Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 84

В двоичном коде кодовое подпростран­ство размерности 2k погружено в пространство размерности 2n, где kиn (> k)-целые числа. В сущности, нет никакой необходимости требо­вать, чтобы размерности этих пространств были степенями двойки (смотриупражнения); тем не менее, мы здесь главным образом будем ограничивать­ся двоичным кодированием как наиболее простым.В дополнение к размеру блокатовk,nи количеству закодированных куби­еще одним важным параметром, характеризующим код, является рас­стояниеd.Расстояниеdпредставляет собой минимальный вес оператораПаули Е, такого, что(7.34)Квантовый код с размеромn, количествомзакодированных кубитовстоянием d будет кратко обозначаться символом[[n, k, d]].kи рас­Обозначениес двойными скобками используется для квантового кода, чтобы отличитьего от обозначения[n, k, d]для классического кода.Будем говорить, что КККО может исправитьt ошибок, если множествоЕ допускающих исправление ошибок Еа включает все операторы Паулис весом, не превышающимt.Наше определение расстояния подразумевает,23НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КККО7.3.что критерию коррекции ошибок(7.35)удовлетворяют все операторы Паули Еа с весом, не превышающимусловии, чтоd ~ 2tможет исправить7.3.2.t+ 1.

Следовательно,КККО с расстояниемt,d = 2tпри+1ошибок.Локализованные ошибкиКод с расстояниемd ~ 2t+ 1 может исправить tошибок, независимоот их положения в кодовом блоке. Но иногда мы можем знать, что некото­рые кубиты особенно предрасположены к появлению ошибок. Возможно,мы видели, как по ним ударили молотком. Или, может быть, вы послалимне блок изnкубитов, ноt (< n)из них оказались потерянными и уженикогда не будут получены. Я уверен, что остальныеn - tкубитов былихорошо упакованы и получены неповрежденными. Тогда я заменяюстающих кубитов (произвольно выбранным) состоянием100 ... 0),tнедо­вполнеотдавая себе отчет в том, что эти кубиты могут содержать ошибки.Тот же самый код может защитить от большего количества ошибок,если они появляются в известных местах.

Фактически КККО с расстояни­емd= t+ 1 может исправить tошибок в известных положениях. В этомслучае множество ошибок Е, которые необходимо исправить, представляетсобой совокупность всех операторов Паули с носителем вtопределенныхместоположениях (каждый Еа действует тривиально на другиеn - tкуби­тов). Но тогда для каждого Еа и Еь из Е произведение Е1Еь также имеетt.вес не больше, чемСледовательно, критерий коррекции ошибок удовле­творяется для всех Еа ь Е Е, при условии, что код имеет расстояние, покрайней мере равное t+1.В частности, КК:КО, корректирующийвольных положениях, может исправить7.3.3.tошибок, находящихся в произ­2t ошибок в известных положениях.Обнаружение ошибокВ некоторых случаях оказывается достаточным просто заметить ошиб­ку, дажееслимынеможемполностью диагностироватьилиисправитьее. Предназначенное для регистрации ошибок измерение имеет два воз­можных результата:«good»и«bad».Если получается результат«good»,мы уверены, что квантовое состояние не повреждено.

Если получается ре­зультатвиться.«bad»,значит, состояние было повреждено, и от него следует изба­24ГЛАВА 7Если носитель супероператора ошибки принадлежит множеству всехоператоров Паули Е с весом, не превышающимt,и возможно измерение,точно показывающее, возникла ошибка или нет, то в таком случае говорят,что мы можем обнаружитьtошибок. Обнаружение ошибок nроще, чем ихкоррекция, поэтому один и тот же код может детектировать больше оши­бок, чем исnравить. Фактически, КККО с расстояниемобнаружитьtd= t+1можетошибок.Такой код обладает свойством(7.36)для каждого оnератора Паули Еа с весом не вышеt,илиEalz) = Calz) + jcp~),гдеjcp,;-il -(7.37)неиармированный вектор, ортогональный кодовому nодпро­странству.

Следовательно, действие cyneponepaтopa ошибки с носителемв Е на состояние кодового nодпространствагдеjorthog)(?j;)имеет видобозначает вектор, ортогональный кодовому nодпространству.Теперь мы можем выnолнить «грубое» ортогональное измерение ин­формации, с двумя результатами: состояние проецируется либо на nодпро­странство кодов, либо на дополнительное ему подпространство. Первыйрезультат воспроизводит неповрежденное состояниеi?f}), второй- сообща­ет об обнаружении ошибки.

Таким образом, КККО с расстояниемрегистрироватьd -- 1ошибок, то детектировать он может7 .3.4.dможетошибок. В частности, если КККО может исправить2ttошибок.Квантовые коды и запутываниеКККО защищает квантовую информацию от ошибок, кодируя ее нело­кальным образом, то есть расnределяя ее между несколькими кубитамив блоке. Таким образом, квантовое кодовое слово представляет собой силь­но запутанное состояние.Фактически, невырожденный код с расстоянием d =t +.1обладаетследующим свойством.

Выберем любое, принадлежащее кодовому подпро­странству, состояниешимелn- tj?j;)и любыеtкубитов в блоке. Возьмем след по остав­кубитам, чтобы получить матрицу плотностиp(t)= tr(n-t) j?j;)(?j;j.tкубитов(7.39)7.4.ВЕРОЯТНОСТЬ СБОЯ25Тогда эта матрица плотности абсолютно случайнаp(t) =(Наблюдая любыеt-\1.2(7.40)кубитов в блоке, мы ничего не можем узнать об инфор­мации, закодированной кодом с расстояниемt + 1; тоесть p(t)- независи­мая от кодового слова константа. Но матрица плотностиtкубитов действи­тельно будет кратной единичному оператору, если только код невырожден.)Чтобы проверить свойствокода с расстояниемt+1(7 .40),(z/Ea/31заметим, что для невырожденного=одля любого Еа иенулевого веса, не превышающего(7.41)t.Так что(7.42)для любого, отличного от единичного, t-кубитового оператора Паули. Те­перь p(t), подобно любой эрмитовой 2t х 2t-матрице, может быть разложенапо операторам Паули:Р (t) --_llt2+"""'~ Ра Е а·Еа#(7.43)Так как операторы Еа удовлетворяют условию(7.44)мы находим, что все Ра =О, и приходим к выводу, что p(t) пропорциональ­на единичному оператору.Вероятность сбоя7 .4.7.4.1.Нижняя граница точности воспроизведенияЕсли носитель супереператора ошибок содержит только операторы Па­ули из множества&, способ исправления которых нам известен, то закоди­рованная квантовая информация может быть восстановлена с идеальнойточностью воспроизведения.

Однако в реальной ситуации всегда существу­ет небольшая, но отличная от нуля, вероятность появления ошибок, которыене входят в&, такчто восстановленное состояние не будет идеальным. Чтоможно сказать о точности воспроизведения восстановленного состояния?267ГЛАВАРазложение супероператора ошибок по операторам Паули можно раз­бить на сумму «хороших» (входящих в&)и «плохих» (не входящих в&)операторов. В соответствии с этим результат его действия на состояниекодового подпространства ['Ф) можно представить в видеаLЕаi'Ф) ® iеа)в +ЕаЕ[LЕьi'Ф) ® lеь)в=Еь~[IGOOD)+ IBAD).(7.45)Тогда операция восстановления (унитарное преобразование, действующеена информацию и служебный кубит) отображает[GOOD) на состояние ин­IGOOD'), а IBAD)-формации, окружающей среды и служебного кубитана состояние [BAD'), так что после восстановления мы получаем состояниеIGOOD')+ [BAD');(7.46)здесь (поскольку, действуя на «хорошее» состояние, восстановление рабо­тает идеально)[GOOD')где= I'Ф)® [s)вА•(7.47)Js) ЕА- некотороесостояние окружения и служебного кубита.Предположим, что состояния JGOOD) и [BAD) взаимно ортогональ­ны.

Это справедливо, если, в частности, все «хорошие» состояния окруже­ния ортагональны всем «плохим» состояниям, то есть если(7.48)Пусть Prec обозначает матрицу плотности восстановленного состояния, по­лученную путем вычисления следа по состояниям окружения и служебногокубита, и пусть(7.49)F = ('Ф[Рrесl'Ф)- его точность воспроизведения. Теперь, поскольку JBAD') ортагональ­но [GOOD') (то есть [BAD') не имеет ни одной компоненты вдольI'Ф) ® Js) вл), точность воспроизведения равнаF = ('ФIPaooD'i'Ф)+ ('ФIРвАD'i'Ф),(7.50)гдеPaoOD'= trвл(JGOOD')(GOOD'[),РвАD' = trвл([BAD')(BAD'[).(7.51)277.4. ВЕРОЯТНОСТЬ СБОЯСледовательно,точностьвоспроизведениявосстановленногосостоянияудовлетворяетнеравенствуF)2(~IPGooD'I~) = llls)Eлll = IIIGOOD')IIБолее того, в силу упитарности операции восстановления= IIIGOOD)II и, следовательно,2(7.52).11IGOOD') 11 =2F)IIIGOOD)II2L=Eal~)@ lea)E(7.53)EaEt:Однако в общем случаеIBAD)не обязательно ортагональнаJGOOD),так что IBAD') не должно быть ортагональна IGOOD').

Тогда IBAD') мо­жет иметь компоненту вдоль IGOOD'), которая деструктивно интерфериру­ет с IGOOD') и, следовательно, понижает точность воспроизведения. Темне менее мы можем получить нижнюю границу точности воспроизведе­ния и в этом, более общем, случае, разлагаяIGOOD') и ортогональную компонентуIBAD')=IBAD(1)+IBAD') на компоненту вдольjBAD~).(7.54)Тогда, рассуждая так же, как и выше, получаем(7.55)Конечно, так как и операция ошибки, и операция восстановления унитарнодействуют на информацию, окружение и служебный кубит, полное состоя­ние IGOOD')+ IBAD')нормировано, илиIJIGOOD')анеравенство(7.55)+ IBADfl)ll 2 + IJIBAD~)II2(7.56)= 1,приобретает вид(7.57)Наконец, норма вектора JBAD~) не может превысить норму вектораJBAD') и, следовательно,21- F ~ IIIBAD')II2= IIJBAD)II 2=LЕьl~)@ Jеь)Е(7.58)Еь~t:Это наиболее общая нижняя граница «вероятности сбоя» операции вос­становления. Уравнение(7.53) следует отсюда в частном случае,JGOOD) и JBAD) являются взаимно ортогональными состояниями.когда28ГЛАВА7.4.2.7Некоррелированные ошибкиРассмотрим теперь некоторые Приложепия этих результатов для слу­чая, когда действующие на отдельные кубиты ошибки полностью некорре­лированы.