5-6 (Лекции Лунева PDF)

Семестр 4. Лекции 5-6.Лекции 5 - 6. Стационарные задачи квантовой механики.Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Частица в трёхмерномпрямоугольном потенциальном ящике. Понятие о вырождении энергетических уровней.Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный эффект. Сканирующий туннельный микроскоп. Гармонический осциллятор.Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме.Частица массы m находится в ограниченной одномерной области, за пределы которойона проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения.

Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила. (Говорят, что стенки ямы непроницаемые для частицы).Математическая постановка задачи:Область    x 0  x  a .UU0, x  Потенциальная энергия: U  x    , x  Т.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функциячастицы вне ямы равна нулю:   x   0 при x  .Следовательно, на границе ямы волновая функцияxдолжна обращаться в нуль:0a  0  0 и   a   0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничныхточках:  0  0 и   a   0 .Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния:   2  E  U     0 , которое в одномерном случае для области внутри ямы приметвид:d 2  2m 2 E   0.dx 2d 22m2Если ввести обозначение: k  2 E , то уравнение k 2    0 имеет решение в виде:2dx  A  sin  kx    .Для поиска значений постоянных k и  в решение подставляем граничные условия:  0  A  sin     0 , откуда следует, что можно принять   0 ,  a   A  sin  ka   0 .

Это значит, что ka  n , где n  1, 2,3,... , т.е. k Поэтому решение примет вид:n.a n   A  sin x . a aДля поиска значения А используем условие нормировки: P  0  x  a     dx  1 .20Ноa0a2dx  0 2n a1  cos x22A Aa22a  2n  2  n A  sin  x  dx  A  dx xsin x a.22 2n  a   02 a 0a1Семестр 4. Лекции 5-6.2. В данной задаче нет комплексных чисел, поэтому можно считать, что числоa22 n А является действительным и положительным, т.е. A .

Тогда  n  sin x.aa a Поэтому A 2Значения энергии частицы определяются из соотношения: k 22m2 n E    , т.е. a 22 2 2n - энергия зависит от номера n. Целое число n, определяющее значение энергии2ma 2частицы, называется главным квантовым числом.2 n В итоге, любому натуральному числу n соответствует решение  n sin x  и значеa a Ei n t2 2 2ние энергии En .n .

Пси-функция:  n   n e2ma 2Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или,как говорят, квантуется.Случай n = 0 не рассматриваем, т.к. при n = 0 получаем, что  0  0 , т.е. частицы нет вяме.Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основнымсостоянием. Остальные состояния (для n>1) называются возбуждёнными: n=2 – первое возбуждённое состояние, n=3 – второе возбуждённое состояние и т.д.Разностьсоседнихуровнейэнергииприбольшихзначенияхn:2 22 22 22 22E  En 1  En n  1 n2 2n  1 n2 22 2ma2ma2mama 2пропорциональна номеру n.Для молекулы газа с массой m  1027 кг в области с размером a  0,1 м эта разностьравна E  1038 n Дж или E  1019 n эВ.

Учитывая, что при Т=300 К энергия тепловогодвижения порядка ET  1021 Дж, то дискретностью уровней энергии частицы можно пренебречь.Но для электрона m  9,11031 кг в области a 1010 м (порядок размера атома)E 1017 n Дж, что уже соизмеримо со значением тепловой энергии.Замечание. Найдём вектор плотности потока вероятности для частицы в яме:ijgrad *  * grad   .2mi  *  *Т.к. задача одномерная, то j   jx ,0,0  , где jx .2m xx EИз соотношения для пси-функция:  n   n eiEntследует: jx  n i  * n * n n.2m xx 2 n sin  x  следует, чтоa a * n i   njx  * n n  0,2m xx т.е.

вероятность нахождения частицы в яме не изменяется.Из вещественности решения:  n  * n 2Семестр 4. Лекции 5-6.Частица в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнутьне может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила.Математическая постановка задачи.Область   x, y,z  0  x  a, 0  y  b, 0  z  c .0,  x, y,z   .U  x, y,z    ,  x, y,z   Т.к.

частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю:  x, y,z   0 при  x, y,z   .Следовательно, ввиду непрерывности волновой функции, она должна обращаться внуль на границе ямы:  0, y,z   0 и  a, y,z   0 ;Потенциальная энергия:  x,0,z   0и  x,b,z   0 ;  x, y,0   0 и   x, y,c   0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничныхточках.Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния:   2  E  U     0 , которое в трёхмерном случае для области внутри ямы приметвид: 2   2   2  2m 2 E   0.x 2 y 2 z 2Решение ищем в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от однойиз координат:   A  X  x   Y  y   Z  z  .

После подстановки  в уравнение, получаем:A  X xx  Y  Z  A  X  Yyy  Z  A  X  Y  Z zz 2m2E  A  X Y  Z  0 ,теперь разделим на A  X  Y  Z . Тогда в полученном уравнении видим:X xx Yyy Z zz 2m 2 E  0.XYZПервые три слагаемые зависят от трёх разных аргументов, но сумма является постоянным числом. Это возможно, если каждое из слагаемых – постоянное число. Например,YyyX xxZ zz k22 , k12 ,  k32 .YXZТогда исходное уравнение от трёх переменных распадается на три одномерных уравнения, ирешения этих уравнений должны быть ограниченными. Решая их с учётом граничных условийкак в предыдущем случае, получаем решения:nnnk1  1 , k2  2 , k3  3 .abc222n  n n  X sin  1 x  , Y  sin  2 y  , Z  sin  3 z  .abc a  b  c 8n  n n   sin  1 x   sin  2 y   sin  3 z  .abc a  b  c 3Семестр 4.

Лекции 5-6.Из равенства: k12  k22  k32 2m2E0находим выражение для энергии:2 2  n12 n22 n32    .2m  a 2 b 2 c 2 Откуда видно, что и в этом случае энергия принимает дискретные значения.Предположим, что яма является кубической, т.е. a  b  c . Тогда из выражения для энергии2 2 2En  n22  n32 2  12maвидно, что возможны случаи, когда одному значению энергию соответствуют различные псифункции.Определение.

Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковоезначение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний(для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Если кратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.Пример. Найдём кратность вырождения уровней энергии (с 1-го по 6-й) в кубической потенциальной яме.Вид пси-функции определяется набором трех натуральных чисел  n1 ,n2 ,n3  :E2k2m21 k22  k32  8n  n n   sin  1 x   sin  2 y   sin  3 z  ,abc a  b  c а значение энергии зависит от «квадрата длины набора»  n12  n22  n32  :2 2 2n  n22  n32  .2  12maЗначения энергии в приведённой ниже таблице упорядочиваем по величине.EКратность вырождения равна числу наборов «одной длины».№Наборы чисел  n1 ,n2 ,n3 Значение энергииКратность вырождения11,1,112 2,1,1 , 1,2,1 , 1,1,23 2,2,1 , 1,2,2 ,  2,1,24 3,1,1 , 1,3,1 , 1,1,35 2, 2, 2 61,2,3 ,  2,1,3 , 1,3,2 , 3,1,2 ,  3,2,1 ,  2,3,132 22ma 232 2E2 ma 29 2 2E3 2ma 2112 2E4 2ma 26 2 2E5 ma 27 2 2E6 ma 24E1 33316Семестр 4.

Лекции 5-6.Падение частицы на потенциальный порог.IIIU0E0x1. Частица массы m с энергией Е движется вдоль оси Х,сначала в области I, где потенциальная энергия меньшеэнергии частицы, и налетает на область II (на порог), вкоторой потенциальная энергия больше энергии частицы: U0>E (высокий потенциальный порог). Пустьдля области I x < 0, а для области II – x > 0.Примем зависимость потенциальной энергии в виде:0 , x  0U  x  .U 0 , x  0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2  I 2m 2 E  I  0 .dx 2Соответственно, решение этого уравнения: I  C1eik1x  C2eik1x , где k12 2m2E.В области I решение является суперпозицией падающей на порог и отражённой от порогаволн:. I   IПАД  ОТРIТ.к. уравнение падающей (распространяющейся в положительном направлении оси Х) на порогволны де Бройля должно иметь вид: ПАД  C1  eE i  n t  k1x  C1  eik1x  eiEnt,то в решении для области I падающей волне соответствует координатная часть:  IПАД  C1eik1x .Соответственно, отражённую волну де Бройля описывает пси-функция, координатная частькоторой имеет вид: ОТР C2 eik1x .IУравнение Шрёдингера для стационарного состояния области II:d 2 II 2m 2 U 0  E    II  0 ,dx 22mU  E .его решение имеет вид:  II  C3e k2 x  C4ek2 x , где k2 2  0Оставляем только решение, убывающее при x + .

(Этому соответствует условие того,что вероятность нахождения частицы внутри барьера убывает с глубиной.) Поэтому прошедшаяволна:  IIПРОШ  C3e k2 x .Граничными условиями являются непрерывность функции  и её первой производной x на границе порога при x  0 :dId I  0    II  0  , 0   II  0  ,dxdxC 1  C2  C3откуда получаем систему для определения коэффициентов: .ik1C1  ik1C2  k2C3Решение этой системы имеет вид: C2  k2  ik1  C , ik1  k2  1C3 2ik1C. ik1  k2  15Семестр 4.

Лекции 5-6.Эффективной глубиной L проникновения частицы в область порога называется расстояние от границы порога, на котором плотности вероятности обнаружения частицыуменьшается в е раз.Найдём L. По определению:откуда:e2k2 L  e , IIПРОШ  0 2 IIПРОШ  L 22k 2 L  1 ,LC32C3e k2 L2 e,211.2k2 2 2m U 0  E Замечание. Из последней формулы следует, что при увеличении «высоты» порога: U 0  эффективная глубина проникновения уменьшается: L  0 .Для нашей одномерной задачи вектор плотности потока вероятности имеет толькоодну составляющую вдоль оси X. Найдём её для падающей волны:ik1 x *ПАД *ПАД Ce  C1eik1x  *ii1ik1 xik1 x *ПАДПАДПАДjx   C1e  C1e 2mxx2mxx .ii2C1C1* eik1x  ik1  e ik1x   C1* C1e ik1x   ik1  eik1x  2ik1C12m2mПлотность потока вероятности отражённой волны: ik1 x *ОТР *ОТР Ce  C2e ik1x  *ii2 ik1 x ik1 x *ОТРОТРОТРjx   C2 e  C2 e 2m xx  2m xx .ii2C2C2* e  ik1xik1eik1x   C2* C2eik1x   ik1   e ik1x   2ik1C22m2mКоэффициент отражения от порога равен:i2222ikCОТР12jC2k2  ik12mR  ПАД  1,i2C1ik1  k2j2ik1C12mт.е.