Агаева - пособие по ТФКП (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 4

Выберем положительный обход области, т.е такой обход, чтобы область оствввлась слева Переводам окружность от точки -3 до точи. 3 в полуось О>х от точки О до бесконечно-удаленной точки. Тогда точке 3 должка ~ зрейти вес > а -3 - в О. Получим +За+3 -ЗО.

>11 З ажО' О, „ д.е-ЗС, бе+За, И= — у-р . Для определения — используем тот Факт, что хорда от точки 3 О. да точки -3 должна перейтн в полуось О», поетох4у отобразим любую точку хорды в любую точку полуоси ОУ, например тсч- О - ° ку 9~я Ь . Полу в 1.е-ф .

Фун лня ЕеЬ Мх-Ь отобразит полукруг в 1 четверть плоскости Ъ4 . й-Ь Д'еперь рвэвернем 1 четверть полуплоскости ~М не вск> чолуплоскость >М Для етого угол нужно удвоить, в, следовательно, функп>по нужно возвести в квадрат Получим О. Найти Функ'лпо, отображаюшую лунку Хг+~~~~, Х~+ (Ц-11)в2~ 1~ СО в верхнкко полуплоскосзь. Найдем угол между дугами данной лунки. Окружносц с пентром в начале координат составляет с оси ю ОХ угол ф . Найдем угол наклона к оси ОХ второй дуги.

Для этого определим ц гд+2(ц-4)У' О; ~'е-+'„, ~'Р,О) н 4. Вторая луга составляет с осью ОХ угол ф следовательно, угол между дугами ф . Окружности, составлнющие угол $ мшкно перевести в прямые под таким же углом. Переведем ниж- нюю окружность в полуось 011, точку -1 - в О, а точку 1- в оо Получим Ми — ° у . Вершною окружность переведем в О жй С э- ° луч йО, составляюший с осью Ой угол $ . Проиевош ную точку окружности переведем в такую точку луча, чтобы пощ„й+1 чить ~~ в 4 .

Тогда функпия Мк — 1 отображает данную лунку С в область О ь Отчий ж . Чтобы получить верхнюю полуплоскость К ) нужно этот угол умножить на 4, а, следовательно, функпню воз- вести в четвертую степень. Получим искоыую Функпню ~4а~З+~ Щ й-1) 6, Н йтн функщпо, отображаюшую полосу шириной 2, идущую под углом -$ к оси ОХ, на верхнкао подуплоскость (рис. 39). Рис.

33 3) Полученная полоса на верхнюю полу >лоскость. дет иметь вкд 1й(аЕ3 ! 1) Повернем полосу на угол -ч- . Пля этого й умножим "уй на Е „)~,а 3 х.~ ~)'.~~~~а (~ „~К), 2) Растянем полосу так, чтобы ее ширина равнялась 1>, Для этого функшпо 1Ф! умножим на Й и разделим на 2 )й»,.~Я,-~й~.~-~ ~ ~~ функпьей 1 (= с»'4 отображается Следовательно, искомая функпия бу- ~ф (»- Е'.) й )й(а Е Кот н аа еХ 0 1.

Нэ>!ти линейную функцщо> отображающую а АВС в д А'В'С*, если А(-2,0), В(0>2), С(2,0), А'(2>0), В'(1>-1)> С'(0,0). 2. Найт-! такую дробно-линейную функпшо, отображающую полуплоскостьЭл>Е ЭО в круг (1!>») <2, чтобы точки -1,0,1 перешли соответственно в ттчки 2, -21, 2, 3. Найти функпню, отображающую по>в>круГ )а( ь», Ъй Й Э»> в верхнюю полуплоскость. 3ацание д>а»»сй( Найти линейный коэффнлиент растяжения и угол поворота при отображении с помощью функпин Ъ>»а~® в точке ке % 28, ~®аИ; йа»-~ .

М 28, !А)х — ~аз Я~43 !.. % 27. Определить, в каких очках нарушается конформность отображения функщ!я '»» а 32 -»3Ь +33Ь. Н> 23. Найти линейную функшао> отображающую»1> АВС в » А'В'С', ес.щ А(0,2), В(4 2), С(2>0), А'(-3,0), В'(-3,8), С'(0,3), уф 29, Найти таку.з дробно татяейную функпню, отображающую полуплоскость Йй аьО в круг )Ъ4 б 2, чтобы точки (,,0,ь перешли в точки -2(.,2,2(..

М ЗО. Найти фунхпию, отображаЮЩУЮ СЕГМЕНТ 1 Х~+Ц 4 (а) (уэЪ Х в верхнюю полуплоскость. Лч 31. Найти функшпо, отображающую лунку ~ !4 4 (; р Ц3+(.! 34;. )( в верхнюю подуплоскость. Ла 32. Найти функлчю, отображающую полосу шириной 3 и с~- стевляюшую о осью ОХ угол— (рис 40). и ЗАНЯТИЕ 3. Ряды в комплексной области 6 1. Чцсловый р~ядц с ко ны ле 1, Признаки сходнмости." Фв ао а) ряд с комплексными членами Е Сп Е (О.п+(ойв) ем ам сходится тогда (и только тог1ш), когда сходятся два ряда с действительными членами Е Оа, Е Ьп ' м4 па 4 б) ряд с комплексными члзнаьщ Е Сп= Е (Оп+За~ сходит- ам ам ся, воли сходится ряд нз модулей его членов, т.е. ряд е в,)=ела„5~„ 2, Определення1 а) ряд называежя абсолютно сходящимся, если сходится ряд иэ модулей членов денного ряда; б) ряд называется условно сходяшнмсн, если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится.

Примеры исследовать на сходнмость следующие числовые рядьн 4+а. лм Выдегчм пва ряда нз действнтельныккжленов с 1)х н с ам е С Е~ а э «» ~~-Щ«Я, ряд ~~, ес4ж ф й4 «'~, то расходится. Следовательно, внутри круга 1э а» «и данный ряд сходится абсожотно, вне круга ряд расходится,' так как расходится ряд яз моду~ей и предел сбшиго члена ряда отличен от нуля. На окружиооти мса"ут быть как точви оходимости, тэк к точки расходимости. 4. Исследование поведения ряда в заданных точках. Пля исследования сходимости степенного ряпв в заданной точке нужно установить, где лежат эта точка. Если точка лежит внутрп круга сходимостн, то в нзй ряд сходится абсолкжио.

Если топка чежнт вне круга сходнмости, то в яей ряд расходится. Если точка лэжчт на окружности> то в ней ряд может как сходвтьсж, так я расходиться. б. Исследование поведения степенного ряда на окружностигранипз облаоти схопнмоств. В граничных точках )э-б» ~й . Поэтому подставим в степенной ряд из модулей вместо ~й-й~ эго значение к . Получим знакополюжнтелькый числовой ряд ч ~ ~ а" .

При ксслздю- с.~ Со~~К ванин этого рида возможны слепучощяе три случаю а Й ',) 1С4 ла сходнтся. Тогда во всех точках, лежа- ва ших иа окружности )к "Щэ К, степен..ой ряд сходнтся абсолютно. й) Е1'4Й" р сх и ЬЕЩ'й ' И ~О т,е, йаэ ~~ еа не выполняется необходимый признак сходнмостн. Тогда степенной р ) х ру Р-а[ей б) Я ~Сэ~ Я, расходиччж и 6~~ ~Са~'й О, Т<к'да ЮИФ веем на гранила ькн"ут быть как точки расходимости так и точки условной сходкмостк. В етом случае данную точку нужно подставить в данный ряд и ~сслэдовать иа сходнмость полученный числовой ряд, Примврьп. определить облаоть схолимости данньпс степенных рядов и исследовать сходнмость этих рядов в заданных точках э~ а ээ ~ ~~Щ.~-2Ц Ф" ПГЬ» 1) Составим ряд из модулей членов данного ряда 2) Применим к полученному ряду признах Даламбера НО ' .П Д+» Ь+»-2~.

, Лмй л х '[и онов+~-ы" 3) Ряд будет сходнтьси, если попучанный предел будет меньше единиды, !й+(-2д» ( . !й+»-гЦ сг Следовательно, областью сход~..юсти даняого степенного ряда является круг с лентром в точке -»+Ы н радиуоом вэ2. Внутри круга ряд сходится абсолютно. 4) Исследуем поведеяне ряда на гранила области сходимости, т.е в точках окружности (Ь+»-2» (эЙ .

Подставим в ряд из модулей вместо1Ь+»-21.! ето значение 2, Получим ээ 2л ээ жЕ ~» 1»" П~~+» „., дТМ( Этот ряд сходнтсяе как ряд Дирихлэ ( у а»,5 у М ). Следова тельно, в любой греничкой точке данный ряд сходится абсолютно. Областью сжодимости данн»ко жда будет )й+»-Л4 ь2. 6) Выясним, как ведет себя данный ряд в точках Ь»,йх Ью В~э-»+ Фь . Подставим Ь в )й+»-ЛЦ вместо й, Получим )-»эФь~» 2~'-) Е . Значит точка Е~ лежит на гранила. Следовательно, в точке и» степенной ряд сходится абсолютно. , Подстат з» Ех в ~~~»-Ль~ выест%, Полу чим ~»е»-2ь|= М Е4 . Так как точка Еклежнт вне 21 круз а сходнмооти, в этой точке ряд расходится, йьк (ейск . Подставим Ьз в !Ь+» 24 вместо Е . Получим И+Ыь(-24 в2. Точка лежи.

на гранкпв н в н41' ряд сходятся абсолютно (рис. 41). Зк 2, ~ ~, / ~1-»+Ц ~ ~,э-2+Йа~ Йээ2-Е ' %ке»-М~ эм ~,,)д+» ! 1) Запишем ряд из модулей Я ~~ ) 1(к-(~4 „.,Ь.+»1 2) Применим к полученному знакоположнтельному ряду радикальный пряэиак Коши 3) Ряд будет скопиться, если подученный предел будет меньше едннипы ~~"- с1 ' ~~-4+"1сд Р Областые сходимости является круг с центром в точке 1-~, и радиусом 3. 4) Лсспепуем поведение ряда на гранина, т.е. в точках )в - ~+Ц ж3 .

Дпя того в ряд нэ модупей подставим вместО 1а-1+ ь| его значение 3. Получим 3(Ы ' Г())'=Ь-.—.')' Исоледуам повод.ние П -го члена подученного ряда а Г ~ Ье+'07 В~ "ф я Так как предел й -го члена полученного числового ряда прн П-еоо отпнчен от нуля, то ряд рас: однтся, а следовательно, во всех г~ 1яичных точках расходитси данный степенной ряд. 3) Исспедуем поведение ряда в заданных точках %» Иь к Ь~ а -Й+Йь. Подставим в ~Й-"Ь Ц . Получим «"3 ч.ь-1+Ч= )-ЗтЗЦ еГ9+8 = ЯГЕЛЬ, Точка %~ лежит вне круга, в точке Ь| ряд расходнтоя.

Ц, ей-йь, Подставим в )'.-~+~4 . Получим ф-~ь-4+Ц = )1-Ц Й СЗ. йа лежит в круге сходнмостя, в точке кк ряд сходится абсо- шотно Цв 4-Нь. Попстаим в ~й-1+Ц . Получим ~Иь-~+~4ие. к3 лежит на гранина, в точке йн ряд расходнччж. 3. Я „; Ь~ 3 ~.; ж~а5- ' кЗ ~+2 я-,Й+ь ' „„, 9')"~па~) (ре~) Е "Й+1Л 3 ( ОЬЬ+Ю ~) ~' 2) По признаку даламбера »е' » И+О пе Ь +4 !К-ЬЦ » м ЗЗ'~~н4Ьз(п+Щй-2+~4" 3 3) Область сходимости 1 й-2+А< Ь, 4) На гранили ~И-2+Ц в3, получим / »~з4 3"Ф.4) Ь(П+4) К Ь+~%Ф=6 Применй/и интегральный призйз" 3~~„вЬЬ [„в К Следовательно, рид из модулей расходится. Проверим необходимый признах схопимости йа ф+.Я ч 4) — -о. Так как яеобходимый признак выполнен, на гранина могут быть как точки расходимостн, так н точки условной сходимости.

Ь) Схолнмссть в точкак йа,Хх/Хц. у4-от~„, [~/'|.-2+Ц= [4+~ь~ Д+Ц яд <3~ в ~, ряд сходится абсолютно. Зх зс-ь. [5-ь "2+Ц 3 Так как зта точка лежит на границе, а на гранила поведение ряда точно не определено, то точку Ях нужно подставить в данный степенной ряд Ъь ф+4) 0+4 ~/ 3" ~ (П+4) 0+4 „Р (-.4) С, ~Ч+55~,'а+7 "С:„Пт4 фП+~ "4-', Ь~М2О Полу енный ряд сходится, так хак по признаку Лейбкипа сходятся ряды, составленные нз действительиых И мнимых частей. Следовательно/ данный стеленной ряд в точке йа сходится условно.