Введение в теорию ТФКП (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 3

~ ~ф~, ц); с= а+с'6, ;" Тогда Р ~ ~=МИ- У(ч-~ )*; )~~(-с~-Яи-о)'+(и-Ю/' Пс определению предела: Оолм Л'т ф;/= с, где обоваачемо 4УУ Щ-фл ~ -, прирецеяис Фуащма, Зй л-А - прярацеяме аеэависимого мереиеикого. Иек видик, это очределеяие яепрермвиости опять в точпссти совпадает с оцределеияем яепрерывяости Фуяяции действитеаьиогс . переиеаного. Зыясяим, палима свойствами Ьбвадамт действитель-.

ная и ппяиая части Фуияция ~9/ » иепрерывяой в томме З»» . 6 Ю-Ф.~ ~ "Хт (У Щ= и('к,.4+ ~у('у у) у, »,х,+еу, Яу„)= (у(у,У~я(~„ф~ ° «.е. Йю/и(х4~т ( (Ъф= и~», ф~ ~ ф, у.) У.» У» то Й6 0~4; ф- "ОЯ Ц йп ф', у/= )ф~, у ) У «У» У У» Непрерывность Функция ~ф в точке Х. эквивалентна яепрерывяости двул Фуяяций у~ду) я У~~, у) в точяе ( ле у./ Фуякцяя ~~у~ , непрерывная в каждой тачке области,.

яеэывеется яепрерывной в этой области. Для дельнейшего полезяо иметь в вяду теорему: Функция ~Я , яесрсрывнен в эемянутой области 3 (иля яе ээмкяутой кривой Л ), ограничена в этой области (или па кривой ~ ), т.е. суцестэуст таков число Ф 0' что ф~У// М для всех У из Х) (вля ыэ ~ ). Доказывать эту теорему эдесь не будем. Геометрические свойстве непрерывной Функция вы)имеет следумцея теорема: если Функция И/» ~фя/ ыеярерывяе в области Х~ и ссуцествляет взаимно однозначное отобрелеяие атой области па яаксторое мноаество Я~ в плоскости ( Ф ), тс З, такие является областые и обратная Функция У - т", ы/ текле несрсрыв-: яа в Э~.

9 ч. йроуущщщ »ты» ь" М- щвовмчи~в м»»»~, юр»»зива» яв Фбааета В , При переходе от почия с я иочие Х.где дпцаи получает ирирацепие бту - буем л4-у(4 Ирапеводиой от Фуяяцпп )у'»Ф) в точас г ааэывается дел отиоаемап арцрецеяаи Фуаяцаи. л ы~ а прпрацеиим пеэа» юе»»» и»е»е»в й»»»рв»щввитю 6»»ааю»В»»» евши промэвопьио пропэвольпо Фуимция, имемцаа й трчпе Я п)юиэводцум, аааываетоя диФ.Фареаццруе»иой в атой точке,, Если Ьндцмя диФФерейцируема""ие" ;йеаьяо в тсчле Я , ио и в иеяоторой ее окрестаости, то сиа мйпааатса" регула»риой~аир)й(ййцайдцй) 'в"точас Х .

Фуийдца ' йаййЖт»са»р»эгу»ла»рас»й (апалитической) в обла»сти х>, есаи опа 'дпФФерепцяруема в иаадой ее точке» Фуцпцая» ддФФеф69дфаиап в 'аацпе Я ф обяаательяо в втой тоЧПЕ Пепрерывиа» Дейотиийелвяо~ пусть оуцсствует предел Йп7 ду' = МГ ° Тогда лл и Я'= (у' ~~ля,) ' ( с((л4 - бееяопечио малая велачииа); »б УУ' = К'.д7 т о»' Л Я и Д~~ц д$р' = ~ ° Курву» Ж~»о~ »м' "- О, Я»»" О лх-с лл о ' что а требовалось допевать. диФФереацируапость Фуиацца а цачиа, и,е, еуцаацэоааайа адцого а тога аэ предеаа 4м~ Я црц прсаааааьпам ар)щдйпии й д к пула, иааладывает иа Фуцяциа фп~ аексиорые Тогда м'= 6в ех а Пусть теперь Рыс. Рб ,йХ=а, Ы=сЩ Но тогда 28 ограничения.

Действительно, пусть функцкя М=Щв точке У имеет производную И~ = ~'® . Обозначим ~ф/= ц~'Х,4т~ФУ/ ф~ДЯ/=и~Х+,ПХ,У .бф~йф йу, УЧ~~. Д~;М-4(~~ и~Х НХ,Р яр~-ий ф~4~Х М Умр~-Р~Ф дф Йгй дх а ФХ~ АЩ Ау.» е Вычислим производнуи двумя реаличныыи способами (рмс. Ю). Так как е У макет стремиться к пуиз произвольно, полонны сначала ли=о ля = йх. И, 4',У'"М РМ Ж~ у, Ь'.С 3~, с,ау ду Е ду т Эу е Но результат вычисления ке долкен завпоеть от того, каким способом точка,У+а.Р нрмблызается к точке ~, поэтому Эй .

Ж~ 'сч, Ж~ эх Й э~ эу. — — — — с— Этн соотношения называются-условмямн Капп-Рныене-- йтак, если функция дпфферейцпруеме в точке, то опа удавлетворпет в втой точгс условиям Коан-Рпзизпе. Слездове".епьнси И И, 06 ЕЯИИИИ ВИИВ ИОО И ~О~~~, "' ОВОД 0 ~~ И В ЗИВИ ИММ 00 В ООЗВОВИ 600 ЗЯОЗВВВЗВИ ЗОЗИОВ ЗОЮИЯ ВВВ ЗОВИ ' И ВВ~ЯВ ВВИВ6 ' ИВ О,'ЯМОВОВВВИВ .:Иыполкепие условий Копы-Рамена и иаидой точке области деота'чко' для регулярности и' втой„~ф~щщй.фущщйи: й:выыепзлопеиного следует, что кроииводпан регулярной функции ',иет быть представлена выбей ыз следуэщкк формул: 9ы Эы' '3~~ Ъ~1 Эи Зм '~~, Эс' Й , дХ дУ ЭУ Ж ~У Примеры.

Последовать на регулярность данные функциы И~=''х' 2 = ~Х+ ~У~в = (Хв-9~) + ~ 'РХ9; О~ХД=Х~-У~ ~~Х ~)= ~Х~ 30 сХ Зь' ~и =~У ЗЦ Зу ~- = Гх, Частные производные Л ед з — „. е —, определены и непрерывны при любых Х и у и удсвпетворяют условиям Копы-Рамаза. Функция В'= У ~ регулярна ка всей комплексной плоскости ( Р ). ~Кл» ф~~ф" дядей Г~ Е~, 2. Рч ф ~-сД у хФ4д лл+цж р Ку( М; ф як~ул Эк яыр $4 ('лэ~щ" во дь' д~' Частвма ПРОКВВОДПЫЕ КЫ Фы а- ЭУ ОПРЕДЕЛЕКЫ а ЦЕПРЕРЫ ' всюду, где . ул- Ыл ~ О, а удовлетвсрявт э втах ~очках уел,.

паям Копя-Рямапа. Функцкц рг ф регулярда эсвду, кроме те мк У П в. Ы- У'. И(хд/ = Х Фх =~ Уу 9~ У условия Комп-Римана яе жиолкевы, Фуакцмя и/ Х ке являет регулярцой кк э одной точке плоскостк. Проавэодпая Д~' ме цествует~ Так как осяовкые теоремы о пределах првмааяыы текле длц фуккцам иомплекокого перемеяпого п определекае промеэсдцой хряпает сэсй вкд, то все правкла к формулы дкфферепцярозаквя действктелького апалква спраэедлквы я для фувкцвй комплекса керекеакого.

Каппа точка, где фуккцпя перестает быть регуляркой, щи ваатск особымк точками к, К кям прнкадлелет> в честкоотя, те мочки, где фуякцмя яе далеке. Особая точка фуккпвв .у('У» пмивается мвалпровек- еслв .около етой точки мокко построить теиув окрестность, ря которой функция других особых точек не имеет. Яапркыер, фуккпям И~= у точка ~ =О являетса меолпровакной осо,й точкой. ~::,..., Введекпое эдесь покятке регулярной Функции теспо овяваао с оторвав дкфферепцмельпымм уравкекяямя в астмах проквэодпых, Продвфферекцкровев.яерэое условие Кспм-Рввеаа по л , а д'ы д ы врое яс д к словак ях, получям Вх= бра = О .

Продмффе- цкровав первое условие по 9 , е второе по К, п вычитая мв Р!., Р'- ОР го равекст3В другое, получкм ф>с' ' .~уз = 0 ° К~с, дейст авъпея к мкамак честя регулярной фуккции иЬ4» к ьйЧ~ втсп гаряоякчеоикмв фупкцмямв (онк удовлетворявт уравяепмв са) . ф б. Пояятке с ко о мпом стоб веням Пусть фуккпмя М~=Щ ммеет э точке У прояеэслыув = ~'~Я» Ф О . Зыяспкм ее гесыотрвческкй смысл. По опре- лепкв ф ГИ-а- М АЯ -~б спям не чертяках процесс вычисления прсквводпой (рис. РХ ), р гайй э. т 1. Ъиложй сяйй Д, ~ йю д'в-Йщф„+~3„,~)-й~иЗа ~А~пЯ4, .; Очвзидио, предел алела и оба предела справа могут оущестзаявть ;аппп одновременно, т,е, имеет вещь творвма: для тога, чтобы :-сходилоя ряд с псмплвкаяымп члвявии Л са Х (О~+иби), п~обле вю :;- ходимо а дсстяточао, чтобы охадялиоь абв ряда с дейотзительпяык ; .клопами Х Ос ц Л бв .

Зтв теорема и дает способ исслв:-,дозапия ия схадимооть рпдсз а комплвеспымц члвиямп, Примеры. а) рид Г ~(иск п +Жги~ расходится, так аап расходится и ~ Юо 'вами аайвамв~ш ню тавваа в а, х юФЙ ° '-У,~. -~в,~~) '',(а. иееавЩюиУ щ И ). .'Д б) рид Ю ~И - ~,- ~ Д +4 +~у -... сходится, тап пак аиадятся обв ряде кеми кв боксе простуа фигуру, ймввт место теорема: вали дани дзе одиаоиявиыв области -О к Х>а (прячвм, яи одна иа пих пв кзляетоя распаренной комплексной плоспоотьм, или плоакостьм о сипай зкпалотсй точкой), та существует регулярная функция М = ДУ) ~ отобралпмщвя Вовкино сдназявчяс к ксяформиа ,Р пв Э~ . йалев того, таких функций у(4 сущещзует бвспопвчко ипого Овцах празпл подбора топях фуккций пвт.

Уиаеаяпые аедачк чаща реавмтся с памсщьа дробно-линейкой фукяцип, поторак адно- ':; ваачяо опрвделквтся ввдвяпви трех пвр састявтотзующкп точек. и, пакояед, вщв адяо ввмвчвкив. Во всех предыдущих расоуядепаях првдпалегалооь, чта ~®Ф О . В тех .тацяпх, где кроказадквя регулярпой фупвции обращается я яуль, камрврмаоать атобрапеякя копет даруквться. Например, М Ы~ - рвгулариа поеду; И~ =~у "д при Я "О. 3 тсчпе И=О крвсбревсэвнйв пв будет кояфоряким: угаи мелку мучима, иахадыяимй иэ пулевой точки, узвлпчазавтся здзое (так иак Рвут" ЬЬУХ+Г~т).

йо завх других точках плоскости ето отобрвпеяив коафорпяа (рка. 22). 1. Чяолсзым рядом иввызается яырвмвние ЯС С Сл Св ° ° С ': гдв Сю. О, + ~'8в - помялепсяыв чяоля. „:'й~стясй суммой ряда иавызвется оуыма я первых вго менов А-С, С,, С =~а УБ4 (О, ~'6л). -~а„УЦ=~'О,~а~ .. +а /~~Й~~Юл',..~К»~- 4 у4у, буммсй ряда ияеызввтоя првдвл послвдслвтвльяоотв чватиых аумя йт А "5', паля ряд имев» сумму, то ац яаеызвется сходящимся.

Ряд модулей оходятся пря / р. ~~ям/ »- или /у-О/ - 6>» р>— > С«> н расходится при /~-а/йв /сс"'/~ / /с«! мл /~-а/ ь>'т р=~ Обовпачмм - д у «'~"' /Ся»/ Тогда окончательный рввультвт ныгдядмт тап: прп /У-И/ ~ К (т.в, знугри прута) ряд подумай сходится, а поэтому данный стс- ' Ваиявй ряд сходится абсояютно, "з напдой точке >у , знвнцвВ нс отнвнвямс к кругу с цвнтрои й радиуса И , т»в.

прц /Е-а/>У,' ряд надумай расходятся, но это свнвчавт, что прн а- опций':! член втого ряда /С, /К-И) / пв стремятся х ну>м>> поэтрму расомотрнм .. «рь точку я , удсзлвтзоряащую нвйазецству /у->>/ »-/м» вЂ” >х/ , причвм ивзватно, что з точна М, рад рао- ходится. Момвт лн ряд опаваться оходяцныся з точке у Т .Пчввидпо, нвт. если бы вто имею мвсто, то, па унв доквнацпСМУ> ряй схо- Дцзоя бы и з точна В» > что Протмзорвчпт уоцсзцм, Понтону з втой точна 0 ряд расходится.

хворвмв Абвзя домввана, йв творвмы Абвля схедувт, что у вояиого сйвпвийого ряда.-су- 'цвстзует круг сходияостн некоторого радиуса А' , з наядой экую- рвнпей точке которого ряд сходятся, в наядой знвипвй расходится. Оуцестзумт ряды, у псторых Р-О нзи Р« >"> . В. Круг сходимостн ствпвнпого ряда монет быть цвйдем с по- мсцьм признака Лалвмбвра . Чтобы сделать втодхя данного ствнви- псгв ряда У С«/Я-4" состазлявтая ряд модузвй 2." /С«ф-а/" «» «.» Это » ряд с дейотвмтвльпымн позохмтвльяымм чмвпамн. Ивзвстна таорвиа: вали у впвкополоннтвльного чмраозого ряда Я И« У> «"» суцвствувт предал 4»> Щ~ , то ряд сходмтоя, когда втот прядал меиьиа вдпннцы, н расходится„.когда втот предвя больна единицы.

Применяем творему н ряду модулей: )с..~~э-о>" ~ ». 1с., > Ш7 / / / ,/« = — ~РП ,. Ьт с«/?-бу" таххв будет отличая ст нуля, т.в. з втях точявх Я ив змпозпвно цвобходнмсв успсвмв сходммости рида и дан- : яыВ степенной ряд с помпзвпсными члепвмм расходатся. 4. Чтобы нсслвдопать поввдеяяв ряда на окрумностм круга '>» : Сходимости, пашням /У- й/=А". Ряд мсдухвй примат зяд Я /с«/ К"; а) вони этот ряд сходится, то данный ряд нззявтся схсдя,.цммся абсолитно з забой точна окруяпоста / г -й/ =>ч ; б) вози ряд модупей расходится, причем й» /С / И »ьд то данный рнд расходится зо мосх точпах спрунпостм (пе змполявц ',необходимый привнап сходнмости)> з) вопи ряд мсдулвй раоходмтся, по 6»» /Сл/А>" д > то з .