С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 25

Рт)=, о(! о) го ~1 о — з схр — 2 о(1 го ~, (2.4.13) врр ~р )= Р =2ли~(в, в ). в(ор-Ч ) в (Тот) (2.4.!4) Заметим, что распределения (10), (11) и (14) зависят тольио от разности фаз. Из (П) можно найти функцию и коэффициент корреляции огибающей (см. (!), с. 561): /2 рта) (рр ) оз [2Е (П вЂ” (1 — го) К (г)] оо(1+го) Е ~ — ~ т ~!+сl (2,4,15) Двумерные распределения н корреляционные функции огибающей н фазы.

Ранее были найдены средние значения квадратуриых компонент (онн раним нулю- см. (2.3.3)) и пьрньм корреляции между ними для двух моментов времени (см. (2.3.4), (2.3.5) и (2.3.11), (2.3.12)). Поэтому, учитывая гауссоаость а и Ь, по общей формуле (2,2.5) можно получить распределение в(а, а, Ь, Ь ), а затем, произведя замену переменных, найти четырехмерное распределение огибающей и фазы: в(р, Р. ЧЬ Рт)- (а, Р.

 — Рт)= ех — т ~, (2.4.ра) 4яоо' (1 — го) ( 2оо (1 — г') % а. узкополосный Гауссовский шум а также 1 К(г) (2.4.15а! / )рр~/ 2оа Согласно (15) коэффициент корреляции равен =0,92)та+0,058га+0,014га+...; (2.4.!6) Е н К вЂ” полные зллнптнческие интегралы. Ряды в (15), (16) быстро сходятся, н прн учете членов порядка га ошибка не превышает 2аю Таким образом, с достаточно высокой степенью точности можно написать Кр (т) = г' (т), (ра"р ~>=((о +а )" (о +а ) > В частности.

(рар'> = 4па (1-(- га (т)). (2.4.17) Для сравнения укажем, что (азата> =па (1+2)са (т)), где )С (т) р (т) соа ыат — д (т) а(п шаг=в (Бт> (в"-> — коэффициент корреляции процесса в, В общем случае ([1), с. 560) (р рт>=(2о ) р ф+)) Е~ — 2, — 2, 1, г'(т)~, (24Н8! а 1„+м)гз а (т )г(в!а+и! где Е(а, р, у, а) — гнпергеометрическая функция. Так как ряд, которым вы. ражается гнпергеометрнческая функция, обрывается при целых отрицательных са или 6, то и†! (р~лр~ш>= 1.1 У "(л ' "(л ) ге~вам(т) (2оа)"тел!т! с.

((,+,)!1 а=а (л ~ гл!. (2.4.19! б время корреляции та огибающей меньше времени корреляции тд самого процесса; например, для процесса с экспоненцнальной корреляционной функцией тв=тд!2 (ширина спектра огнбаюшей соответственно вдвое больше ширины спектра процесса). Вместе с тем время корреляции фазы т„=ты как следует нз приводимой ниже формулы (19а). Не обращаясь к распределению (!!), а используя просто правила представления высших корреляций через парные для гауссовских процессов, можно найти корреляционные функции четных степеней огибаюшей: 132 ГЛ. 3.

МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОП И ПОЛЕЙ (сов ф сов фт) = (в!и ф в!и фт) — - (сов (ф — фт)) 1 р (т) Е (и) — (! — ги) К (и) 2 2 И В этих выражениях 1 6 с~гй у (т) — огсз)п и (т), Я Я (и) = — 7 — Я (1) 1 2л л' а'и пи ' в ! Е н К вЂ” аллнптнчеснне ннтегрвлы, причем Е(г) — (1 — ги) К(г) л ~з ~ (2л)! 1и геи л ги — )и ' — — — (1+ 0,125гз+0,047И+...]. 4 С,г ~2ио (л!)и) л+1 4 л о (2.4.20) Согласно (2.3.1!), (2.3 12) н (10) прп малых т 1 1 Р (т) оьи 1 — — тиЯии, о (т) ~ тЯи, и (т) иы 1 — — тзЯии, (2,4.21) где 1 3 ои 3 о ио 1 й Яг ()о( )( Ва (2.4.22) Яи Яв — Яй — О+(ы) (ы — оио — Яи)~ Йо ~ О. ов 3 о Параметры Яь в, з, нмеюшне размерность частоты, характеризуют ширину спектра квазнгармоннческого процесса н то, кан зтот спектр расположен относнтельно частоты ыи, Волн выбрать «ио и"и (» (в') ы и(юэ ° ) (2.4.23) и О, ЯВ=Яи — ~1 б+(ы) виД и.

С ои (2,4,24) Прнведем неноторые корреляционные характернстнкн фазы. которые могут быть найдены нз распределения (12) ([1), с. 567, 570); Я ! — л' (ффт) ли ~! + 27 — 47и + ~, фри = —, 127" 3 ' (2.4.!9а) Я) К, (т) ффи=3)27 — 47'+ —, ,ри '( 12) ' 4 — Я) ((ф фт~) л(1 47) (~ф фти) ли(87и 47 ! ~ ° (сов (ыи(+ф) соз (О>и!+шит+ фи)) = (пп (ыо(+ф) 3!и (юо(+шит+ фи)) = 1 )и (т) Е (и) — (1 — ги) К (г) 2 " т 2 = — (сов (ы„т+ ф — ф)) =— в а. УЗКОПОЛОСНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ Статистические характеристики производных по времени от огнбающей н фазы.

Если в (11) перейти к пределу т-ч-0, то, полагая р,=р+тр н используя (21), получим, домножив на якобнан 1'"'." - ° т, совместную функцию распределения огибающей н ее производной: — оча ' — Р/аеап1 н(р. Р)- ое )г 2п нпа (2.4.25) Из (25) следует, что р н р статистически независимы (в совпадающие моменты времени), причем одномерная функция распределения вероятностей для р имеет внд гауссовской кривой е ю (р) ' ( — ОО Р ~ со) (2.4,26) г' 2п ойа е дисперсией (рв) = Оа()а = Фв) ()а/2. Тем же способом нз (12) находится совместное распределенне для фазы и ее производной: Ю Я гв (чз Ф) = ю (ср) ну(ф) = 2 сп (ф), и , (Р 01 2 Вф оба р нз)з~з йз (Со ) ф ) ОΠ— ) нлн просто о( тп (ф) 2 (.

а+ 0а)агз г з р),ат (2.4.27) Рис. 2.6. Распределение вероятно- если считать, что средняя частота стев (271 для мгновенного значения оза выбрана в соответствии с (23). Распределение (27) представлено на рнс. 2.6. Характерная Область наиболее вероятных значений ф определяется параметром 11а, В частности, (ф( =25аа с вероятностью 0,9 н',ф~(75)в с вероятностью 0,99. Тем не менее дисперсия ф не нмеетконечного значения: (ф') = ~ гп (ф) фа с(ф = Этот результат показывает, что, говоря о фазе узкополосного случайного процесса как о медленно меняющейся величине (по сравнению, например, с сон оза7), следует соблюдать некоторую осторожность, так как прн определенных условнях (вероятность нх 134 гл з модели слгчлпных процессов и полни осуществления уменьшается с уменьшением Й„ио остается ноиечиой) фаза сколь угодно узкополосного квазигармоиического процесса с (() может меняться быстро *). Рассмотрим теперь этот вопрос более подробно, используя найденные распределения вероятностей [21 Предположим, что частота юо выбрана равной ш,', (23), так что (ах — — О.

Из распределения (10) можно получить распределения для огибающей, фазы и их производных ш(р. р, ф, Ф)= (Ч) (р) (р, ф). где гп(гр) =!(2л, гп(р) имеет вид (26), а гп(р, ф)= Р ехр! — Р ( -",ф ~. (2.4.28) Уйп о а ( 2пзт Из этого выражения видно, что зиачеии, р и ср сильно коррелированы. Условное распределение для гр, соответствующее заданному значению огибающей р, будет гп(ф~р)=" Р' ф = Р ехр~ — Рт 1. (2.4.29) ш(Р) У2п (тэ о ~ 2озЩ 1 В отличие от безусловного распределения (27) оио имеет вид гауссовской кривой и характеризуется теперь уже конечной дисперсией я,'оз (фа)уа - т (2.4.30) рэ Из (30) видно, что скорость изменения фазы становится особенно большой при «замираииях» шума 5((), когда его огибающая р((), флуктуируя, падает до уровня, много меньшего, чем среднее значение р=)/л,~2сс Примеры нестацнонариых узкополосньш процессов.

В радиофизике н оптике квазигармонические процессы формируются чаще всего при фильтрации шумов узкополосными системами; в этом случае ы„ представляет собой среднюю частоту, а Лю †характерн полосу пропускания фильтра. Рядом специфических особенностей обладают параметрические фильтры †параметрическ усилители и преобразователи различных типов (см. гл. 6); узкополосные шумы, возникающие на их выходе, оказываются нестационарными *ь), ниже рвссмотрены примеры нествционарных квазигармонических процессов; для этих процессов среднеквадратичные значения квадратуриых компонент не равны друг другу.

*) См. сноску на с. 125. «') Встречаются и другие модели нестацнонарпых процессов: периодически нестациопарпыс процессы (4 5), дийхрузиоииьш (вииеровский) процесс я б), процессы со стационарным приращением (3, ч. 11 и т. д. 135 4 4. УЗКОПОЛОСНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ Обратнмси прежде всего к анализу случая, когда одна из квадратурных компонент в (2.3.2) (например, Ь(!)) равна нулю: Б (!) = а (1) о:и ы,! (2.4.31) Выражая (31) через огибающую, фазу и комплексную амплитуду, получим $(1)=р(!)сов [в(+ф(!Я=А(!) есми-1-к.

с., (2.4.32) 1 А (!) -- а (г), р(!) 'а(1)[, р(1) ( О, а(Г))0, (2,4.33) Модель (3!) хорошо передает свойства реального шума на выходе пара. мегри неких усилителей оптического и СВЧ диапазонов прн вырожденном режиме работы и больших коэффициентах усиления (см. Я 2, 5 гл, б), Г)ри гауссовости а(!) процесс (31) также будет гауссовским, но нестацио. парным; дисперсия яв) =(аз) соваыч( и распределение вероятностей ! 52 ш(5, !) ехр~— у 2п (и') ~ солюс(! ( 2 (а') совам,т~ в этом случае периодически меняются во времени (периодическая нестационвр- ность). ()рактический интерес представляют, разумеется, не мгновенные значении моментов, а величины, усредненные по периоду Т=2я|юе Именно такие вели- чины регистрируются в эксперименте Операцию усреднения по времени некото- рой функции )0) обозначаем волнистой чертой (см.

(1,4 2)), ДлЯ (3!) имеем: УсРедиеаиаа по вРемени диспеРсна Я~)х =",э (ах), усредненная по времени корреляционная функция (Ят) = —, (аат) с<амат, (2.4.35) (2.4,34) усредненный по времени спектр ОР— 1 Г С (ю) = 2 3 (вв.) -' б . (2.4.36) (2.4.37) в рассматриваемом случае симметричен относительно ыв: 6) (ю)=~+(ы~+я)=бь(ы с!) (2.4.38) Как следует из (3!), (32), распределение огибающей имеет вид гауссовской кривой: (Р) = . е Риэо Уйл о (о =(р*)=(аз)) Р)0 12.4 30) Отсутствие в (35) члена, пропорционального мп ю,т, означает, что соответствую- щий (36) спектр по положительным частотам -+ [ 2ОМ ~0, [О, ы<0, 136 гл.