Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(В эwм случае Боб однозначно опре11,елит приготовленное состояние, если получит результатузнает из результата3,)lИШl2,но ничего не5.7. УПРАЖНi:НИЯ277с) Ортогонал.ьнос измерение сЕ1=Jш)(шJ,гдеJw)=Е 2 = 1-Jw)(шJ,(cos[H~+~)] )·(5.225)(5.226)sin[H~+~)](В этом СJ1учае Е 1 и Е 2 представляют собой проекторы на спиноные состояния, ориентированные в плоскости ОХ Z нерпендикулярно оси, напранленной вдо.1ь биссектрисы угла междуи Jv).)Найдите среднюю информалиюI(B),1")приобретаемую Бобом (взаимную информацию между приrотоюенным состоянием и результатомизмерения) во всех трех С::Iучаях, и изобразите графики всех их, какфункций О.
какое измерение следует выбрать Бобу?5.2.Отвосптельнаи энтропии. Относительная энтропияS(p\u)двух матrшн nшУпюсти р и и rшределяется соотношениемS(pju)Покажите, чтоS(pju)=tr р( log р -logu).(5.227)нсотрицате.1Ьна, и выве;цпе некоторые следствия зто1u свойства.а) Дифференцируемая вещественная функция вещественной переменной называется вогнутой, есJШ для всех х и уf(y)- f(x),::; (у -x)f'(x).По кажите. ч ю ес:ш а и Ь-наб.тюдаемые, аf - вогнутая, тоtr [J(b)- /(а)] ( tr [(Ь- a)f'(a)]Ь) Покажите, чтоf(x)~-xlogx(5.228)(5.229)яюяется вогнутой функцией прих >О.с) Используя (а) и (Ь), покажите, чтоS(p\u)~ О для ::~юбых двухматриц IL""IОТНОСТИ р И О".d) Используя нсоiрицате:~ыюсть S(pju), покажите, что если р и>tеетноситель .в нространствс размерности8(р)D,,::; log D.то(5230)278ГЛАВА 5е) Иснользуя неотрицательность относительной энтропии, докажитесубаддuтuвность ЭRТJЮПИИ(5.231)[Указание.Рассмо1ритеотносительную энтропиюРА0Рви РАв-Jf) Используя субад;:~.итивиость, докажите вогнутость энтропии(5.232)где л,--вещественные положительные числа, сумма которых равна единице.
(Указание. Применяте свойство субаддитивности кРАв = 2,=-',(Р,)л ® (je,)(e,i)в-]g)(5.233)Используя свойство субаддитивности, докюкm'е неравеш:тво треугольника (также называемое вераш.:нством Араки-Либа):(5.234)[Указание. Рассмотрите очищение РА.в: то сеть постройте чистоесостояние 1>/>)Авс такое, что РАБ= trc (IV>)Aвc лвс\>1>1)- Затемnрименяте свойство субаддитинности к Рве-]5.3. Монотопиость Лиuдблада- Ульмана.Сошасно теореме, доказаннойЛипдбладом н Ульманом, относительная ЭНТ]ЮПИЯ на Н лдает свойством, называемым монотоююстью0Н 11 обла(5.235)Относительная энтропия двух матриц плотности системы АВ не может быть меньше, чем редуцированная относителышя энтропия подсистемы А.а) Используя монотонность Линдблада-Ульмана, докажите свойство сильной субаддитивности энТ]Юпии фон Неймана. [Указание.
Рассмотрите относительную энтропию Рл ® Ряс и РАвсв тройной системе АВС.]5. 7. УПРАЖНЕНИЯЬ) Используя монотонность Линдблада-279Ульмана, покажите, что действие супероператора не может увеличить относительную энтропию, то естьS($pl$o-) ( S(pio-),где $ -(5.236)пrюизпо.'IЬный супероператор (вnолне положительносотображение). [Указание. Вспомните, что произвольиый сунероператор имеет унитарное лредставление.]с) Покажите, что из (Ь) вытекает, что суперонеращр не может увеличивать информацию Холево ансамблясостояний:х($(Е))S~ {Рх>Рх} смешанных,;; х(Е),(5.237)гдех(Е) ~ s(LPxPx)- LPxS(p,).(5.238)х"5.4.
ПОЗМ Переса-Вутерса. Рассмотрите источник информации Переса-- Вутсрса, описанный в § 5.4.2. Оп приготавливает одно и:J трех состоянийа--=1,2, 3,каждое из которых появляется с априорной вероятностьюсrоя!lИя I:PJ определены в (5.149).(5.239)1/3, где соа) Выразите матрицу плотностиР= ~L IФа)(Фаl(5.240)ав базисе Бедла максималъно запутанных состояний {IФ±), IФ+)}и вычислитеS(p).Ь) Д,1Я трех вектороввIФJ,(5. 162) «достаточноа~1, 2, 3постройте определенноехорошее измерение».
(Вновь ра.зпожите векторы IФ а) в базисе Бед.1а.) в этом случае дхи ЯВдЯСТСЯ ортогональным ;;змерением. Выразите элементы базиса ДХИ в базисеБелл.с) Вычис,1ите взаимную информацию результатов ДХИ и пригоrовления сосrояний.ГЛАВА6Квантовые вычисления6.1.Классическне (вы•шслительные) схемыllпервой главе бьто введено понятие квантового компьютера.
Здесьмы более С'IрОГО опредеJШМ модель квантовых вычислений и отмстим еенекоторые основные свойства. Но преЖ/\С чем объяснять, что делает квантовый компьютер~ возможно, с~·,едовало бы наговорить о ·юм, что делаетклассический компьютер.6.1.1.УннверсаJII,.ные вентилиКлассический (детерминистский) компьютер вычисляет функции: по)щннымnбитам на входе оп производитrnби1ов на выхо;tе, которые однозначно Ollpc;~c;Jeны входом. То есть он находит :шачениеf: {0,1}" __. {0,1}"'для опреде:IеннОiо, сос·rоящего изn(6.1)би1ои, аргумента. Функция, имеющаят-битовое значение, зквива.J-тентна т функпиям с О!l.нобитовым значениемкаждая, поэrому вполне можно с~ать, чrо основной за,rщчсй, выпошiяемой Iс:rассическим компьютером~ явля.ется вычислениеf:{0, 1}" ~ {0, 1}.Петрудно nодсчитать КОJD!Чес·тnо таких фунщий. Су.ществует(6.2)2"возможных вхопов, и для каждшо из них имеется два возможных выхода.
Итак,всего имеется 2 2 "' функций, переводящих n битов в один.Вычисление :Jюбой та:кой функции можно свести к rюследовате:IЬности элементарных логических 011ераций. Ра:ще.:шм во.Dюжные значениявхода(6.3)2816.1. КЛАССИЧU:КИЕ (ВЫЧИС1IП Г:ЛЬНЫЕ} СХЕМЫf (х)на множество значений, д.;"IЯ которых= 1, и дополнительное ему множество, для которого f(x) =О. Д;rn каждого х(а) такого, что f(x(a)) ~ 1,рассмотрим функцию t\•1 такую, чтоf(a)(x) = { 1,О,хх=Х(а),(64)# х(а).Тогда(6.5)f -.1огичсское OR (V) всех фуищий j(•) В двоичной арифметике двухбиrовая операцияV может бытьпредставлена как(6.6)xVy=x-1-y-x·y;она имеет значение О, если х и у оба равны нулю, и значение1впротивномслучае.Рассмотрим вычисление j(a) В том С;lУЧае, когда х(•) = 111 .
. 1,мы можем зшшсать(6.7)это логическоеAND(Л) всехnбитов. В двоичной арифметикеANDпредставляет собой произведение(6.8)хЛу:.....:х·у.Для любо1u друl\JЮ х(а) функция f(a) вновь строится как логическое~"'D n битов, в котором к каждому равному ну.IЮ х)") предварительнопри.,.еняется операция ;юшчсскоrо >;ОТ( •),например:(6.9)еслих(а) = 0110 ....Логическая операцияNOTв двоичной арифметике представляется какоХ=Мы построили функциюношений: "'ОТ,A.'-'D, OR.(6.10)!( х)1-Х.(6.1 1)И'! трех Э:Iементарных ,1огических отПолученное выражение(6.5)на-'Ьrвается <<дизъюшсrивной нормапьной формой» f(x). :Мы такженеявно использовали ещеодну операцию, СОРУ, преврашающую один бит в два:СОРУ:х --> хх.(6.12)ГЛАНА 6282Операция СОРУ необходима, поскольку каждая t(•) в разложенииfнодизъюнктивным нормальным формам требует свою собственную копию х,на ко·юрую она будет действовать.ФаiсrИЧески мы можем сократить набор элементарных погических отношений до меньшего.
Определим оперщиюсоотNAND («NOT-AND>>)ношением(6.13)В двоичной арифметике операциейхi:-IANDу=1- х. у.Ес.;1и мы можем выполнять СОРУ, тонолнення операцииec:mNAND(6.14)можно исполь:ювать д.;IЯ выNOT:х(Идислужитf х о=1 - х2=-1 - х = -.х,мы можем приготовить констан-,у у =1,(6.15)тогда хi 1= 1-х ~~ ~х.) Аналогично(хiу)1 (х iу)= ~(х1 у)= 1- (1- х ·у)-~ х ·у= х Л у,(6.16)а(xj х)1 (у iу)=(~х) j (~y)=1-(1-x)-(1-y)~x+y-x-y=xVy. (6.17)Итак, если мы можем выполнять СОРУ, тоNAND вьmолняет AND и OR.NAND вместе с СОРУ доТаким образом, одного логическоrо отношениястаточно д;IЯ вычисления любой фунщииf.[Вы можете убедиться в том,что возможной альтернативой в вь1боре универсального логическоrо отношения яв;IЯется NOR («NOT-OR»): 11 у= ~(х Vy) =х(~х) Л (~у).)Если мы можем приготовить пос1оянный бит (х..:::(6.18)О или х =l), токоличество з:Iементарных операций может быть сокращено с двух до одной.ОперацияNAND/NOT(х,у) ~ (1-х,1-х-у)-----,,-----------(6.19)1Обратнм внимание на то, что вторые равенства в (6.13) и (6.18) фШ<тнческн явлкютсяследствиями известною в теории мnож:есm 11ринципа Овойстветюсти:сеqсния равно сумме дополнений и(2)( 1) ДоnолнениеIIереДополнение суммы равно пересечению дополнений.См., иаиример, А.Н.
Колмогоров, С.В. Фомин, Эле;иеJ<mЫ теории фующий и фуикциональногоаналюа, М.: Наука,]976. -Прим. ред.6.1. КЛАССИЧ.F.СКИЕ (ВЫЧИСЛИlЪЛЬНЫЕ) СХЕМЫвычисляетNAND283(если мы игнорируем первый выхолящнй бит) и спимает КОIIИЮ (ес.ж возьмем в качестве второго входящего бита у =1,а затем применим NOT к обоим выходящим битам)'. Таким образом, можноска::~ать, чтоNAND/NOTяв.:"IЯется униперса.пьным. югическимвентилем.Если в нашем распоряжении имеется запас постоянных битов, а nснтилиNAND/NOTмогут примсшf[ься к тобой выбранной паре вхолящнх битов,то мы можем выполнить последоватс;Iьность операпийчисления любой функциих = х х1 2 •..
Xn.f: {0, J }n -> {0, 1} приNAND!NOT д:твылюбом значении входаЭтими соображениями мотивируется модель вычислительной схемы.Компьютер имеет несколько основных ком:понснrов, которые могуr вьmолнять 3лементарные операции с битами ипи парами битов, такие как СОРУ,NOT, AND, OR.Он также может гоювить постоянные биты или входящиепеременньJС биты. Вычисление представляет собой конечную последоватсльнос1ь таких операций,схему, tiрименясмую к точно опрс.аеленной строке входящих битов 2 . Результаrом вычисления ЯfШЯется конечноезначение всех битов, оставшихся после выпоJШ.ения всех элементарныхопераций.То, что для вычис;Iсния любой функции, зависящей от конечного входа, достаточно лишь нескольких элементарных операций, является фундаментальным результаюм теории вычислений.
Он означает, что с помощыоочень простых armaparnыx средств можно выполнять сколь угодно с;южные вычисления.До сих пор мы обсужда.;:m вычисления, применяющиеся к частномуфиксированному входу, но можно рассматривать и семейства схем, действующих на входы переменной длины. Семейства схем предоставляютполезную модель для анализа и классификации сло:ж:ности вычис.пспий,кuторая будет естественным образом обобщена, I<Orдa мы обратимся к кванrовым вычислениям.6.1.2.Сложиость схе.\1Исследуя сложностr,, мы часш будем интересоваться функпиями с о.1ноби1овым выходомf: {O,J}"-> {0,1}.(6.20)О такой функцнн f можно ска.~ать, что она кодирует решение <<nроблемыПрИНЯТИЯ решения>> · функция проверяет ВХО;! И Выдает ОТВСТ ДА ИJIИ НПТ.1Можuо предложить более rqюcryю реализацию операции СОРУ пуrем последовательною применении веитиля NЛ,'ID/NOT: {х, О) ~{!- x,l)~ (х,1- {!-х).1) ~ (х,х).Лрим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
