С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 24

Заметим, что выражениями (1), (2) вместо одной случайной функции "-(1) вводнтся пара случайных функций: р(1) и Ч (г) или а(С) и Ь((). Естественно, что пря этом возникает некоторая степень неопределенности в нахождении указанных функций. Весьма нагляден и физичен способ устранения этого «произвола» для дифференцируемого случайного процесса 1 ((), т. е. для процесса, у которого существует производная ~ = 2(с(2(д Тогда дли однозначного определения огибающей узкополосного стационарного шума можно воспользоваться формулой Р (г) = Б (г) + ь2 Й (2) 1~ (2.3.2а) где надо полагать $= — в,р з(п(ь22(+2р(1)1; при вычислении производной узкополосного процесса производными огибающей и фазы пренебрегаем Если записано выражение (2а), то однозначно определена и фаза ~р(~).

Всюду далее при физической интерпретации результатов следует иметь в виду приведенные соотношения. Отметим вместе с тем, что при вычислении спектров и законов распределения функций р, Е2, а, Ь необходимости в использовании соотношения (2а) не возникает. Огибающая, фаза и квадратуриые компоненты имеют простои геометричеасии смысл (рис. 2.4) и связаны между 12о % 3. узкОпОлОсный стлш«онлрнын шум собой соотношениями р = $l а'+ Ь', «р = агс1н -; а = р соз «р, Ь = р з! п «р. В дальнейшем как сам шум $, так и его амплитуда, фаза и квадратурные компоненты считаются стационарныма случайными функциями времени. Можно показать (см.

2 5), что при этом условии представление в виде квазисинусоид(1) или (2) становится возможным лишь для определенного класса процессов $, а именно для процессов с симметричным распределением вероятностей: К гп($) =«в( — $). Рис. 2.4, Геоь«етрический смысл огибающей р (!), фазы «раб н квадратурных компонент о(!) и Ь(!) узкополосного случайного процесса. (а) = (Ь) = О. (2.3.3) Используя (2), составим выражение для корреляционной функции В(т) =(йс,): В (т) = — (аа, + ЬЬР) соя озет + (а,Ь вЂ” аЬ,) з«п в,т+ -)- — (аа, — ЬЬ,) с оз (2вв(+ ввт) — — (а,Ь + аЬ,) в )п (2ве(-(- вз т). «) Подчеркнем еще раз, что представления (1), (2) физически оправданы и имеют конкретнмй смысл только для узкополосных процессов, поскодьку только для них изменение (во времени) функций р(!), «р(!), о(!), Ь(!) ь«ожив рассматривать нак лодуяяиию в обычном радиофизическом смысле.

Вь«есге с тем следует иметь в виду, что математические результаты я 3 — 5 справедливы в общем случае процесса с произвольным спектром. Заметит«, что фаза «р(!) иногда перестает быть медленным процессом. Действительно, есди точка А на рис. 2.4 переходит из второго квадранта в четвертыи или из первого в третий и ее траектория проходит через начало координат, то в момент обращения в нуль огибающей вс:««юнна фазы скачком меняется на и, каким бы мед.«енпым ни было двилщнне А. Очевидно, что чем уже спектр процесса е(!), тем медленнее движется изображающая точка 4 по плоскости ху (см. рис.

2.4); при этом изменение во времени случайных функций р(!), «р(!), а(!) и Ь(1) также будет медленным *). Корреляционные и спектральные характеристики квадратурных компонент. Статистические свойства функций а, Ь, р, «р и $ между собой определенным образом связаны. В этом разделе мы рассмотрим, какие выводы могут быть сделаны только из того факта, что эти функции стационарны.

Рассмотрим стационарный шум (2) с 5=0. В этом случае ГЛ 2 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ !!з-за стационарности зависимость от времени здесь должна исчезать; следовательно, (аа,) = (ЬЬ,) = о'р (т), (2.3,4) (а ) = (Ь') = о' = (во), (иЬ ) = — (П,Ь) = оо()(т), (2 3 5) При этом В (т) = аор (т) сое вот — аод (т) э!и вот = оо)с (т), (2.3.6) где )1(т) — коэффициент корреляции: )((т) = р (т) сое (оот — () (т) е)п вот = г (т) сое [вот+ ф (т)~, (2 3 7) (.)=Ер*о)»(*(.), Ф()=юч',(,*).

()Зв) Корреляционную функцию В(т) можно также обычным образом выразить через спектр 6" (в) (см. (1.3.19а)): В(т)= ~ 6(в)е-и ((в=~ 6 (в)соэвт((в (2.3.9) СО о или, если ввести новую переменную Я=в — в„ В ('т) = соэ (оот ~ 6» (во+ ()) соэ ()т ((()— — з!п вот $ 6" (озо+й) е)п ()т(((). (2 3.10) — о)~ Сравнивая (6) и (10), находим, что о'р(т) = ~ 6»(оэо+!)) сое !)Т((1), (2.3,11) ао() (т) = ~ 6'(в,+ ()) е!и ()т(((). (2.3.!2) Из этих формул видно, что функция () (т) является нечетной функцией т: ч( — ) = — а(т)* в частности, () (0) = О, т.

е. в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты некоррелированы: (аЬ) = о'()(0) =0 (2.3.13) (см. (5)). Из (12) также видно, ч о если спектр 6 (ш) симметричен относительно частоты оз,: 6» (во — (1) = 6+ (во+ !1), то () (т) =0 при любых т и согласно (6) В (т) =-о'р (т) соь ш„г. (2.3.14) 127 % а эзкополоснып стхцпонхгиып шум Функция р(т) обладает всеми свойствами коэффициента корреляции стационарного процесса: р(0)=1, р( — т)=р(т). Преобразуя по Фурье корреляционную функцию: (аа,) = (ЬЬ,) =о'р (т) = ~ 6»(в»+Й) сов 4)те(ь1, легко убедиться, что спектр интенсивности квадратурных компонент равен симметричной относительно в» части спектра 6'(а) процесса $: 6,(ы) =6»(ы) = —, ~ р(т)е'~е(т= — (6'(»з» — ы)+С (»з»+ы)].

Вычислим статистические характеристики комплексной амплитуды А(Е). Из сравнения (16) и (1), (2) следует, что А(Е)="+2 ' = -р(0 '™, 2 (2.3.17) а (Е) = А (Е) + А» (Е), Ь (Е) Е (А' (Е) — А (Е)). (2.3. 18) Пользуясь формулами для корреляционных функций квадратурных компонент (4) и (5), нетрудно получить для комплексной амплитуды стационарного шума следующие соотношения: (А) = О, (А') = (АА„) = О, (А А*) = о'Е2, (2.3.19) (АА,")= — 1р(т) — ь)(т)1=- ~ 6+(ы»+Е))е '"'еК1= а» 1 Г сй»» 1 6» (ы) с и»~» е(~ ~ — сь»л ( 6 (ы) е-!Ои,Е~ ~ 1 Г о о где 6(ь) — спектральная интенсивность шума $, ($)=О, В(т)= ) 6(в)е-' 'дсо.

(2.3.20) (2.3.15) При этом вид спектра квадратурных компонент существенно зависит от выбора частоты а» (рис. 2.5). Статистические свойства комплексной амплитуды узкополосного процесса. Часто вместо вещественной записи (1), (2) через огибающую и фазу или квадратурные компоненты мы будем использовать и комплексное представление случайного колебания: С (Е) = А ЕЕ) е'"'и + к.

с. (2.3.16) )22 гл. у. людкли случдпных проциссов и полы При га(0 функция 6+(о))=0, д~~~ т.е. 6'(ь,+ь2) 0 при ь2( — аы. Поэтому выражение (20) можно переписать как 1 Гимар о иа го (АА,*) = — ~ 6г (о)о+ ьа) е-'от с(т, (2.3.21) и, следовательно, оо 26'(а)о+зз)= 2 ') (АА,*) г'~'г(т, (2.3.22) т. е.

корреляционная функция (АА,") комплексной амплитуды н е смещенный на о)о спектр по поРис. 2.5. Зависимость формы спек- ложительным частотам связаны тра каадратуриых компоисит от преобразованием Фурье. выбора частоты ы„. Как видно из(20), (АА„') имеет, спектр уепополоепого случайного про. вообще говоря, как вещественную пепла О+ ИМ ао ееел случеял одни а тот же. (четную по т), так и мнимую (нечетную по т) компоненты. Если спектр 6'(а)) симметричен относительно п)„то д(т)=0 и функция (АА,*) будет чисто вещественной: В (т) = оар (т) соз п)от, (АА,*) = - а'р (т). (2.3.23) й 4.

Узкополосный гауссовский шум (2А.2) Анализ статистических свойств огибающей и фазы случайного процесса с наибольшей полнотой может быть выполнен в том случае, когда а и Ь являются гауссовскими случайными функциями. Процесс 2, зависящий от а и Ь линейно, также будет при этом гауссовским. Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда а, Ь и $ стационарны. Согласно (2.3.3) процессы а, Ь и $ имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии: й=Ь=$=0, а'= 62=се=оп, (2.4.1) т. е. их одномерные распределения идентичны: ) 1 2пп 'у 2йа ) и) (ь) е — "-что* 1'2чо 4 с такополосныи гхтссовскии шгм Распределения огибающей н фазы.

Из гауссовости а н Ь и отсутствия корреляции между ними (см. (2.3.13)) следует, что в совпадающие моменты времени а и Ь статистически независимы, т. е. их совместное распределение вероятностей имеет вид а*+Ь 1 в(а, Ь)=в(а)в(Ь) = — ехр( — —,, ). (2.4.3) Переходя в (3) к переменным р и йс д (а, Ь) п=рсозчь Ь=рз)п~р, — '=р, д(р, в) найдем совместное распределение огибающей и фазы квазигармо- нического гауссовского процесса: в (р, ф) = в (а = р соз ф, Ь = р з)п <р) ~ ' ~ = — — е Рчза1.

д (а, Ь) ! 1 р д(р, е) ( 2я аа (2.4.4) Функцию (4) можно представить как в(р, ~р)=в(р)в(ф), где в(ер) =сопз1. Следовательно, подобно а и Ь, случайные величины р и ф в совпадающие моменты времени также статистически неза- висимы. Проинтегрировав (4) по р (0(р(со), получим в(ф) =2 —, $ (р) бай=1. (2.4.5) Таким образом, фаза <р имеет равномерное распределение и все ее значения в интервале ( — и, и) равновероятны (рис.

2.3, в). В ч 5 будет показано, что распределение (5) являетс ~ универсальным, т. е. равномерным распределением обладаег фаза любого (не только гауссовского) квазигармонического стационарного процесса. Разделив (4) иа в(ср) =1)2п, найдем распределение огибающей гауссовского процесса: (2.4.6) Это так называемое распределение Рэлея (рис. 2.3, б). Моменты и равны: (р'") 2'и!оы (ры+') = ~/-. (2п+ 1)!! о'"+' (2.4.7) )Гя(2 ! РВа I!1, (]= = п= — ] = —, — = —, (р) ~ — ! =и!2. (2.4.7а) р) а ' (р) а ' ~р! Распределение интенсивности. Интенсивность 1 узкополосного процесса связана с его огибающей соотношением 1 = р'12, причем 2 б С. А Алаааов а др.

130 ГЛ. 2 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Переходя в (6) к переменной /, нетрудно убедиться, что для гауссовсксго узкополосного процесса распределение интенсивности является экспоненциальным: гп(/) =в(р =р'2/)~0/ ~ * е и' =( ехр( — / ) (2.4.8) рис. 2.3, г). Моменты интенсивности равны согласно (7): (/л) (рял) П!Нал П) (/)л 2л (2.4.9) тле г' Ро(т)+во(т), ()=Р(т) с(маг — фт) — ч (т) з)п(ф — фт), ~(! ! л61. Проинтегрировав (10) по и и фт, получим двумерное распределение дли огибающей: з о в (Р, Рт), )о( — — ! ехР ~ — — ~. (2 4,11) РРТ 1 г Ррт! 1 Р +Рт т оо (! — М) (,1 — го оо! 1 2оо(1 — го) ~' Аналогично находится двумерное распределение для фазы; 1 — го1 1 и/2+агсз(п () 1 ЬР, тт)- — ~ — +Р 4 2 ~ ! ()з (1 рз)агз (2.4.12) а также условные распределения: в(рр,) Р / ° рРрт) (' Р*+ "Р.*1 ' (Р .