Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 8

PDF-файл С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 8 Математические модели флуктуационных явлений (53103): Книга - 7 семестрС.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика: Математические модели флуктуационных явлений - PDF, страница 8 (53103) - СтудИзб2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

[01, с. 90). Стар|ние кумулянты х„(п=3, 4, ...) дают количественную оценку отклонения произвольной функции распределения от симметричной гауссовской кривой (37); величину Ик из = —, о' называют коэффициентом асимметрии, а ~ з иэ ~и! 1~4 4 <~4 <~4 оз 9 2. Многомерные статистические характеристики Многомерные распределения вероятностей. Лля описания совокупности нескольких случайных величин х, у, г (в частности, для выяснения связи между этими величинами) кроме одномерных распределений пг(х), ю(у), ю(г), ...

(!.2.1) нужно знать также двумерные распределения вероятностей ге(х, у), гв(х, г), щ(у, г), ..., (1.2.2) трехмерные гв(х, у, г), ... (1.2.3) — коэффициентом эксцесса. При к,)0 распределение ги(х) в окрестности х=х является более острым и узким, а прн «,(О, наоборот, более плоским, чем гауссовское. Интересно ([6), с. 4!), что величины «, и «э не вполне независимы, так как должно выполняться неравенство и,— и,'+2-.=0 и, в частности, «,,== — 2. Аналогичные соотношения могут быть получены и для других кумулянтов. Э г многомаяныа статистические хаяхктанистнки з! н т.

д. Многомерные распределения >довлетворяюг условиям нормировки, аналогичным (1 1,2а), например: ) ) в (х, у) г(х г)д= 1, ~ ~ ~ в (х, д, г) ох с(д ог =!. (!.2 4) Кроме того, должны выполняться условия соответствия типа в (х, у, г) г(у г(г = ~ в (х, у) г(у = в (х), ~ в (х, г) г(х = в (г), (1.2.5) т. е„проинтегрировав многомерное распределение по одной или нескольким случайным переменным, мы должны получить распределение вероятностей для остальных случайных переменных. Если х, у, г являются случайными пропессами: х = х (1), д = у ((), г = г (1), то время Г войдет, вообще говоря, в распределения (1) — (3) как параметр. Если значения случайных переменных относятся к разным моментам времени: х = х (Гг), д = у ((,), ..., (1.2.6) то в многомерные распределения может войти зависимость от всех этих моментов, например: в(.т, у) =в(х, д; (о (,), (!.2.7) Очень часто нас интересует связь между значениями одного н того же процесса в разные моменты времени: х=х ((з) =хо д= х ((з) =-хм г=х (гз) =ха.

Статистическая связь этих величин описывается многомерными распределениями вида в (хм х2', (о (2), в (хь хм хз, 'гь (и гз), (1.2.8) причем !пп в(х,, х,; (н (а) =в(хн Г,) 6(х,— х,), ь ь Предположим, что между величинами х и д имеется функциональная связь: д=Р(х), х=~р(у), и распределение вероятностей в,(х) известно; найдем распределение в. (у). Если в интеграле 32 ГЛ. !. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ перейти к новой переменной интегрирования у = Р (х), то мы получим Р= ~ ю,(х=1р(д)) / )ду (у, у,). д р (у) ду и Отсюда следует, что н1, (у) = 1е» (х = гр (д)) ! ~ !. (1.2.!0) (1.2.! !) Эта формула справедлива, если зависимость х отд является одно- значной. Если гр(у) многозначна и имеет несколько ветвей р,(у), то гв» (у) = ге1 (х = ~Р» (у)) ~ '1'р» (у) (1,2.!2) у=ум а»~х(Ь» (у=1,2, ...).

Вероятность для у принять значение у» в этом случае конечна н равна вероятности пребывания х в интервале (а», Ь»), т. е. »„ Р(д=у») = $ гн1 (х) дх. а» Плотность вероятности выразится через б-функции; к общему выражению (12) в этом случае следует добавить сумму вида »„ 'У', б (у — у») ~ ш, (х) дх. (!.2.!3) а» Полученные соотношения можно обобщить на случай двух и более случайных переменных.

Например, если д, = Р, (х„х,), у» = Р» (х„х»), х»=Ч1(У1 У») х»=1Р»(д» У») то вместо (11) будем иметь )д(чи ЧЭ)! ю»(У1 У») =ге»(х~ =Ч>и х»=Ч'») ) ',', (1.2.14) ) д(у„») ~ ' где д (гр1, ~р»)/д (у„у») — якобиан преобразования от старых случайных переменных к »юным.

Многомерные моменты, кумулянты, характеристические функции. Рассмотрим совокупность нескольких случайных величин х), х.„..., х„, (1.2.15) Особым является случай, когда кривая у = Р (х) содержит отрезки, параллельные оси х: А Ь МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 33 которая полностью Описывается многомерным распределением вероятностей и!(хн ..., хи). (1.2.16) Как и в одномерном случае, можно определить характеристическую функцию совокупности: 0(и„..., ии) =(е'(и ' Ч - Ч "и'л» ии =~ ...)е ' ' ' '"+ ° )и!(хь ..., х„)д., !(х„. (1,2.17) Распределение вероятностей связано с 0 обратным многомерным преобразованием Фурье: ! е '"' е и~ (х„..., хи) = 2 —, ~ ...

~ 0 (и„..., ии) к хе '("' '"л " 'и)е(и!...е(и„. (1.2.18) и и 0(и " .* и.) = 1 + !-, ~ ир(х,! +;,,У,~, и,и, (х,х,) + и=! и, и=! л Си + 3, ~~~2' '~' и,и,и„х,х,х,) +... = '~(' — ", (Вр), (! .2.20) и. И, л=! где 5 =и,х,+...+и«хи. Выражение (1.1.82) следующим образом обобщается на много мернь!й случай: л 6!" — и )- «Р~ — ~,И,-!-й~~ ЧИ -!...~. (!22!! п ! р,и Здесь Кр — многомерные кумулянты: Кр хр К1! В~а К!иа В!иги Къари В~ма ВтВиа Вë«4 ВМВ«и (1.2.22) н Вр ~ ((хр хр) (хи хи)) (1.2.28) -многомерные центральные моменты. При р д ... =а функции В, „, и Кл, совпадают с введенными ранее одномерными центральными моментами н кумулянтамн Я С. А.

Аииаииа а ир. Из (17) вытекает разложение характеристической функции по многомерным моментам т(а„..., аи) =(х",! ...х «), (1.2.19) а именно: гл ~ мятоды теории слрчлиных атнкции случайной величины х,; Вр р !~~ ((Кр Хр) ) К р — /а а раз а раз (см. (1.1.14) и (!.!.34)). Условные распределения вероятностей; статистическая независимость. Рассмотрим две случайные величины х и йс Будем говорить о событии А, если а~х(а+Ах, и о событии В, если Ь«=;,у~Ь+Л//. Пусть при й/ испытаниях событие А произошло Ь/А раз, событие  — /з/В раз, а в й/АВ случаях из й/ имели место сразу оба события А и В.

Тогда при /з/, /з/А, й/В, й/А — з-со можно написать выражения для вероятностей: Р(А) =/з/А/И, Р(В) =й/В/й/, Р(А, В) =й/АВ//з/з последнее выражение определяет верояпюсть совместной реализации событий А и В. Отношение й/АВ//)/А также можно трактовать как вероятность, а именно как условную вероятность осуществления события В при условии, что событие А обязательно имеет место: й/АВ//УА = Р (В ! А). Аналогичную условную вероятность можно написать и для А: ЖАВ/й/В =Р (А ~ В). Поскольку АВ АВ А АВ В М МА М МВ М ' то между условными н обычными (или безусловными) вероятностямн имеет место следующее соотношение: Р(А, В) = Р(А ~ В) Р(В) = Р(В ~ А) Р (А). (!.2.23а) Если перейти к плотностям распределения вероятностей, то получим го (х, р) = ш (х ~ у) ш (у) = ги (у ! х) пз (х). (1.2.24) Таким образом, совместное распределение двух случайных величин (т.

е. двумерное распределение) может быть найдено, если известно одномерное распределение для одной из этих величин и соответствующее условное распределение. Следует иметь в виду, что, например, в условном распределении га(х|(/) величина у играет роль параметра и нормировка для гВ(к ~у) имеет обычный вид: пз (х,Ь) г(х= 1, Е Е МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 00 Фиксируя то или иное значение у, мы получим, вообще говоря, различные распределения вероятностей для х: в (х ~ у,) ~ в (х ( уе) Ф в (х), что и отражает статистическую связь, существующую между х и у.

Если значение Одной из случайных величин никак не влияет на распределение вероятностей для другой, то эти величины называют статистически независимыми. В этом случае в(х~у)=и (х), в(у(х)=в(у). (1.2.25) Подставив (25) в (24), получим в(х, у) =в(х)в(у). (1.2.26) Вообще, если имеется п независимых случайных величин хо хе .,х„, (1.2.27) то многомерное распределение равно произведению одномерных: в(х„..., х„) =в(хе)...

в(х„). (1.2.28) Подставив (28) в (17), получим, что многомерная характеристическая функция совокупности (27) независимых случайных величин равна произведению одномерных характеристических функций: 0(и„..., и„) =0(и,)... 0(и,). (1.2.29) (1.2.30) независимых случайных величин с различными распределениями вероятностей в (х ) и характеристическими функциями 0„(и„) (а = 1, 2 ..., и). Последние можно записать через кумулянты (см.

(1.1.32)): ФО 0„(и ) =ехр р — ", /г„ %1 (Ги„)~ т ! (1.2.31) Характеристическую функцию для у получим, полагая в (17) и,=и,=...=и,=и. Учитывая также (29) и (31), имеем 0(и) =(ехр(еи(х,+...+х„Ц) =ехр ~~~~ ~— "е„, (1 2 32) где и е,. =-.'У', е.,,. (1.2. 33) я. Распределение суммы независимых случайных величин; центральная предельная теорема. Применим полученные результаты к анализу статистических свойств суммы У = Хе + Хе + ° ° ° + Хе Гл.

!. методы твоРии случлиных Функции (1.2.35) С ростом л числитель в (38) растет л, а знаменатель и"'!а, т. е. х, ! (л Р1). 1 Таким образом, при увеличении числа слагаемых в сумме (30) относительная роль кумулянтов старших порядков (и! ~ 3) падает. В предельном случае и- сю остаются лишь кумулянты первого н второго порядков, а выражение (32) принимает вид В(и) (ехр (ги [х, +...+Х„))) = ехр!!ий, —, и'и„~ =ехр~!Ид — З и'а'~, (1.2.39) з Формула (33) выражае! своиство аддитивности кумулянтов: кумулянт суммы (независимых случайных величин) равен сумме кумулянтов (одинакового порядка). Заметим, что моменты суммы независимых случайных величин свойством аддитивности отнюдь не обладают (исключение составляют моменты первого н централь- ные моменты второго и третьего порядка, совпадающие по вели- чине с кумулянтами, — см. (1.1.34)).

грейс!вительно, например, для независимых с, и $, ($!+ $а)' = Ы+ х)+ 6~~!~1 Ф Г1+ 6. Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1.1.35)): ~сс.~и = аа Иалл) (1.2,34) (31) теперь можно переписать как лл кт (сааа)л' В,.(и)=ехр ~ ! х, т=! Такие же коэффициенты можно ввести и для кумулянтов суммы: л й =о и„, а!= У, 'а„". (1.2.36) .=! В результате характеристическая функция (32) примет вид В (и) = ехр ~ — и . (1.2.37) лл=! Из (33), (34) и (36) следует, что л 2,' а„н„„ (1.2.38) а=! 4 т.

мнОГОмеРные стАтистические хАРАктеРистики 37 так как (см. (33)) )г, = т" ха = у, )гз = ~ о ' = у' — рз = о'. а а Характеристической функции (39) соответствует гауссовское распределение вероятностей (см. (1.1.37)). Мы приходим, таким образом, к выводу, что сумма большого числа статистически независимых слагаемых, каждое из которых имеет произвольное распределение вероятностей, распределена по нормальному, или гауссовскому, закону (1.1.37).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее