Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 83

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 83 страницы из PDF

Нетри­виальн'ое содержание этого условия, которое существенно сильнее более18ГЛАВА 7слабого необходимого условия (7.14), состоит в том, что (I!EьEaii) не за­висит от i. Природа этого условия очевидна - будь это иначе, при определе­нии подпространства ошибки На мы получали бы некоторую информациюо закодированном состоянии, что неизбежно приводило бы к его возмуще­нию.Чтобы доказать необходимость и достаточность условия(7.19),обра­тимся к развитой в третьей главе теории супероператоров.

Действующая накодовый блок ошибка описывается супероператором, и проблема состоитв том, можно ли построить другой супероператор (процедура восстановле­ния), аннулирующий ее действие. В третьей главе мы узнали, что обратитьможно только те супероператоры, которые являются унитарными операто­рами. Однако от нас не требуется умение аннулировать действие суперапе­ратара ошибки на любое состояние в п-кубитовом кодовом блоке; вполнедостаточно уметь исправлять ошибки в состояниях, первоначально принад­лежавших k-кубитовому закодированному подпространству.Альтернативным выражением действия ошибки на одно из кодовыхбазисных состоянийii)(и на окружение) является(7.20)!Lгде теперь состоянияIJ-L) Епредставляют собой элементы ортанормирован­ного базиса окружения, а матрицы М м являются линейными комбинациямисодержащихся в&операторов Паули Еа и удовлетворяют условию норми­ровки операторной суммы:Емtмм = 1.(7.21)!LОшибка может быть исправлена оператором восстановления, если суще­ствуют такие операторы R~.~, что(7.22)/.1и(7.23)J-!,Vздесь векторыlv) Аявляются элементами ортанормированного базиса гиль­бертова пространства служебного кубита, привпекаемого для осуществле­ния операции восстановления, а состояние окружающей среды и служеб­ного кубитакаждогоfLи\stuff) Е,А не должно зависеть от i.

Отсюда следует, что дляv(7.24)7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОК19в кодовом подпространстве действие произведения Itv~~ эквивалентноумножению на число. Используя условие нормировки, которому удовле­творяют операторыItv,мы находим, что(7.25)так что действие ~1~~ в кодовом подпространстве также эквивалентноумножению на число. Другими словами,(7.26)отсюда следует(7.19),поскольку каждый оператор Еа из& является линей­ной комбинацией операторов~~Другой поучительный способ понять, почему(7.26) является необхо­- это обратить вни­димым условием возможности исправления ошибки,мание на то, что если кодовый блок приготовлен в состоянии I'Ф), а ошибкадействует в соответствии(7 .20), тополучаемая путем вычисления следа покодовому блоку матрица nлотности окружения имеет вид(7.27)Ошибка может быть успешно исправлена только в том случае, если в про­цессе измерения окружения невозможно получить какую-либо информа­цию о состоянии j-ф).

Следовательно, мы требуем, чтобы Рв не зависелаот I'Ф), если I'Ф)-произвольнос состояние из кодового подпространства;тогда отсюда следует уравнение(7 .26).(7.26)Чтобы увидеть, что уравнениекак необходимо, так и достаточ­но, можно явно построить исправляющий ошибки супероператор. С этойцелью достаточно выбрать базис окруженияматрица c(j~ в уравнении(7.26){ 1t-t) Е}таким образом, чтобыбыла диагональна(7.28)где"L С~ =1 вытекает~для каждогоvсCvfиз условия нормировки операторной суммы. ПустьО(7.29)ГЛАВА20так чтоRv7действует в соответствии с(7.30)Тогда петрудно понять, что(7.31)vJ-L,VопределяемыйRvсупероператор действительно исправляет ошибку. Оста­ется лишь проверить, чтоRvудовлетворяют условию нормировки. Имеем(7.32)что представляет собой ортогональный проектор на пространство состоя­ний, которые достигаются в результате действия ошибок на кодовые слова.Таким образом, мы можем завершить подробное описание супероператоравосстановления, добавив к операторной сумме еще один элемент-проек­тор на дополнительное подпространство.Итак, уравнение(7 .19)является достаточным условием исправленияошибок, поскольку для операторов ошибок можно выбрать базис, диа­гонализирующий матрицу Саь (не обязательно базис операторов Паули),а в этом базисе можно однозначно диагностировать ошибку, выполняя соот­ветствующее ортогональное измерение.

(Собственные моды Саь с равныминулю собственными значениями, подобноzl- z2 в случае 9-кубитового ко­да, соответствуют ошибкам, вероятность появления которых равна нулю.)Таким образом, как только совокупность возможных ошибокSустанов­лена, операция восстановления определена. В частности, не нужна никакаяинформация·о связанных с ошибками Еа состояниях окружения Jea) в· Сле­довательно, код одинаково эффективно борется как с унитарными ошибка­ми, так и с ошибками декогерентизации (до тех пор, пока пренебрежимомала вероятность появления ошибок, не принадлежащих множествуS).

Ко­нечно, в случае невырожденного кода Саь диагональна уже в базисе Паули,и мы можем представить базис восстановления в виде(7.33)каждому Еа изSсоответствуетRa.7.2.КРИТЕРИИ ИСПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ОШИБОК21Мы описали коррекцию ошибок как процедуру, состоящую из двухэтапов: во-первых, для выявления ошибки проводится коллективное из­мерение, а во-вторых, для ее исправления осуществляется обусловленноерезультатом измерения унитарное преобразование. Эта точка зрения имеетмного достоинств.

В частности, именно процедура квантового измерения,по-видимому, позволяет укротить континуум возможных ошибок, посколь­ку измерение проецирует поврежденное состояние на один из дискретногомножества результатов, для каждого из которых существует инструкция повосстановлению. Но в действительности измерение-не самый важныйэтап процесса коррекции квантовых ошибок.

Конечно, супереператор вос­становления(7 .31)может рассматриваться как ортогональное преобразова­ние, действующее на кодовый блок и служебный кубит. Этот супереператорможет описыватьследующее за унитарнымоператором измерение,еслимы представим, что служебный кубит подвергается ортогональному изме­рению, но измерение не является необходимым.В отсутствие измерения мы можем взглянуть с другой стороны на до­стигаемое в процессе восстановления обращение декогерентизации. Когдакодовый блок взаимодействует с окружением, он запутывается с ним. В ре­зультате неймановская энтропия окружения (как и энтропия кодового бло­ка) возрастает.

Если мы не в состоянии управлять окружением, то ростего энтропии никогда не будет обращен; почему в таком случае возможнакоррекция квантовых ошибок? Предоставляемый уравнением(7 .31)ответсостоит в том, что мы можем применить унитарное преобразование к ин­формации и служебному кубиту, которыми мы действительно управляем.Если критерии коррекции квантовых ошибок удовлетворены, то можно вы­брать унитарное преобразование, позволяющее запутывание информациис окружением трансформировать в запутывание служебного кубита с окру­жением, восстанавливая тем самым чистоту информации, как это показанона рисунке.00окружениесистемабезКККО0окружение0 кубитслужебный m~®~U)'Qj0системасКККО22ГЛАВА 7В то время как измерение не является обязательной составной частьюпроцедуры коррекции ошибок, служебный кубит абсолютно необходим.

Ониграет роль депозитария для энтропии, вносимой в кодовый блок ошибка­ми- он «разогревается», тогда как информация «охлаждается». Если мыдолжны в течение длительного времени продолжать защиту квантовой ин­формации, хранящейся в квантовой памяти, то для этой цели необходимоналадить непрерывную поставку служебных кубитов, которые можно от­брасывать после использования.

Если же служебный кубит используетсяповторно, то для этого он должен быть предварительно очищен. Как об­суждалось в первой главе, удаление является диссипативным процессом.Следовательно, согласно принципам термодинамики, коррекция (кванто­вых) ошибок требует энергетических затрат. Ошибки являются причинойпроникиовения энтропии в информацию. С помощью обратимого процес­са эту энтропию можно перенести на служебный кубит, но для того чтобыоткачать ее из служебного кубита и вернуть в окружающую среду, необхо­димо совершить определенную работу.Некоторые основные свойства КККО7.3.7.3.1.РасстояниеГоворят, что квантовый код является двоичным, если он может бытьпредставлен на языке кубитов.

Свежие статьи
Популярно сейчас