор, аG-= О. Таким обра­как матрицу контролячетности (n- k)-мерного кода (этот код обозначается как Cj_ и называетсядуальным по отношению к С). Другими словами, Cj_ представляет собойортогональное дополнение С вF2.Вектор является самоортогональным,если он имеет четный вес, следовательно, возможно пересечение С и Cj_.Код содержит дуальный ему код, если все его кодовые слова имеют чет­ный вес и взаимно ортогональны.

Если n= 2k, то возможно, чтоС = Cj_,в этом случае говорят, что код С является самодуальным (или самодвой­ственным).В следующем разделе окажется полезным тождество, связывающееКОД С С дуаЛЬНЫМ ему КОДОМ Cj_(7.76)7.6.Коды КШС33Нетривиальным содержанием этого тождества является утверждение, чтосумма обращается в нуль для и tJ_ Cl.. Это непосредственно вытекает иззнакомого тождестваwi=о,(7.77)vE{O,l}kгдеиvw-строки длиныk.Мы можем представитьvЕ С какv=aG,(7.78)где а представляет собой k-мерный вектор. ТогдаI)-l)v·u =vECдля Сиi=О. Так какG,L(-l)a·Gu =О,(7.79)aE{O,l}kгенерирующая матрица кода С, является матрицейконтроля четности кода Cl., то мы приходим к выводу, что сумма обраща­ется в нуль при и tJ_ Cl..Коды КШС7 .6.При создании квантовых кодов коррекции ошибок можно применятьпринципы теории классических линейных кодов.