Введение в теорию ТФКП (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП)

аизаоавроам зыоиеюо и орадиого оивииаквиого обраоозаииа СССР йооиозоиоа ариаиа Лаиииа и ориаиа Трудозозо араозого Виаиеии зиоиеа вазавиаозоа училииа зиоии Н.Э.Вциаза Д Х+Щ~ гдо х а Ц - двйстлатвльиив часлв, в (».1 (Символ ( 4 ивэипавт Обнчао мииаой ОДИИиивй).

Праисиаотса обсааВЧОИВИ д. Яе г (дайстлвтодьива часть), в ~=~3пз (ипвмви часть,) 1 2. Оо 6 ачос авоб ло 6 ои попогс по Подсбас топу ввк дойСтвитольлв6 ЧИСЛа Ивсбрааввтсп ВОЧ'" дава числовой осв, поиапекспио числа авобрслввтов точлави плсспости ддф (рис, ц, Точлв Мй6) азобрвпавт поМ плопоаоо число 2-х+~~ . Зоптор ОМ ~Х,ф, пвп в лвбой ДРУРОП~ Рвппий Вму ( Я ) ф ф ) р тахи6 Илипотсв апобрвдо~пви числа Я= хм~ . почав дч, ДО) а пептср ЙИ~ ~40) Иасброааат Чпспо Я ~+0 1 = 1 .

Пзобрвпопип лссх друфС дсйстлитольпвх чповл топо лопат пв оси дХ . Поптоиу ось ОХ иазвлаотса двйстватальиой осьв. Точпв Мл Й) д и повтор дал ~О,4 ввобрввавт число 7=061~=1 . Паобрпввиив всех других иииинх чпссл топо лопат ив ров ду . Повтому Ось ()Д паввпвотсп апиной осьв, йлоспость хднф иапылаотсв поиплокснсй плссисстьи Пе игономст чосввп О ив аоиплсно Ого числа Зводем вв плоскости ЛОД вопириио иосрдипетп солиостаи полос о точкой (0,0), 6 поляраув Ось с Осью Ол ; — полпрлий угол точки . дт Д П) , .с - полярный рвдаус втой точкИ.

Ч я $ м з ф у то пе определепиа> П>-.уе "(Х>-'М'4Ь -У4 ймевт место ралепстла: айда =айс1д ~+с прп Х >О при Х< () дед НРЯ Х О д О. ~уМЛ = ~~ пр >>Фу >. = — — Ири и Д Х= О д>О Х> О у~~) Пай пввввтяо яв ввалвтачесмой теометрм ометрми» Х-7Ы~У, у=й л>пК тогда я-'Х ау=рсо3у'-»Ми1, т.е. >>" Полврпий радиус 3 точка М(Х,ру> пвобйапавщей иомвлеиопое часло Й' д+~у , яавмпаетоя ампулам втоМ пеимчепспстс числа, в полярный утсл >Р точим М - втс Вртумептов. /у/ = /Х+~ф. ~Щ+У~ . Ар;гумеят иомялеисвсго чмолв определяется ае «дповмв точаоотьа до олагаемото, ирарното Гл .

Ппалиым чпе> а с у навывавтся пвпмепьаее ио абсолвтяой ввлпчмае, ° о -У~ ~уМ~П м К, 4. ралвпотво ксмплвиспих чисел. Помклвпслыв чвсла У> "Х, ~д п У =Х +~у" тогда м тольао тотда, псгда х, = Х +су, равны Иле ив >- г У> =УС . Рвлпые жсмисаме числа пзобралавтся рвлныии ьеиторамм или одной п той ле точпой. Йсли у,=у~, то /у,/=/у / 9ЖА ' ОЙуА ', Айда> "А~уу„+Р>и к.-р й. Поп якепяив иоиплвко е чпсла. ' Пзе помплепспых числа у -х+ (у оаряпенаыми.

Течам, мвобрваеюмке оопряаениые числа, самметрпчпы отиоомтвллпо двйотпнпвльпой оси» Очеппдио> > и/ = / П/ бь;~ у -с'Фя' Й> (рмо. 2)Ф Й +Х (Х .>Хц>+ (>у>+Цл) ° ймчитанмв определяется, ааи действие, обратПОВ Олопвлвв. Очезпдно, при олоаепив (илм вычитампп) комплексных чисел ивобрааавщив их >ввпторы оиладыламтся (или вычитаются) яо обычным пралплаы ивиториой алтвбры (ряс. П), йлместные неравенства, слявилаэщве сторонн треууольника> приниыаат лид: Оледует ваметнть, что модуль равнсстп двух еоыпл6исных чисел ранеп расОИОякаа МЕНЛУ точнанн, ивобралавщимя эти чисж. Йслм Л>> ДВННОЕ ЧИСЛО тс УРВЛНеппе /У-Я>,> 3 СПР6лелвет мибпестзо точен Я „ отстоящих от 2~ па одпои н тоя ие рвостоянии 3 , т.е. является уравнвя~еы окруапости с щентр~м Й' ) н радвусоы 3' .

7. Умножение ксмплекспых чнсел. Помплеяопнв числа перемпоаавтся яо обычпым правилам алтебры, нак дзучлен на двуЧлеа. Жела л> Х>+~У, лл -Хл+ф > > то У>'Я'е "/х +.щфл~елЯх,мл-р>дл/+4/х>де~ х»дф Отметим частпий случай: я.Д'"»/Х+Е)/х щ~ д > д .К л *'/и/ т.е. произведение двух иааплекспо сопряпеппых чисел клляетоя дейстпптельным числом, раппым квадрату пх модуля.

.Пусть ксмплеисмые числа авданы з трптопометричеоиой Форме ,7> 2> /сс~ч' + ~ Й>> >>>'>>> ул 8л > >"с1 >>>,> > >ЯР >>>л>>, ~/я7СаЮЧ.;ЮГ = уЗ (СМ вЂ”",,"" ( ~и "-'-ф) Корень . и -й степени из комплексного числа имеет и различных . значений, повучаищихся иа атой Формулы при к = О, 1, 2, ... п-1. " ' Зсф оии ммеит одинаковые модулы, равные арифметическому значе'", Ини нория и -й степени из модуля данного яомплексного числа, ":.„ И.ийсбраиаится точнаыи, располоиеннымн на окруинссти радиуса (~3 - с центром в нулевой тачке и делящими ее на и равных ", частей (рис.

«). 5 1. Основные оп сделании Заеден определения некоторых понятий, поторые будут кспсвьзованы в давьпейием. 1. 5 - окрестностью точки С~а,Ю,) номплеисной пиоспооти (Иии комплексного числа С = а +(8 ) называется совокупность :, " точен ( К, у ), распоиоиенаых внутри онруиностн радиуса б ,(рис. б) с центром в точке С (вви совокупность коыплексфих : чисеи У =х~(9 , удовиетворяющих неравенству /Я-с~~Д' .). 2. Областьи (отхрытой областьи) )) (рнс, б) называется иноиество точек плоскости хОд , обладающих следусщими свойствами: а) если точна Я принадленит мноиеству В , тс мону иноиеству обязательно принадвеиат и все точки некоторой окрестности точни б) если точки ~, и У~ ярииадвеиат мнсвеству З , то их монне соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точен мноиества З .

3. Границей области Э называется совокупность таких ' точен (.". , которые сами не прннадлеват области, нс лсбая онрестность потерях содерипт точки, принадлежащие 27 . и уйм-уг~ в ~А~-%д, Ь-щ)у ';::."' Г)кнь 1. О Гель тй комплексных чйсел. Ф.4~, ФУНК( И КОМПЛЕКСНОГО ПЕИИЕННОГО Е. Область Я , к которой присоединена ве граница, навызается замкнутой областы. б. Ксли граница области состоит иэ одной замкнутой линии 1 то область казылается однослязной (рнс.

7). Если граница образозана л эанкнутыми линиями (яе имемцимя обцих точек), то область называетсн П -связной ~некоторые линии границы могут вырсидаться в точку или разрез). б. Последовательностью комплакспых чксел назылается бесконвчноа инокество комплексных чисел, которые'могут бить перену- мерованы .Т г .~л .~д ,:.,„- флск4июьФ Йиости Тогда и Ю=~Д'Х+ ц) ц ц~,, Таким образом, эадаяиа функции комплексного перемеяногс к'=ф~/ равносильно заданию двух действительных Функций И и 1 кандан ие которых заиксмт от двух действительных переменных Х и Я В.лещ ~~мюр евин ~ ~ ю .! Г Р ~ ю б юй РВУ Р ю юлу~ю б~ !ьи: Задать последовательность - зто значит задать правило, с помоцьм которого какдому натуральному числу П сталится в соотзетстзив конплекспре число 2„ .

Коротко последовательность обозначает ~Р„/ . Так как Я„-- Хи+~У,, то задание последолатвльностн комплексных чисел ~ Я„)' равносильно задание дзух последозатвльяостей дейстзптельнйх чисел ~М~,) н ~9 ) 7. Голо ят что в области 0 комплексных. чисел .~ задана Функция ыl = л йслн улацан закон, по которому какдому = аймак Т вв з ~м~ю щ~юмю~ еж вз ~ююою конплекснйхчнсел И~ . В первом случае Функция наэызается одиозна ~ной, во втором — многозначной. яв3ю 2~ ~м * ~а~шм ~ д и~ Фтнаюв л'/. а совокупность Э, всех значений И , которые /~~/ припииает на 0 , - мнокеством ее изменения.

8. Так как значения Функции й~ комплексного пврененпого у ':,' тоне являются конялвксными, то обычно обозначает Я =Х+1ц й~= 0~ ~Ь'. значения пезавкскмай переменной Х (рис. 8) изобракаются точками некоторой комплексной плоскости (плоскость ( Я ) ); соответствующие пы значения Функции ы/ изобралпются точками другой комплвкскай плоскости (класкасти ( ь' ) ). уахию образом, Функция комплекспого переменного и~= т(к) осуществляет отобракение области З плоскости ( Я ), па которой Функция определена, в некоторое множества З~ точек плоскости ( ь( ) . В дальпейием рассматриваютск толька такие Функции, дяя которых ипожества З, является областью.

Ври атом устанавливается к обратное соответствие: каждой тачке ч/ из Ю~ ставится в соответствие одпа или несколько точек Ы области Л . Зто вначит, что на области З~ задается Фуякция Я коыплекспого переыепнаго Ф : Я 9"(Ф|» которая является обратпой по отяо- иввию к Функции и/=~Д~к) . если Функции (("(ы() и /® одно- впачяы, то ыевду областями Ю и Зк устепавлилается вваиыио одкозпачпое соответствие.; Ф функцией в обйиртп З » ра ласти ова пркпимает равлйчпйе' впачепйя. Функция, абпаткая одпслистйой, является Рассыатрии некоторые ппрстейиие примеры функций камплекспсго перемекяого и выясним их геаиетрический смысл. - комплекспые впвчеппя Фупкцип ц а'=й, с Ях.'у) (р фф,х- ~,у+в,~+фх+ ~у бл) Так у пикейной Фуикции выделяется действительная и мнимая чаоти: и(у, у1= ((х-а,д,а,, ьф,у|=ы,,х+ '(и-(,ъ 12 Я =я+(У а=ы,+Ы, 4-,)3~~ с/к И~= О+Ю - певависмйае комплексное переменное, | - поатояппые комплексные козффпциепты, $февидпо, линейвая Функция определена на всей комплексной пла- ;Ф)кости ( 7 ), я на пачкой и (при (2 Ф и ) алка~укаткой; братипя Фуыпцпя Е = д такие оуовваачпа (при и -' 0 ).

к)»)ею»» ~~» ю ~~ » ~ »»»»»» Фу»»»... »»»»м, ы»:,'»»»ю»~ ~м» ~ (»»»» ю»»»»»» ~ (» ) пкость ( (А' ) при помощи липецкой функции . Рассмотрим преиде некоторые частпые случаи. м=й.б. Вспомипая векторную интерпретацию сложения двух каиплекспых ' айл, приходим к выводу, что при отабракеяпи все точки Фигуры 'вмвд»аются в одном и том же направлении па одно и та ке раостая- ()й»'в':(па вектор 8 ), т.е.