Автореферат (Оптимальные вложения конусов функций со свойствами монотонности и их приложения)

На правах рукописиУДК 517.51Бахтигареева Эльза ГизаровнаОПТИМАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ КОНУСОВ ФУНКЦИЙ СОСВОЙСТВАМИ МОНОТОННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯСпециальность 01.01.01. "Bещественный, комплексный и функциональный анализ"АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико - математических наукМосква 2017Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации факультетафизико-математических и естественных наук ФГАОУ ВО "Российский университетдружбы народов".Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизацииГольдман Михаил ЛьвовичОфициальные оппоненты:Осипенко Константин Юрьевичдоктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры общих проблем управлениямеханико-математического факультета МГУ им. М. В.

Ломоносова.Ильин Алексей Андреевич,доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудникФГУ «Федеральный исследовательский центрИнститут прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН».Ведущая организация:ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет».Защита состоится «10» октября 2017 года в 15 ч. 30 мин.

на заседаниидиссертационного совета Д 212.203.27 при ФГАОУ ВО "Российский университетдружбы народов" по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495a .С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) поадресу: 117198, г.

Москва, ул. Миклухо - Маклая, д. 6 и на сайте "Диссертационныесоветы РУДН" в сети интернет (http://dissovet.rudn.ru).Автореферат разослан «» июля 2017 года.Ученый секретарь диссертационного совета:доктор физико - математических наукСавин Антон ЮрьевичОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность и степень разработанности темы исследования.Диссертация посвящена построению оптимальных оболочек для заданного конусанеотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности. Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримых функций, оценкиположительных операторов на них имеют важные приложения в различных областяханализа, таких как, например, теория функциональных пространств, теория приближения, теория вложений, теория интерполяции.Проблема описания свойств монотонных операторов на конусах неотрицательныхфункций со свойствами монотонности и, в частности, задача о построении оптимальной банаховой или квазибанаховой оболочки для таких конусов весьма актуальна.

Онаявляется важной составляющей частью общей проблемы об оптимальных вложенияхфункциональных пространств, которая, в свою очередь, представляет собой важныйраздел общей теории оптимизации. Современное развитие теории оптимизации и ееразнообразные приложения в теории экстремума, теории аппроксимации и теоремахвложения представлены в монографиях А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова; АлексееваВ. М., Тихомирова В. М. и Фомина С. В.; В. М. Тихомирова и Г. Г. Магарил - Ильяева1 ,А.

В. Арутюнова и В. В. Обуховского2 , в работах К. Ю. Осипенко3,4 , А. А. Ильина 5,6 .Часть результатов главы 3 посвящена изучению вопросов об оптимальных оболочках для конусов на классе идеальных пространств7,8 , являющихся векторными решетками, при различных вариантах отношений порядка.

Общая теория таких пространств,в которых (квази)норма согласована с введенным отношением порядка (нормированныхрешеток) создавалась в исследованиях ряда известных специалистов в нашей стране,связанных со школами Л. В. Канторовича, М. Г. Крейна, С. Г. Крейна, М. А. Красносельского, таких как Г. П. Акилов, А. В. Бухвалов, Б. З. Вулих, П. П.

Забрейко,Г. Я. Лозановский , В. И. Овчинников, А. Г. Пинскер, Е. М. Семенов, А. И. Юдини др., а также за рубежом, в работах таких авторов, как Амемия, Бирхгоф, Бохнер,Дьедоне, Заанен, Иосида, Люксембург, Л. Малигранда и др. Развитие теории операторов в нормированных решетках до середины 80-х годов представлено в монографии Л.В.

Канторовича и Г. П. Акилова9 . Современные достижения и состояние этой теории1Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения, М., Едиториал,УРСС, 2003.2Arutyunov A., Obukhovskii V. Convex and set-valued analysis, De Gruyter Berlin, Boston, 2017.3Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках //Матем. сб., 205:10 (2014), 77–106.4Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко. Точность и оптимальность методов восстановления функций по их спектру // Тр.

МИАН, 293 (2016), 201–216.5А. А. Ильин, А. А. Лаптев. Неравенства Либа–Тирринга на торе // Матем. сб., 207:10 (2016),56–79.6С. В. Зелик, А. А. Ильин. Асимптотика функций Грина и точные интерполяционные неравенства// УМН, 69:2(416) (2014), 23–76.7Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов E. М. Интерполяция линейных операторов.

М.: Наука, 1978.8Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. New York: Academic Press, 1988.9Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва "Наука"Физматлит, 1984.3отражены в работах А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе, М. Ф. Сухинина.Цель и задачи работы.Объектом исследования в диссертационной работе являются идеальные пространства и конусы неотрицательных функций со свойствами монотонности в них.Предметом исследования является построение оптимальных идеальных (банаховых и квазибанаховых) оболочек для конусов неотрицательных функций с различнымисвойствами монотонности.Целью исследования является получение описания оптимальных идеальных оболочек для заданных конусов в явном виде.Для реализации поставленной цели в работе были сформулированы такие задачи:1.

Для конуса K функций со свойствами монотонности построить банахову идеальную оболочку методом ассоциированной двойственности.2. Рассмотреть различные конкретизации общей схемы построения банаховой идеальной оболочки для разных конусов со свойствами монотонности и получитьявные описания банаховой идеальной оболочки. В рассмотрение включены конусы убывающих неотрицательных функций в весовых пространствах Лебега ипространствах, заданных с помощью двухвесовых интегральных квазинорм.3. Для конуса K функций со свойствами монотонности построить квазинормированную идеальную оболочку с помощью нестягивающих операторов.4. Рассмотреть различные конкретизации общего метода нестягивающих операторови построить в ряде случаев явные конструкции таких операторов и определяемыхс их помощью оптимальных квазинорм. В рассмотрение включены различные конусы убывающих, обобщенно убывающих и двояко монотонных функций.5.

Реализовать метод построения идеальных оболочек для конусов в классах идеальных пространств с введенными в них отношениями порядка. Получить явныеконструкции нестягивающих операторов и идеальных оболочек для различныхвариантов конусов и отношений порядка.Научная новизна полученных результатов.Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми.В частности, получены новые применения принципа ассоциированной двойственностидля построения идеальных банаховых оболочек. Разработан новый метод нестягивающих операторов для построения идеальных квазибанаховых оболочек для конусовфункций со свойствами монотонности.

Описанные методы применяются для построения идеальных оболочек для различных вариантов конусов и отношений порядка.Теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функциональных пространств. Они носят теоретический характер, дополняют многочисленные исследования ряда авторов, могут быть использованы для установления оптимальных вложений4пространств обобщенной гладкости, пространств потенциалов, для получения точныхоценок монотонных операторов на конусах.Методы исследования. В диссертационной работе рассмотрены два общих подхода для построения оптимальных оболочек конусов функций.

Один из них базируетсяна методе ассоциированной двойственности. При его применении строится ассоциированное пространство ограниченных интегральных функционалов для заданного конуса.Доказывается, что оно представляет собой банахово идеальное пространство (кратко:ИП). С помощью принципа двойственности устанавливается, что ассоциированное кнему банахово ИП является минимальным, в которое вложен данный конус. Этот метод позволил решить ряд важных конкретных задач такого типа. В то же время, егоиспользование связано с наличием определенных трудностей и ограничений. По мереусложнения рассматриваемых задач существенно усложняются конструкции ассоциированных норм, которые в данном подходе необходимо строить на обоих этапах. Конечно, развиваются и совершенствуются методы таких построений.

Для описания ассоциированных норм мы используем методы дискретизации и антидискретизации. На этомпути есть, однако, и принципиальное ограничение. Ассоциированное пространство дляконуса является банаховым. Соответственно, таким же является и ассоциированное кнему оптимальное ИП, содержащее данный конус. Тем самым, метод позволяет строить банаховы оболочки. В то же время, в ряде случаев эти оболочки могут быть ещесужены за счет использования квазинорм, не являющихся нормами. Таким образом,актуальной является задача о построении оптимальных квазибанаховых оболочек.