Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 8

PDF-файл С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 8, который располагается в категории "книги и методические указания" в предмете "математические модели флуктуационных явлений" изседьмого семестра. С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 8 - СтудИзба 2019-09-18 СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

[01, с. 90). Стар|ние кумулянты х„(п=3, 4, ...) дают количественную оценку отклонения произвольной функции распределения от симметричной гауссовской кривой (37); величину Ик из = —, о' называют коэффициентом асимметрии, а ~ з иэ ~и! 1~4 4 <~4 <~4 оз 9 2. Многомерные статистические характеристики Многомерные распределения вероятностей. Лля описания совокупности нескольких случайных величин х, у, г (в частности, для выяснения связи между этими величинами) кроме одномерных распределений пг(х), ю(у), ю(г), ...

(!.2.1) нужно знать также двумерные распределения вероятностей ге(х, у), гв(х, г), щ(у, г), ..., (1.2.2) трехмерные гв(х, у, г), ... (1.2.3) — коэффициентом эксцесса. При к,)0 распределение ги(х) в окрестности х=х является более острым и узким, а прн «,(О, наоборот, более плоским, чем гауссовское. Интересно ([6), с. 4!), что величины «, и «э не вполне независимы, так как должно выполняться неравенство и,— и,'+2-.=0 и, в частности, «,,== — 2. Аналогичные соотношения могут быть получены и для других кумулянтов. Э г многомаяныа статистические хаяхктанистнки з! н т.

д. Многомерные распределения >довлетворяюг условиям нормировки, аналогичным (1 1,2а), например: ) ) в (х, у) г(х г)д= 1, ~ ~ ~ в (х, д, г) ох с(д ог =!. (!.2 4) Кроме того, должны выполняться условия соответствия типа в (х, у, г) г(у г(г = ~ в (х, у) г(у = в (х), ~ в (х, г) г(х = в (г), (1.2.5) т. е„проинтегрировав многомерное распределение по одной или нескольким случайным переменным, мы должны получить распределение вероятностей для остальных случайных переменных. Если х, у, г являются случайными пропессами: х = х (1), д = у ((), г = г (1), то время Г войдет, вообще говоря, в распределения (1) — (3) как параметр. Если значения случайных переменных относятся к разным моментам времени: х = х (Гг), д = у ((,), ..., (1.2.6) то в многомерные распределения может войти зависимость от всех этих моментов, например: в(.т, у) =в(х, д; (о (,), (!.2.7) Очень часто нас интересует связь между значениями одного н того же процесса в разные моменты времени: х=х ((з) =хо д= х ((з) =-хм г=х (гз) =ха.

Статистическая связь этих величин описывается многомерными распределениями вида в (хм х2', (о (2), в (хь хм хз, 'гь (и гз), (1.2.8) причем !пп в(х,, х,; (н (а) =в(хн Г,) 6(х,— х,), ь ь Предположим, что между величинами х и д имеется функциональная связь: д=Р(х), х=~р(у), и распределение вероятностей в,(х) известно; найдем распределение в. (у). Если в интеграле 32 ГЛ. !. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ перейти к новой переменной интегрирования у = Р (х), то мы получим Р= ~ ю,(х=1р(д)) / )ду (у, у,). д р (у) ду и Отсюда следует, что н1, (у) = 1е» (х = гр (д)) ! ~ !. (1.2.!0) (1.2.! !) Эта формула справедлива, если зависимость х отд является одно- значной. Если гр(у) многозначна и имеет несколько ветвей р,(у), то гв» (у) = ге1 (х = ~Р» (у)) ~ '1'р» (у) (1,2.!2) у=ум а»~х(Ь» (у=1,2, ...).

Вероятность для у принять значение у» в этом случае конечна н равна вероятности пребывания х в интервале (а», Ь»), т. е. »„ Р(д=у») = $ гн1 (х) дх. а» Плотность вероятности выразится через б-функции; к общему выражению (12) в этом случае следует добавить сумму вида »„ 'У', б (у — у») ~ ш, (х) дх. (!.2.!3) а» Полученные соотношения можно обобщить на случай двух и более случайных переменных.

Например, если д, = Р, (х„х,), у» = Р» (х„х»), х»=Ч1(У1 У») х»=1Р»(д» У») то вместо (11) будем иметь )д(чи ЧЭ)! ю»(У1 У») =ге»(х~ =Ч>и х»=Ч'») ) ',', (1.2.14) ) д(у„») ~ ' где д (гр1, ~р»)/д (у„у») — якобиан преобразования от старых случайных переменных к »юным.

Многомерные моменты, кумулянты, характеристические функции. Рассмотрим совокупность нескольких случайных величин х), х.„..., х„, (1.2.15) Особым является случай, когда кривая у = Р (х) содержит отрезки, параллельные оси х: А Ь МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 33 которая полностью Описывается многомерным распределением вероятностей и!(хн ..., хи). (1.2.16) Как и в одномерном случае, можно определить характеристическую функцию совокупности: 0(и„..., ии) =(е'(и ' Ч - Ч "и'л» ии =~ ...)е ' ' ' '"+ ° )и!(хь ..., х„)д., !(х„. (1,2.17) Распределение вероятностей связано с 0 обратным многомерным преобразованием Фурье: ! е '"' е и~ (х„..., хи) = 2 —, ~ ...

~ 0 (и„..., ии) к хе '("' '"л " 'и)е(и!...е(и„. (1.2.18) и и 0(и " .* и.) = 1 + !-, ~ ир(х,! +;,,У,~, и,и, (х,х,) + и=! и, и=! л Си + 3, ~~~2' '~' и,и,и„х,х,х,) +... = '~(' — ", (Вр), (! .2.20) и. И, л=! где 5 =и,х,+...+и«хи. Выражение (1.1.82) следующим образом обобщается на много мернь!й случай: л 6!" — и )- «Р~ — ~,И,-!-й~~ ЧИ -!...~. (!22!! п ! р,и Здесь Кр — многомерные кумулянты: Кр хр К1! В~а К!иа В!иги Къари В~ма ВтВиа Вë«4 ВМВ«и (1.2.22) н Вр ~ ((хр хр) (хи хи)) (1.2.28) -многомерные центральные моменты. При р д ... =а функции В, „, и Кл, совпадают с введенными ранее одномерными центральными моментами н кумулянтамн Я С. А.

Аииаииа а ир. Из (17) вытекает разложение характеристической функции по многомерным моментам т(а„..., аи) =(х",! ...х «), (1.2.19) а именно: гл ~ мятоды теории слрчлиных атнкции случайной величины х,; Вр р !~~ ((Кр Хр) ) К р — /а а раз а раз (см. (1.1.14) и (!.!.34)). Условные распределения вероятностей; статистическая независимость. Рассмотрим две случайные величины х и йс Будем говорить о событии А, если а~х(а+Ах, и о событии В, если Ь«=;,у~Ь+Л//. Пусть при й/ испытаниях событие А произошло Ь/А раз, событие  — /з/В раз, а в й/АВ случаях из й/ имели место сразу оба события А и В.

Тогда при /з/, /з/А, й/В, й/А — з-со можно написать выражения для вероятностей: Р(А) =/з/А/И, Р(В) =й/В/й/, Р(А, В) =й/АВ//з/з последнее выражение определяет верояпюсть совместной реализации событий А и В. Отношение й/АВ//)/А также можно трактовать как вероятность, а именно как условную вероятность осуществления события В при условии, что событие А обязательно имеет место: й/АВ//УА = Р (В ! А). Аналогичную условную вероятность можно написать и для А: ЖАВ/й/В =Р (А ~ В). Поскольку АВ АВ А АВ В М МА М МВ М ' то между условными н обычными (или безусловными) вероятностямн имеет место следующее соотношение: Р(А, В) = Р(А ~ В) Р(В) = Р(В ~ А) Р (А). (!.2.23а) Если перейти к плотностям распределения вероятностей, то получим го (х, р) = ш (х ~ у) ш (у) = ги (у ! х) пз (х). (1.2.24) Таким образом, совместное распределение двух случайных величин (т.

е. двумерное распределение) может быть найдено, если известно одномерное распределение для одной из этих величин и соответствующее условное распределение. Следует иметь в виду, что, например, в условном распределении га(х|(/) величина у играет роль параметра и нормировка для гВ(к ~у) имеет обычный вид: пз (х,Ь) г(х= 1, Е Е МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 00 Фиксируя то или иное значение у, мы получим, вообще говоря, различные распределения вероятностей для х: в (х ~ у,) ~ в (х ( уе) Ф в (х), что и отражает статистическую связь, существующую между х и у.

Если значение Одной из случайных величин никак не влияет на распределение вероятностей для другой, то эти величины называют статистически независимыми. В этом случае в(х~у)=и (х), в(у(х)=в(у). (1.2.25) Подставив (25) в (24), получим в(х, у) =в(х)в(у). (1.2.26) Вообще, если имеется п независимых случайных величин хо хе .,х„, (1.2.27) то многомерное распределение равно произведению одномерных: в(х„..., х„) =в(хе)...

в(х„). (1.2.28) Подставив (28) в (17), получим, что многомерная характеристическая функция совокупности (27) независимых случайных величин равна произведению одномерных характеристических функций: 0(и„..., и„) =0(и,)... 0(и,). (1.2.29) (1.2.30) независимых случайных величин с различными распределениями вероятностей в (х ) и характеристическими функциями 0„(и„) (а = 1, 2 ..., и). Последние можно записать через кумулянты (см.

(1.1.32)): ФО 0„(и ) =ехр р — ", /г„ %1 (Ги„)~ т ! (1.2.31) Характеристическую функцию для у получим, полагая в (17) и,=и,=...=и,=и. Учитывая также (29) и (31), имеем 0(и) =(ехр(еи(х,+...+х„Ц) =ехр ~~~~ ~— "е„, (1 2 32) где и е,. =-.'У', е.,,. (1.2. 33) я. Распределение суммы независимых случайных величин; центральная предельная теорема. Применим полученные результаты к анализу статистических свойств суммы У = Хе + Хе + ° ° ° + Хе Гл.

!. методы твоРии случлиных Функции (1.2.35) С ростом л числитель в (38) растет л, а знаменатель и"'!а, т. е. х, ! (л Р1). 1 Таким образом, при увеличении числа слагаемых в сумме (30) относительная роль кумулянтов старших порядков (и! ~ 3) падает. В предельном случае и- сю остаются лишь кумулянты первого н второго порядков, а выражение (32) принимает вид В(и) (ехр (ги [х, +...+Х„))) = ехр!!ий, —, и'и„~ =ехр~!Ид — З и'а'~, (1.2.39) з Формула (33) выражае! своиство аддитивности кумулянтов: кумулянт суммы (независимых случайных величин) равен сумме кумулянтов (одинакового порядка). Заметим, что моменты суммы независимых случайных величин свойством аддитивности отнюдь не обладают (исключение составляют моменты первого н централь- ные моменты второго и третьего порядка, совпадающие по вели- чине с кумулянтами, — см. (1.1.34)).

грейс!вительно, например, для независимых с, и $, ($!+ $а)' = Ы+ х)+ 6~~!~1 Ф Г1+ 6. Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1.1.35)): ~сс.~и = аа Иалл) (1.2,34) (31) теперь можно переписать как лл кт (сааа)л' В,.(и)=ехр ~ ! х, т=! Такие же коэффициенты можно ввести и для кумулянтов суммы: л й =о и„, а!= У, 'а„". (1.2.36) .=! В результате характеристическая функция (32) примет вид В (и) = ехр ~ — и . (1.2.37) лл=! Из (33), (34) и (36) следует, что л 2,' а„н„„ (1.2.38) а=! 4 т.

мнОГОмеРные стАтистические хАРАктеРистики 37 так как (см. (33)) )г, = т" ха = у, )гз = ~ о ' = у' — рз = о'. а а Характеристической функции (39) соответствует гауссовское распределение вероятностей (см. (1.1.37)). Мы приходим, таким образом, к выводу, что сумма большого числа статистически независимых слагаемых, каждое из которых имеет произвольное распределение вероятностей, распределена по нормальному, или гауссовскому, закону (1.1.37).

Свежие статьи
Популярно сейчас