5-6 (Лекции Лунева PDF), страница 2

частица отражается от порога полностью.2. Теперь рассмотрим случай, когда энергия частицы больше высоты порога: E>U0 (низкийпотенциальный порог). Пусть опятьIII0 , x  0U  x  .U 0 , x  0EU0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния вобласти I:d 2  I 2mx0 2 E  I  0 .dx 22mСоответственно, его решение:  I  C1eik1x  C2eik1x , где k12  2 E .В области I решение является суперпозицией падающей на порог и отражённой от порогаволн:, I   IПАД  ОТРI6Семестр 4.

Лекции 5-6.где, как и в случае высокого потенциального порога, для области I падающей волне соответствует координатная часть  IПАД  C1eik1x , а отражённой - координатная часть ОТР C2 eik1x .IДля области II:d 2  II 2m 2  E  U 0    II  0 ,dx 22mE U0  .решение имеет вид:  II  C3eik2 x  C4eik2 x , где k2 2 Оставляем только прошедшую волну  IIПРОШ  C3eik2 x .Граничными условиями являются непрерывность функции  и её первой производной x на границе порога x  0 :dId I  0    II  0  , 0   II  0  ,dxdxоткуда получаем систему уравнений для определения коэффициентов:C1  C2  C3.k1C1  k1C2  k2C3k  k 2k1Решение этой системы имеет вид: C2  1 2 C1 , C3 C1 .k2  k1 k1  k2 i2Плотность потока вероятности падающей волны: jxПАД  2ik1C1 .2mi2Плотность потока вероятности отраженной волны: jxОТР  2ik1C2 .2mi2Плотность потока вероятности прошедшей волны: jxПРОШ  2ik1C3 .2m22ОТРj k k CКоэффициент отражения от порога R  ПАД  2   1 2  не равен нулю!C1j k1  k2 Это означает, что в отличие от классического случая, когда при E > U0 частица обязательнопреодолеет «горку», в квантовой механике существует ненулевая вероятность того, что частицаотразится от «горки» при E > U0.Коэффициент прохождения (прозрачности) порога определяется по аналогии:22j ПРОШ 2k1 C3D  ПАД  .C1j k1  k2 22 k  k   2k1 В частности, получаем что R  D   1 2     1. k1  k2   k1  k2 Прохождение частицы через потенциальный барьер.Из результатов п.1 предыдущей задачи следует, что вероятность обнаружения частицывнутри порога при E < U0 на некотором расстоянии от «ступеньки» не равна нулю.

Поэтомувозможна ситуация, при которой частица преодолеет конечную область с потенциальной энергией U0, хотя энергия частицы Е и меньше U0.Пусть частица массы m с энергией Е движетсяIIIIIIвдоль оси Х, сначала в области I ( x < 0 ) , где потенциU0альная энергия меньше энергии частицы, и налетает наобласть II, в которой потенциальная энергия большеEэнергии частицы: U0 > E. В отличие от предыдущей задачи, будем предполагать, что протяжённость области IIxa07Семестр 4. Лекции 5-6.конечная: 0  x  a . Далее простирается область III, в которой x  a , где энергия частицыбольше потенциальной энергии. Примем зависимость потенциальной энергии в виде:0 , x  0U  x   U 0 , 0  x  a .0 , x  aУравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2  I 2m 2 E  I  0 .dx 22mСоответственно, решение:  I  C1eik1x  C2eik1x , где k12  2 E .В области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отражённой от барьераволн:. I   IПАД  ОТРIДля области II:d 2 II 2m 2 U 0  E    II  0 ,dx 22mU  E .Решение имеет вид:  II  C3e k2 x  C4ek2 x , где k2 2  0В области III:d 2 III 2m 2 E   III  0 .dx 2Общий вид решения:  III  C5eik1x  C6eik1x .

Отставляем только прошедшую волну:  III  C5eik1x .Граничными условиями являются непрерывность функции  и её первой производной xна границе барьера:dId I  0    II  0  , 0   II  0  ,dxdxd  IId II  a    III  a  , a   III  a  ,dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентов:C1  C2  C3  C4ik C  ik C  k C  k C1 22 32 4 1 1.  k2 ak2 aik1aC3e  C4 e  C5ek C e  k2 a  k C e k2 a  ik C eik1a2 41 5 2 3Решение этой системы имеет вид: C3  k2  ik1  ek a eik a C2C5  k ik1  e  k2 a   k2  ik1  e k2 a222 k2  ik1  ek a eik a C8 k2  ik1  k2  ik1  eik aC12k 22152k 2 k2  ik1  e k a eik a C22k 2  k2  ik1 15, k2  ik1  e k a eik a C2152k 2,C1 ,2ik1C2    k2  ik1  C3   k2  ik1  C4    k2  ik1 2ik1C2   e k2a  ek2a C4 5,2k 22ik1C1    k2  ik1  C3   k2  ik1  C4    k2  ik1 4ik1k2e ik1a15, k2  ik1  ek a eik a C22k 215  k2  ik1  k2  ik1  e k a eik a C22k 215,Семестр 4.

Лекции 5-6.C2 C4 ek2 a e k2a   k2  ik1  k2  ik1  k2  ik1 2e k2a   k2  ik1  ek2a22ik1  k2  ik1  e k2  ik1 2C1 ,C1 .C3 2ik1  k2  ik1  ek2a k2  ik1 2e k2a   k2  ik1  ek2a2C1 , k2 ae k2a   k2  ik1  e k2a2i2C1 .2mi2 2ik1C5 .2mПлотность потока вероятности падающей волны: jxПАД  2ik1Плотность потока вероятности прошедшей волны: jxПРОШКоэффициент прозрачности барьера:j ПРОШDjПАД22C5C1 k22k2 21 2k2 a 221 e4ik1k2 e k2 a ik1a e k2 a   2ik1k2  e  k2a  e k2a .16k kk22 e2 21k k2 ae 4k12 k2 2  e  k2 a  e k2a 2 2D  e 2 k2 a  exp  2m U 0  E   a  .Для барьера произвольной формы, заданной в виде функции U(x): 2 x2D  exp    2m U  E dx  ,x1где интеграл берётся по интервалу (x1, x2), на котором выполняется неравенство: U > E.Определение.

Туннельный эффект или туннелирование - это явление преодолениямикрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаясяпри туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект - явлениеисключительно квантовой природы, невозможное в классической механике.Замечание. В классической механике энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий: E  EK  U . В случае если E  U формально получаем, что EK  0 .Следовательно, в квантовой механике нельзя определить энергию частицы как сумму потенциальной и кинетической энергий. Это выражение справедливо только для средних значений.Приближённо можно считать, чтоКвантовый гармонический осциллятор.Квантовый гармонический осциллятор – это квантовый аналог классической задачи ободномерных колебаниях материальной частицы под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия. В этом случае потенциальную энергию можно выразить через смещениеkkx 2от положения равновесия в виде U .

Круговая частота колебаний частицы равна  ,m2m2 x 2поэтому выражение для энергии примет вид: U .2Квантовый гармонический осциллятор – это одномерная модель колебаний микрочастиц.Эти колебания могут быть вызваны тепловыми движениями или колебаниями под действиемвнешних электромагнитных волн. В классической механике при колебаниях механическаяэнергия сохраняется, поэтому в квантовой механике эту задачу рассматриваем как стационарную.9Семестр 4. Лекции 5-6.Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния), описывающее квантовыйгармонический осциллятор, имеет вид:U0xлось на единицу n  1 .d 2  2m m2 x 2  2 E  0.dx 22 Оказывается, что данное уравнение имеет непрерывные решениятолько в случае, если энергия частицы выражается в виде:1E  n   .2Следовательно, уровни энергии отстоят от друга на одинаковуювеличину  (эквидистантные), поэтому энергия осциллятораможет изменяться только порциями, кратными  .

Число nопределяет уровни энергии, поэтому называется главным квантовым числом.Для квантового осциллятора существует правило отбора –энергия меняется так, чтобы главное квантовое число изменя-Существует минимальное значение энергии: E . Меньше этого значения энергия2осциллятора принимать не может.Таким образом, можно сказать, что модель квантового гармонического осциллятора непротиворечит гипотезе Планка о дискретности уровней энергии системы и о существованииквантов.Наличие минимального значения энергии колебаний системы говорит о том, что всюэнергию у системы «отобрать» невозможно. Что в свою очередь, не противоречит теоремеНернста о недостижимости абсолютного нуля температур (как состояния с нулевой энергиейколебаний).Сканирующий туннельный микроскопРассматривать отдельные атомы можно с помощьюустройства, использующего квантовый эффект туннелирования – сканирующий туннельный микроскоп(СТМ).

Точнее, сканирующий туннельный микроскопне рассматривает, а как бы «ощупывает» исследуемуюповерхность. Очень тонкая игла-зонд с острием толщиной в один атом перемещается над поверхностьюобъекта на расстоянии порядка одного нанометра.При этом согласно законам квантовой механики, электроны преодолевают вакуумный барьер между объектом и иглой – туннелируют, и между зондом и образцом начинает течь ток. Величина этого тока оченьсильно зависит от расстояния между концом иглы и поверхностью образца – при изменении зазора на десятые доли нанометра ток может возрасти или уменьшиться на порядок. Так что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлементов и отслеживая изменение тока,можно исследовать её рельеф практически «на ощупь». Создание СТМ стало значительным шагом в освоении наномира.

В 1986 году сотрудникам Исследовательского центра компании IBMв Цюрихе Герду Биннигу и Генриху Рореру за это достижение была присуждена Нобелевскаяпремия. СТМ позволяет увидеть детали поверхности с разрешением в сотые и даже тысячныедоли нанометра. На самом деле, это графическое изображение того, как меняется зазор междузондом и поверхностью для поддержания постоянного значения тока. Взаимодействие зондаСТМ с электронными оболочками атомов даёт возможность изучить самые мельчайшие подробности, доступные на сегодняшний день.10.