Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Еслн она по:Jучает результат (6). то она nересы;шст 1>ofiy )и), а есJш ·- (~).то пересылает емуlv). Gтедоватеilьно, всякий раз, когда ПОЗМ Боба имеет4. 7. УПРАЖНПIИЯ209убедительный результат, Rва знает, каков он. Но вмеmательствоиызывает обнаруживаемые ошибки; иногда Боб получает «убедителыiЬJЙ)> ре:JУт~тат, который на самом: деле отличается от того,чw посылала л~шса.
Какова вероятность такой ошибки?4.6. :\'lивимадьвое возмущенИе. В упражнении 2.1 вы нееледовали игру,в которой Алиса решает наудачу (равно вероятно), какое чистое сос1оЯIШС одного кубита прш-оrовить из двух возможных:(4.134)и посылает зто состояние Бобу. Выполняя орrошнальное и..1мерсниев базнее { JO).11)},Боб может идетифнцнроватr.
состояние с минимальной вероятностью ошибки(4.135)где мы опреде:ш;т8сооnюшением(,Pj,J.)=cosO=sin(2a).(4 136)Но допустим теперь, чrо Ева хочет перехватить зто состояние, покаоно движется от А.11исы к Бобу. Как и Боб, она же~1аст извлечь оптимальную информацию, отличающую JФ) от J,P), и при этом мниимизировать вносимое ее вмешате;тьстио\f возмущение, так чтобы Алисеи Бобу бьсю невозможно заметить, что здесь что-то не так.Ева понимает, что оптимальную ПОЗМ можно осуществить с по~ющью оперюорав измеренийМ о = IФо) (OJ,(4.137)с произвольными 1\Скторами Jф 0 ) и IФ 1 ). Если Ева выполняет зто из>tерение, то Боб волучает состояниер' = cos 2 аlф 0 )(ф 0 J+ siп2аJф 1 ) (Ф 1 J,(4.138)siп <>IФo>IФol + cos2 <>IФ 1 )(ф 1 J,(4.1 39)если АlИСа послала IФ), и состояниеj"/=если Алиса послала J-<'~).2210ГЛАВА4Нва хочет, чтобы средняя точность воспроизведения nолучаемого Ьобом состояния была как можно больше.
Веnичина, коrорую она хочетминимизировать, называемая в дальнейшем «возмущением)> D, измеряет, насколько близка к единице эта средняя точность воспроизведенияIДеF=1-2(F + F),<ФIР'IФ},F = (ф[р'["f,}.D=1-(4.140)(4.141)Целью этого упражнения является проверить, насколько эффективноЕва можеть сократить возмущение с помощью подходящего выборасвоих измерителы1ых операторов.а) Покажите, Ч'П! Р + F может быть представлено в виде(4. 142)гдеА..:..::: ( 1- 2cos2 а sin о:2cos о: sin о:В~ ( 2cos2 o: sin a2со.'нх sin etcoso: sin~ )2 cos2 а sin 2 ().'(4.143)cosa sina)1 - 2 cos2 о: sin 2 а ·Ь) Покажите, что если [Ф 0 } и [Ф 1 } выбраны оптимально, то минимальное возмущение, коrорое может быть достигнуrо, равно(4.144)[Указание.
Мы можем ныбрать [ф 0 } и [ф 1 }, чтобы независимомаксимизировать два слагаемых в уравнении(4.142).Максимальным значением является максиМаJIЬНое собственное значение оператора А, которое может быть выражено как .\шах+ v'1- 4det А),=~(11поскольку сумма собственных значений равнаединице.] Конечно, Ева могла бы сделать возмущение еще меньшим, если ее устроит меньшая, чем оптимальная, вероятностьправильного определения сообщения Алисы.с) Изобразите график функции Dmin(cos 2 В). Исто;IКуйте ее значенияпри cos е = 1 н cos е = О. При каком значении е D min максимальна? Найдите Drnin и (Peгror)optimal для этого значения В.4.7. УПРАЖНЕНИЯ4.7.
Приближенное клоиироваиие.211Теорема о невозможности клонирова·ния показывает, что невозможно nостроить унитарную машину, которая будет делать идеальные конин неизвестного квантового состояния.Но допустим, что пас устроит неидеалышя копия-:какой 1uчностивоспроизведения мы можем ТJ.Обиться?Рассмотрим машину, действующую на трехкубитовое состояние в со·ответетвин сIООО)Авс -f{IOO)AвiO)c + /fiФ+)Aвll)c,(4.145)IJOO)Aвc- /jlll)лвl1)c + /fiФ~)лвiО)с-а) Я влястся ли такой прибор в принцвне физически реализуемым?Если машина действует на начальное состояние IФ) А IOO) во•тоонапроизводитчистоезапутанноесосrояниетрехкубиrоn 1\fr) Аве· По ссJш мы наблюдаем оцин только кубит А,то его конечным состоянием является oneparop шюпюсти РА == tr 80 (1\fr) Ане лв 0 (\frl).
Аналоrwшо конечным состоянием отдельно наблюдаемого кубнта В является р~. Иструдно видеть,---что РА. 7 ' Р'яидентичные, но не идеальные копии исходногочистого С{)С10ЯНИЯ IФ) АЬ) Оrображение начального состояния IФ) А А (1/JI кубита А на конечное сосrояние Р'л определяет супероператор $.Найдите cm нрсдставление операrорной суммы.с) Найдите Р'л для IФ) А = aiO) А+ Ьl!)л и вычислите его точностьвоспроизведения F : А (ФIР'лiФ) л-4.8. Простинас, дядюшка Альберт. Рассмотрим п-кубиювое <<кот-состояние»IФ)n · · 4(1000 О)+ /111 ... 1)).(4.146)Это сосюяние можно охарактеризовать как одновременное собственное сосюяние (с единичным собственным значением) nопераюрови3® <Т 3 ® 1 ® 1 ® · · · 0101 ® 1,1 ® и 3 ®<Тз :19 10 · · · 0 10 10 1,(4.147)10 1 ® 1 0 1 ® · · · ® 1 ®<Т 1 ®<Т 1 ®<Т 10и30и3 ,···®<Т 1 ®<Т 1 ®<Т 1 .212ГЛАRА 4а) Ilокажите, ч1оl'l/'}n является собственным состоянием операюра(0'1 + i0'2} 09 n ~ (17 1 - iu,)"'n,(4.148)и вычислите его собственнос значение.Ь) EcJJИ мы верим в лока.Тhные скрытые переменные, тогда :мы верим, что для каждого из n-куби·П)вcr 1 иО' 2 имеюt о вределенныезначения.
коль скоро скрытые персменные опрсл;елены. Если этотак, то чrо можнu сказа1ъ оrnосителыю миду:1ей (0" 1 + iu 2 )5<;nи.1и ( cr 1 - iu 2)®n, предполагая опредеJiенныс значения скрытыхпеременных?с) Из (Ь) выведите верхнюю 1рапицу д.1я~~(1711 i172)'ilm -i(rт 1 -i0' 2)"'nJ,(4.149)сле;\ующую из I'ИПотезы о нокальных скрытых неременпых.d)4.9.Сравните эш с (а). Что сказал бы Эйншrейн?МавипуJ•ировапве '3аnу1ыванисм. а) Двадцюъ nять игроков команды Янки из Н•~ю-Йорка и два;щать пять иrроков комады СвятыхОтцов из Сав-)(неrо хотят раз.~елип. пят1.десят кубишв <<кот-состояния». Янки rоrонят 26-кубитовос <<кот-состояние» и даютодин из кубитов А;-шсе~ то же делают и Святые Отцы. ТепеrьАлиса должна соединить эти и прюотовить 50-кубиlовос сосюяние.
Как ей это сделать? [Указание. Поii}'Майте о стабюиза:юрс.]Ь) Присоединившись к Янки, Алиса принял на хранение ОI!ИН и:1 кубитоn их 25-кубишвого <<кот-сосшянию>. Но се подуnюи! Алисеноручено изв.1ечь имеющийся у ней кубит из «кот-состояния», сохранив непuврежденным 24-кубитовое состояние оста..""IЬных игроков. Как ей •ш с;:щJJатъ? [Указание.
Подумайте о стабилизаторе.]4.1 О. Критерий Переса - Городе11КИ в d измерениях. Наномпи'l<, что состояние Вернера пары куби·юв может бы1ь представлено как(4.150)и что частичное транспонирование р~~ нарного опера·юраIL!omo-cти р AJJ опредепяется как(4.151)2134.7. УПРАЖНЕНИЯr,тс Т -операция транспонирования, действующая в базисеT(li) (.il)=ij)(il{li)}как(4.152)На лекции мы видеJШ, что частичное транспонирование состоянияВерпера р(Л) отрипаrельно при Л> 1/3;слсфвательио, сашасно критерию Переса-Городецки состояние Верпера несепарабельнопри Л> 1/3а) Естественный способ обобщения состояния Вернера на пару d-мерных систем-рассмотретьРФ(Л) ~ ЛIФ)(ФI + ~J (1- Л)l,где IФ)(4.153)- максимапьно запутанное состояниеIФ)- -1-jddLli) 0li).(4.154)i clПокажите, что(4.155)где Eantisym -проектор на пространство, антисимметричное относительно перестановки двух систем: А и В.Ь) При каких значениях Л частичное транспонирование рФ(Л) отрицательно?с) Если состояние Вернера двух кубитов выбрано в виде(4.156)тоrда другой естественный способ обобщить состояние Вернерапа пару d-мерных систем- рассмотреть(4.157)При каких значениях Л qастичное транспонирование Panti(Л) отрицательно?ГлАВА5Теория квантовой информацииТеория квантовой информации настолько обширный предмео;чтовполне могла бы занимать пас весь семестр.
Но вследствие недостаткавремени (мне не терпится перейти к квантовым вычисаениям) я не смогуосветить этот предмет так глубоко, как мне бы этого хоте.1ось. Мы уJщвош.ствуемся отрывочным введением в некоторые основные идеи и результаты. Возможно, лекции будут носить более описательный характер, нежелив первом семестре, с более частыми рассуждениями на пальцах и с большим количеством деталей, оставленных для домашних упражнений. Вероятно, эту шаву следовало бы назва:rь: «Теория квантовой информации длянетерпеливых»1.Теория квантовой информацШI имеет дело с четырьмя главными темами.(1)Передача юшссической mrформации по квантовым кавалам связи (бу(2)Компромисс между нолучением информации о квантовом состояниидет обсуждаться).и его возмущением (этот вопрос мы кратко обсуждали в главе 4 в свя.1ис квантовой кршшпрафией, но здесь разберемся с ним основательно).(3)Количественная характеристика квантового заnутывания (которой мы(4)Передача квантовой информации по квантовым кава.1ам связи.
(Мы обкратко коснемся).судим случай канала без помех, отложив обсуждение капа.на с номехами ,цо тех пор, пока не познакомимся с квантовыми корректирующимикодами.)Эти темы объединяет часто повторяющийся .~ейтмотив: интерпретацияи примспения энтропии фон Неймана.1Читателю, интересующемуся более сrроrим математическим изложением основных результатов :квантовой теории информации, можно пореkОмендоваrь :книrу А.С Холс1ю, Введемие fi кваптовую теорию информации, МЦНМО, М.: 2002; более подробное из.:южение rеории:классической и квантовой ивформаuии на фи..·шческом уровне строrости можно найти и к.ннrсМ.АNielsen, l.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge UniversityPrei:is, 2001; переводна русс:кий язык М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
