Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 52

Следовательно.ecJrn:найти способ выделить k' = njS(pл)то мы знаем, что Е= S(p А).nJ]пар Бема измы можемкопий /v)лв•Чтобы прошыюстрировать плотность запутывания, представим, чтоАлиса и Боб имеютnкопий частично запутанного чистого состояния двухкубитов:/Ф(О))лв =cosO/OO)+sin0/11).(5.203)(Подобным образом можно записать любое бинарное чистое состояние, ес­ли выбрать базис Шмидта и подходящее соглашение относительно фазы.)То есть Алиса и Боб делят состояние(/'Ф(О))лв)n= (cos0/00)+ sinO/Щ)n.(5.204)Пус1Ъ теперь Алиса (или Боб) выполняет лоющьное иреобразование ее(его)nкубитов.

Алиса измеряет вдоль осиzполный спин ееnкубитовn(Тtota]З,А-- ~L.....t·i=luiЗ,А·(5.205)5.5. ПЛОТПОСТЪ ЗАНУТЫВАНИЯГлавнойчертой зтого измерения271имяется его «грубость». HaбJIIQllae­мaя и1о~аi является сильно вырождеююй. Алиса проецирует состояние ееnспивав' на одно из больших собственных пространств зтой наблюдаемой.Она не измеряет спин каждого кубита~ фактически она старается не полу­чить никакой другой информации, кроме значения u~~1al, или, что эквива­лентно, количества ориентированных «вверХ)> спинов.ЕсJш мы разложим(5.204},100 получим всего2"слагаемых.

Срединих -- ( ;~) слагаемых, в которых ровно m из имеющихся у Алисы куби­+тон имеют значение 1. Каждое из зтих слагаемых содержит коэффициент(С(" B)n-m (sin е)т. Таким образом, вероятность того, что измерение Алисыобнаружит т направленных «вверх» спинов, равна(5.206)Более того, если она получила этот результат, то ее измерение приготови­ло равнавзвешенную суперпозицию всех(;) состояний, имеющих rn ори­ентированных «Вверх» спинов.

(Конечно, поскольку спины Алисы и Бобаидеально скорроill!JЮваны, то если бы Боб измерил о-~~1· 1 , то он получилбы точно такой же, как и Алиса, результат. А~ыернативно о своем резуль­тате Алиса моша бы доложить Бобу в классическом сообщении и тем са­мым избавить его от хлопот выполнять измерение самому.) Нсзависимо отрезультата измерения Алиса и Боб теперь делят новое состояние IФ') л в,в котором все венулевые собственные значения рА_ (и Р'в) равны.При большомn распределениевероятностей Р( m) в(5.206) имеет рез­кий ПИК- ВСJЮЯТНОСТЬ бЛИЗКа К СДИНИЦе, КОГда mjn блИЗКО К sin 2 8 И(5.207)где Н (р) = -р log рр) log( 1 - р) - функция энтропии. То есть с ве­1 -Е, поделенное теперь между Алисой и Бобомзапутанное состояние имеет число Шмидта ( ~.), удовлетворяющее- (1 -роятностью, большей чем(5208)Теперь kшса и Боб хотят превратить поделенное ими запу[ываниев стандартную пару Белла IФ+).

Это было бы просто, если бы чисJЮ Шмид­та их максима.1ьно запутанного состояния оказалось степенью двойки. То­гда Алиса и Боб могли бы выполнить унитарное преобразованне, котороеГЛАВА2725персвело бы 2k -мерный носитс.'IЬ его/ее матрицы плотности в гильбертонопространствоk кубитоn, а затем они могли бы oropocиn, остаnж их куби­k пар были бы максима:тьно запутанными.Конечно, ( ~) не обязано бьпъ близким к степени двух. Но если Алисаюн.

Тоr;щ ос·гавленные имии Боб раздслИJШ множество парrnй изnкопий частично запутанного состо­яния. то они моrут концентрировать запутывание в каж;Фй партии. Послетакой обработки1!партий они получат максимально запутанное состояниес числом Шмидта(5.209)где каждое m., как правило, близко к nsin 2 8.

Для moбOio с > О найдет­ся некоторое 1! такое, чm это число Illмидта в мнечном счете окажетсяблизким к степени двух(5.210)При .зтих ус.;ювиях Алиса и..1И Боб могут выполнить измерение. котороепытается проецировать носитепь ра1мсрностиz>, (1 + о)е1 о/ее матрицыплотности иа подnространство размерности zk,' достигая цели с веро­ятностью 1 - t:. Затедt они переводят носите!!ь в гильбертоно простран­ствоk, кубитов и оrорасьшают остаток их кубиюв. Обычно k, близкок nt H(sin 2 е), так ЧТО с близкой к единице вероятностью успеха .ОНИ вы­делят около H(siп 2 О) максимадьно запутанных пар из каждого частичнозапутанного состояния.Конечно. несмотря на то, чrо количество ориснпqюванных вверх спи­нов, которые Лс<иса (или Боб) находит в своем измерении, обычно б;JИЗКО2к nsin О, оно может флукrуиро~ать около этою значения. Иногда, еслипове1ет, они смОiут выделюъ бо;Iьше, чем H(sin 2 0), пар БeJL1a на 01\Ryкопию I'Ф( В)) л в. Но всроялюсть такого существенно лучшею результатапрепебрежимо ма.:-ш приn--+ со.Эти рассуждения легко распро("--граняются на бинарные чистые сосiu­яния в более широких гильберrовых пространствах.

Бинарное чистое со­стояние с числом Шмидтаs может быть представлено в базисе IПмидтакак(5.211)Тоща Алиса (шrn Боб) может измерить по.1ное число векторов 11), нолносчисло векторов 12) и так далее в имеющемся в ее (em) распоряжении со­стоянии ( lt') л в)". Ес:rи она (он) находит m 1 векторов 11 ), m 2 векюров 12)5.5. ПЛОТНОСТЬ ЗАПУТЬШАНИЯ273и т. д., тогда ее (e1u) измерение готовит максимально .запутанное состояниес числом Шмидта(5.212)При бот.ших т Алиса обычно будет находитьm, ~ ja,j n2(5.213)и, следоватеш.но,(5.214)где(5.215)\1f)Таким образом, из n копий состоянияАВ асимптотичсски приможет быть выделено близкое к S(pA) количество пар Беmш.5.5.1.n _____".ооЗапутывание смешанного состоянияМы наШJШ хорошо мотивированный и однозначный способ коШIЧе­ствснного описания запутывания бинарного чистого состояния= S(рл).

где1',1;) АВ:Е=(5.216)Значительный интерес также представляет количественное описание запу­ТЪiвания бинарного смешанного состояния. К сожалению, запутывание сме­шанного состояния не так хорошо поняrо, как запутывание чистого состо­яния, и является предметом текущих исследований.Допустим, что р АВ -- поделенное Алисой и Бобом смешанное состо­яние и что они имеютnидентичных копий этого состояния. Предположимтакже, что, исnоJiьзуя пока.пьные операции и классические средства связи,Алиса и Боб могут приготовить (р Ав) n из k пар Белна с асимптотически(при n --> оо) хорошей rочностью воспроизведения и вьrсо.rrой вероятно­стью успеха. ОпредеJШм Р -запутывание формирования р АВ как.kminF( РАЕ ) = 1lffi п-·(5.217)п~=Далее, предположим.

что Алиса и Боб могут использо11ать ;юка.'IЬные опе­рации и кнассическую связь. чтобы выделитьk'нар Белла изnкопий р лв·274ГЛАВА 5ОпределимD -:тпутывапие выделения р л в как(5.218)Для чистых состояний мы напuшстояний явные общие формулы дляDV= Е =F.Но ~я смешанных со~или Р нек1вестны. Поскольку запу­тывание не может создаваться локально, мы знаем, что D :::;; F', по (по со­стоянию на январь 1998 г.) не известно, выполняется Jlli равенство D --:---::: }'_ Однако имеются сильные подозрения, что ;щя смешанных состоя­ний D< F. Чтобы приготовить смешанное состояние (РАв уп и--1 чистого(IФ+)лв лв(Ф+I)k, мы должны пренебречь искоторой квантовой информа­писй.

Было бы уi\ИВительно, если бы этот процесс оказался (асимптотичс­ски) обратимым.Полезно различать два разных типа запутывания выделения. IJ 1 обо­значает количество пар Белла, которые могут быть выделены, если раз­решена только односторонняя Юiассичсская снязь (например, Алиса мо­жет посылать сообщения Бобу, но не может получать сообщения отнего).

D2 = D обозначает запутывание выделения, ec_;rn классическая связьничем не оrрашrчена. Известно, что для некоторых смешанных состоя­lШЙний1J 1 < D 2 и, следовательно, D 1= D 2 = F).< F(тшда как д.ая чистых состоя­D1Одной из причип интереса к .запутыванию смешанных состояний(и, в частности, кD 1 ) явля-ется еп> связь с передачей квантовой инфор­мющи через квантовые каналы с шумом. Если в IШантовом кана..1е снязи,описываемом сунероператором$, уровень шума песлишко.н высок, то мож­но построить п-буквенный блоковый код такой, что квантовая информацияможет быть закодирована, послана через канал($)n, декодирована и вос­n ~ оо. Оптимальноепроизведена со сколь угодно высокой точностью прикодячество закодированных кубитов на одну букву, которое может бытьпослано чере1 канал, называется емкостью квантовоtо канаJiа С($).

Оказы­вается, что С($) может бып. связана с D 1 частного смешанного состояния,связанного с каналом,-по мы пока отложим да.пьнейшее обсуждение ем­кости квантового канала.5.6.РезюмеЭнтропия Шеинона и сжатие классических данных. Эн.тропияШеинона апс1t"бня Х ~ {х,р(х)} равна Н(Х)=-(logp(x));она коли­чсственfю определяет сжимаемость юiассической информации.

Сообп~ение5.6. РЕЗЮМЕ275длиной вn букв, каждая буква которого нсзависимо и:щлекается из Х,может бып, сжато до Н (Х) на одну букву (но не более) и, несмотря наэто, вес же может бытr.·дскодировано со сколь уrодно высокой точностьюпри п -Jo оо.Взаимная информация и емкость классического канала свя1и. Вза­имная информацияI(X; У)Н(Х)=tН(У)-Н(Х, У) код!IЧественноопределяет, насколько коррелированы ансамбли Х и У; если мы уJНаемзначение у, то приобретаем (в среднем)I(X;Y)битов информации об х.Емкость классического шумящеrо канала связи без uамяти равна С --=-= ПlаХ{р(т)}I(X; У).Это максимальное количество битов на одну букву,k"Оторое может быть передано через канал (используя наилучший возмож­ный код) с пренебрсжимо малой вероятностью ошибки nри n ~ оо.Энтропия ф011 Неймана, н•• Формация Холево и сжатие квантовыхданных. Эитропи.я фон Ней..«аиа матряды мотиости р равнаS(p)а информация Халева ансамбляx(t:)~-trplogp,(5.219)t: ~ {Р"Рх} квантовых состояний равна~ S ( ~Р,Рх) - ~p,S(px)(5.220)~)нтропия фон Пеймана количественно онре,1,е.'IЯСТ сжимаемость ансамблячистых квантовых состояний.

Сообщение щшной вnбукв, каждая буквакоторого независи~о извлекается из ансамбля {l~:r) 1 P.z }, может быть сжа­то до S(p) кубитов на одну букву (но не более) и, несм01ря на это, всеже может быть декоii.ировано со сколь ую;що uысокой точностью носнро­изведения приn .....,.ос. Ес.~и буквы изв..1екаются из ансамб.,ття[смешанныхквантовых состояний, то невозможно cжarn:e с высокой точностью воспро­изведения до менее че"x(t:)кубитов на одну буКRу.Дос-rупная информация.

Доступная информация ансамб.:шt:кван­товых состояний nреJ~ставляет собой максимальное количество битов ин­формации, котuрое (в срс.L(нем) можно но:тучить о приготовдепии сосrоя­ния с помощt.ю наи~'I)'Чmего возможного измерения. Дос1)'Пная информа­ция не может прсю,Iсить инфор"ацию Холсво ансамбля. Можно построитьтакой п-буквенный код, чm частный анса"бль каждой буквы будет (iтизоккt:, а дОС'fУПная информация на одну букву , к х(Е).

Емкость квантового$ по отношению к факторизуемым сосmяниям равнаканала связиС($) =m:xx($(t:)).(5.221)!'ЛАВА 5276Jто максимальное количество классических битов на одну букву, котороеможет быть передано через кван1овый канад с пренсбрежимо ма.. юй ве­рояrnостью ошибки приn---+ оо при условии, что каждое кодовое словоявляется тензuрным произведением букв-состояний.Плотность запутывания. Запутывание Е бинарнш-о чистого сосrо­яния 11/!)лв равна Е= 8(рл). где Рл ~ tr 8 (11/!)лв лв(ФI).

С помощьюлокальных операций и классичесmх средств связи можно пршотовитьnкопий IФ) АВ из пЕ (но не из чутъ меньшего количества) пар Белла, а такжеможно выделить nE (но не больше) пар Белла из n копий IФ) Ав (асимпто­тически при5.7.5.1.n......j.оо ).УпражненияРазличимость неортогональных состояний. Алиса приготовила одинкубит в одном из двух (пеортоmнальных) состоянийlv)=cos~)(5,222),( sin iJ_2где О<8<1r.Бобу известно значение е, но он не знает, приготови­ла Алиса lи) юrnlv),и ему нужно выполнить измерение, чтобы какможно больше узнать о приготовленном Алисой состоянии.Боб рассматривает три возможных измерения.а) Ортогональное измерение сЕ1 =Ju)(uJ,Е 2 ~ 1-Ju)(иl.(5.223)(В этом случае, ес::tи Боб получит результат 2, то он будет знать,что Алиса должна была приготовитьlv),)Ь) ПОЗМ с тремя исходамиF1 = A(l-lи)(uJ),F 3 = (1- 2A)lF 2 ~ A(l-Jv)(vl),+A(lu)(иl + lv)(vl),(5.224)где А имеет максимальное совместимое с положитс.1ыюстьюF3значение.