Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 45

Таким образом, теория квантовойинформации в значитеm~пой мере занимается интерпретацией и применс­ниями энтропии фон Неймана, подобно rому как к:тассическая теория ин­формации главным образом занимает~я интерпретацией и применениямиэнтропии Шеннона.Фактически необходимый д.LЯ развития кванiuвой теории информа­пии математический аппарат оченr, похож на математику Шеинона (типич­ные rюс.:rедовательности, случайное кодирование, ... ); похож :настолько, чmвременами скрывается то, что н концептуальном плане они на самом i1С­ле весьма различны. Цсн1ральной проблемой квантовой теории информа­ции является то, что нсор·rоrональные чистые квантовые состонпия нель­зя идеально различитьособенность, не имеющая юшссического ана­Jюr·а.5-2.1.

Математические свойства S(p)Имеется несколько часто испо,1ьзуемых свойств 8(р) [мпогие из кото­рых являются близкими апалогами свойств/f(X)].Ниже я привожу списокнекоторых из этих с1юйств. Большей частью их доказательства не сложны(заметвым исключением является доказате:1ьство сильной субаддитивно­сти) и включены в упражнения в конце ПJаRы 1 .(l) Чистота.

Чистое состояние р = I'P) ('PI имеет 8(р) ~О.(2)Инвариантность. Энтропия не изменяется нри унитарных преобразо­ватtиях базиса(5.47)1Некоторые доказательства можiю также найти н обзоре А. Wehrl, Genera/ Properties ofRntropy, Rev. Mod. Ph.ys. 50,221 (1978); или в главе 9 книги А. Peres, Quantum Тheor/: Concepta.nd Melhods, Кlu'-''er Лcademic PuЫishers, New York et al 2002. [Подробное обсуждение ма­тематичсскю..

(.:iJUЙств ·япропии фQн Пеймана можно найти в книге М. IIиJiъccн, И. Чанг,КванmоRЫ<' вычисления и квантовая информация, \1.: Мир, 2006. ~ Прим. ред.]230ГллnлЭто очевидно, поскольку5зависит только от собственных значе­S(p)ний р.(3)Максимум. Если р имеетиенулевых собственных значений, 10DS(p) "'log D,(5.48)где равенство достигается, когда все иенулевые собственные значенияравны между собой. (Энтропия максимальна, когда квантовые состоя­ния ратювероятны.)(4)Вогнутость. Для Л 1 , Л 2 , .. _ Лп ;:"О и Л 1+ Л 2 + ... + Лп =JS(Л 1 р 1 +Л 2 р 2 + ..

+ЛпРп)) Л,S(р 1 )+Л,S(р 2 ) \ ..• .\пS(рп)-(5.49)То есть энтропия фон Неймана тем больше, чем нам _;wеньше известноо том, как было nриrотовлено состояние. Э1о свойстRо является с:,сд­ствием выпуклости логарифмической фунщии.(5)Энтропия измерения. Предпо.1ожим, что в состоянии р измеряетсянабшодаемаяА=L /ay)a.(ayi,(5.50)утак что результат а11поЯiыяется с вероятностьюр(ау) ~(a.lp/ay)-(5.51)Тоща энтропия Шеинона ансамбпя всех исходов измерения У== { а•, р( а•)} удовлетворяетН(У)) S(p),(5 52)где равенство л:остигается для коммутирующих А и р. Математическиото утверждение означает, ч-rо"любом базисеS(p)возрастает призамене нулями всех недиагональных матричных элеменmв р. Физиче­ски зто означае1~ что случайность результата измерения минимизуется,если выбирается измерение наблюдаемой, коммутирующей с матрицейплотности.

Но если мы измеряем «плохую» наблюдаемую, то результатбудет менее предсказуем.(6) Энтропия приготовления. Если чистое состояние случайным обра­зом извлекается из ансамбля{i'Px),р,}, так что матрица юотностиравна(5.53)·"5.2. ЭНТРОПИЯ ФОН НЕЙМАНА231тоН(У)где равенстно достигается,ec;m;:;, S(p),(5.54)сигнальные состояния /)Ох) взаим­но ортогона.~Iьны. Это утверждение указывает на то, что персмеши­вание неортоrоналъных чистых состояний ведет к потере paзлuчUМfJ­cmu.[Мы не можем полнос1ъю восстановюъ информацию о юм, какоесостояние бьmо нриrотовлено, поскольку, как мы обсудим позже. до­стижимый при выполнении измерения прирост информации не можетпревзойтиS(p).](7) Субаддитивность.

Рассмотрим бинарную систему А В в состоянии р АВ.Тогда(5.55)где Рл = tr 8 Рлв• Рв ·с trл Рлв• а равенство достигается при Рлв =р А 0 р 8 . Таким образом, энтропия аддитu6На для некоррелиро­=ванных систем, н. противном случае энтропия всей системы меныuесуммы знтроний ее частей. Это соойстоо является аналогом свойстваэнтропии ШеинонаII(X,Y)~ll(X)+ II(Y),(5.56)(или I(X; У)) О); оно имеет место, поскольку пекоторая информацияв ХУ (или АВ) закодирована в корреляциях между Х и У (А и R).Сильная субаддитивносп•.

Для любого состояния р лвс трехкомпо­(8)нентной системыS(Рлвс)+ S(рв)~ S(РАв)+ S(Рвс).(5.57)Это свойство называется «сильной» субаддитивностью, поскольку оносводится к (обычной) субаддитивиости в случае одномерной Н. До­казательство соответствующего свойства энтропии Шеинона довольнопросто, однако для энтропии фон Неймаиа оно оказывается иа удив­ление трудным 1 . Свойство сильной субающтивпости легче запомнить,если интерпретировюъ его следующим образом: АВ и ВС можно рас­сматривать как две перекрывающиеся подсистемы.

Энтропия их обь­единения (АВС) плюс зитропия их пересечения (В) не превышает1Набросок доха·~льствu СИ.'!hНОЙ суGа:дднtиБIIОСПl эиrропми фон Нейм:ана приведеив статье А.Wehrl, General Properties of Entropy, Rcv. Mod. Phys. 50, 221 (1978);[На русскомязыке см. М. Ни::~ъсен, И. Чанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, М.: Мир,2006.~-Прw.. ред.]ГЛАВА 5232сумму энтропий подсистем (АВ и НС).

Мы увидим, что сильная суб­аддитивность имеет глубокие и важные следствия.(9)Неравенство треуголLнвка (Неравепство Аракн-Лвба), /~ля бинар­ной системы(5.58)Перавенство треуrольника резко контрастируст с аналогичным сной­ством энтропии ПiеннонаН(К У);" Н(Х), Н(У)(5.59)ИJIИH(XIY), H(YIX)?О.(5.60)Энтропия Шеинона классической бинарной системы прсвосходит эн­тропию Шеинона тобой се части- вовсей системе содержится боль­ше информации о ней, нежели в ее части! Но эrо не так для энтро­пии фон Неймана.

В предет.ном случае бинарного чистого квантовогосостояния мы имеем S(p.4 ) = S(рв) (не равные нулю, если состоя­ние запутано), в то оремя как S(P.;R) =О. Бинарное состояние опре­цс.il'снпым образом приготовлено, но еспи мы измеряем наблюдаемыераз..1ичных подсистем, то результаты и1мерений с неизбежностью ста­новятся случайными и непредсказуемыми . .Мы не можем ра1личить,как было 11рш-отовлено состояние, наблюдая две подсистемы отдель­но, поско.'Iьку информация закодирована скорее в вслока.rн,.ных кван­товых коррслятщях. Сопоставление положительности условной энтро­пии lllсннона (н классическом случае) с перавеяством треуrо.1ьника(в квантовом случае) за.\fечатенr.но характеризует к.rючсвос различиемежду квантовой и классической информапией.5.2.2.Энтропия и термодиоа'dикаКонечно, понятие энтропии внсрвые было введено в науку в термо­динамике. Здесь я нсналоiП'О отвлекусь на некоторые термодина."\оtическиепри.1ожения математических соойствS(p).Существует два различных (но связанных межлу собой) оозможныхподхода к основаниям кванrовой статистической физики.

В первом мырассматриваем эволюцию изо:тированной (замкнутой) квантовой системы,но произнодим неко10рое сглаживание(coarse graining),чтобы опрелс­лить термодинамические переменные. Во втором: подходе, который, воз­можно, физически бонее мотивирован, мы рассматриваем открытую систе-5.2. ЭНТРОПИЯ ФОН НЕЙМАНА233му, квантовую систему в контакте с окружением, и следим за ее эволюцией,не контролируя окружение.Дriя открытой системы определяющим математическим свойством эн­тропии фон Неймана яюяется ее субаддитивносто. Если система (А)и окружение (Е) первоначально не корредирсваны друт с другом(5.61)то эн1рония аддитивна(5.62)Предположим теnерь, что открытая система эвошоционирует в течениенекотороm времени. Эволюция описывается унитарным опсра·юромЕ:действующим на комбинироваННУЮ систему А'РАЕ -----о~- РАЕ::.:..+u АЕРАЕ u-'АЕ'а поскольку унитарная эвоmоция сохраняетS,U АЕ•(563)то(5.64)Наконец, применим свойство субаддитивности к состояниюS(pA_E),полу­чая в результате(5.65)гнс равенство имеет место в случае, когда А и Е остаются некорреШфован­ными.

Ес;ш мы опреде;шм «полную» энтропию Вселенной как сумму эн­тропии системы и зитрепин окружения, то придем к выводу, что энтропияВселенной не может убывать. Это одна из формулировок второго законатермодинамики. Заметим, однако, чтобы вывести э1uт «закон», мы предпо­,;южили, что в 11ачальном состоянии система и окружение были не:корреди­рсваны.Обычно ЕНаимодействие системы и Оkружсния будет генерироватькорреляции, так чrо (в предположении отсутствия нача.JJЬНых корреляций)энтропия действительно будет нарастать. Вспомните из нашеrо обсужде­ния основного уравнения в§3.5, что обычно окружение быстрс юабываеn>,так что, ес.1и наше время разрешения достаточно велико, то в каждый мо­мент времени систему и окружение (фактически) можно рассматривал> как!'ЛАВА2345«первоначально>> неl('()ррелированные (мapi('()BCI('()e приближение).

В этомпредположении ((ПОЛНая» знтропия будет монотонно возрастать, асимпто­тически приб.:шжаясь к своему теоретическому максимуму, максимальномудостижимому значению,соr:~асующсмуся со всеми законами сохранения(энергии, заряда, барионного числа н т. д.).Действите.'Iьно, обычное предположение, лежащее в основании кван­товой статистическойфизики, состоит вrом. что система и окруже­ние находятся в «наиболее вероятной конфигурапии», максимизируюпrейS(рл)+ S(рв). В эщй l('()нфитурации все «дОС1)'Пные)) состояния равновс­роятны.С микроскопической точки зрения первона(rально закодированная в си­стеме информация (наша способность отличать одно начапьное состояниеот друпн-о, первоначально орrоаша..'1ь.ного, состояния) теряется; она ока­зывается закодированной в квантовом запутывании системы и окружения.В принципс эта информация мorna бы быть восстановлена, но па прахтикелокальным наб.:тюдателям это совершенно нсдоСJУПНО.

Следовательно, мь1наблюл;аем термодинамическую необратимосп•.Конечно, мы можем применить эти рассуж;\ения к большой замкну­той системе (всей Вселенной?). Мы можем раз)tелить систему на малуюее часть и остаток (окружение малой части). Тогда сумма .')Птропий311fXчастей будет неубывающей. Это частный тип сг;Jаживания. Эта часть за­мкнутой системы ведет себя подобно открытой системе, поэтому для боль­ших систем микрокаионический и канонический ансамбли статистическоймеханики дают одинаковые предсказания.5.3.Сжатие квантовых данныхЧто является кван·ювым aнa.Jiomм теоремы о кодировании бе.з шума?Рассмотрим длинное сообщение, состоящее нзnбукв, где каждая бук­ва случайным образом выбирается из ансамблв чистых состояний(5.66)а самиl'l'xl не обязательно ор-оогональны. (Например, I'Pxlможет представ­нять собой состояние поляризации одного фо-оона.) Таким образом, каждаябуква описьmается матрицей IШОrnости(5.67)х5.3.

СЖАГИЕ КВАНТОВЫХ ДАННЫХа вес сообщение целиком-- матрицейплотностир® р0 · · · 0 р.pn =235(5.68)Задади" вопрос: насколько избыточм эта квантовая информапия?Мы хотели бы придумать квантовый код, который позволит сжать сооб­щение в б<шее узкое гильбертоно nространство без нотери точности е1овоспроизведения.

Например, допустим, что у нас есть устройство кванто­вой памяти (жестЮfй диск квантового комnьютера?), и нам и~Jвестны ста­тистические свойства записанных данных (то есть мы знаем р). Сжимаяданные, мы хотим сэкономить объем памяти.Оптимальное сжатие, которое может быть достигнуто, бьшо найленоБеном Illyмaxepoм. Можете ли вы угадать ответ? НаИJ-туt-ппим возможнымсжатием, совместимым со сколь угодно высокой точностью воспроизведе­ния nри п. ~ оо является сжатие в rильбсртово пространствоlog( dim 1i)·сnS(p ).1iс(5.69)В зто" отношении энтропия фон Неймана представляет собой количествокубитов квантовой информации, нереносимых одной буквой сообщения.Например, если сообщение состоит из1u мы можем сжюъ его доза исЮJюченисм случая рт=:=nфотонных состояний поляризации,nS(p) фотонов -сжатие все1да возможно,~ 1.

(Мы не можем сжать случайные кубитыточно так же, как не можем сжать СJiучайные биты.),Цоказатс;IЬство теоремы Шумахера не составляет труда, если из~~естныи ПОI!Ятны результаты Шсннона. Большой заслугой Шумахера была пра­вильная постановка вопроса, что позволило впервые дать точную (кван­тово-) ннформационную теоретическую интерпретацию знтропии фон Ней­мана1.5.3.1.Сжатие квантовых данных: nримерПрежде чем обсуждать в общем виде протокол Шумахера сжатия кван­товых данных, полезно рассмотреть простой примср. Предположим, чтонашими буквами являются отдельные кубиты, извлекаемые из ансам.б.пяр= ~·р=!·(5. 70)'Как мы вскоре увидим, интерпретация S(p) на языке Юlarcwoerкoй информации, закоди­рованной в ква1ПОВЫХ состояниях, дей<:rвите.•JЫJО была изве\.:тна раньше.ГЛАВА 5236так что матрица плотности каждой буквы имеет видp~411,)(T,I+~IIx)(lxl==1 ( 12о)+:z] (о о1/2 1/2 )( 3/4 1/4 )1/2 1/2 =1/4 1/4 .(5.71)Как оче1~идно из симметрии, собственными состояниями р являются ~<уби­ты, ориентированные вверх и ЩШ'j вдо.пь осиn= -1-(Х + Z):IO')l l ')i)=1Т;,) = (cos'sin i ,= 1 1• \-.\.rtl~-(v'2(5.72)siнE)8.-cos ~!соответствующие им собственные значения:Л( О')=!+ - 12.\(1') =2,/2=сов 2 Е,8(5 73)l - - 1- ~ siв 2 !'.;22,/28[ОЧСВИJ\НО, ЧТО .\(0') t- .\(1') = 1, а .\(0').\(1') = 1/8 = detp).