Агаева - пособие по ТФКП (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 3

д~ й)( д~ ' (27) 3) фф) диффереипируется по. обычным 'Формулам дифферен- цирования, известным для Функций действительного переменного, > например> (Ь(П Ь)абай >(Ь13) ~ и т,д, 2. Есш> функшш ~ф) аналитична в области О, то ее действительная и мнимая части являются гармоническими функ- а'~ аЪ пняь>и, т.е. удовлетворяют уравненшо Лапласа — + у- 0 ° дх' $ц' Условие гармоничности Функций 0(Х>1~) и Чф> Ц) является не- обходимым условием аналитичности функции $фв0ф,ф~(,Чф ф но не достаточным. 3.

если дана одна гармоническая функпия 0ф,~) изн Чф1,ф> то можно восстановить аналитическую функцию ~(й)-0ф,ф+~.Чфф .4ействительно, пусть дана функпня И(Х>Ц) . Запишем йроизводди Щ ную от функции ~ф) по формуле (27) 1(й)в ~~-( )1) Зная $($), можно найти первообразную $ф) с помощью ин- тегрировал>ш. Примерки 1 ° Убедиться в том> что существует аналитнчео- кая функш>я $ф) ° для которой функция Ч~ХЯ)аЗХ +2ХУ может быть мнимой частью и найти эту Функцию.

1 ) Необл,>днмым условием существования аналнтическои Функпни является тот факт, что ее действительная н мнимая ча- сти должны быть гармоническими функпиями. Проверим, являет- ся ли данная функшш Чф>ц) гармонической сти функции ~-„-а Е"СО31~; ~, = Е"СОЗЦ; дц— а-Е"ЫЛ1~; $-, = - Е"СО3~; 0Ь, д'О. Бг Д~г =О и$,ц)а Е СбЬУ -р --е функш . Й) Найдем ~~Я 1а)г г- -' $,Ва5Я ~й Ь~ПЦ.) 3) Выдепим ~ ~М. Е"(С33~ '.3'П1))вЕ" а""иЕ"'""ЯЕ-' 4) Найдем функпию по ее производной ~Ю =~ЕЧх =Р'+С. б) Найдем С ~фь)-Е +Се~ ~ Ра4; С=О; = ~~3)аЕ ЙФС й Конт ольное за ание Х 8 Убедиться в том, что существует аналитическая функция, дпя которой известно либо О., либо Ч . Найти ету функцию.

1, Ча ОХСФ~ф Х>0 а. и.асО3Х СЙУ. зшагаг~ Вычислить значение функции ф(Й) в точ~е % 13. ф)=31)(Д--~-); йеа2+ у. Ыо 14. Я=Р 1Ф 15,~$)аЬЙЬ; Е,=-~-+'.. )а1б.~ф)=Ь(1~ЬЬЕ); Еоа 2' М 17.~Ь)=Ьф; 3.а —,", ~.18. $3)аХЛЕ; ~.=В-Ь. ~~Ц =Рх+ Цз+2~)-3'+2(Х+ ' 1) -3'ее23. 3) Найдем функцию фЯ), интегрируя $ 1р) Ри=~~ь'+гй)й.-ь'3+3'+ С. 2. Убеднтьсн, что сушествует анапитическая функция ~)1а), дпя которой 1гф,~й)аЯ"С05Д является действитепьной частью, и найти вту функшпо, зная, что Я')ьь)а '[, 1) Проверим выполнение необкодимого условия анапнтично- Найти область анрлнтичности для следувкщх функдийн % 19. Ь) чС05й 1ф 2О. ~~$)аЗЙ й1ф З1 фааЕ" л Убедиться в том, что существует аяалитическая фуккпия, для которой известно либо Оф>Ц), либо Чф,ф .

Найти ету функдвзэ 1Н йз. Оф,фе2Х~-бХУ~-К. 1ф З4, Ч~й,Ц) СЬХЗ~ЛЦ +Ц.. ЗАНЯТИЕ 4. Геометрический смысл модуля н аргумента произ водной. Конформные отображения. Отображения, осуществляемые елементарнымк функлиями 6 1, Гсэ ет нчес й на 1. Ходуль производной в точке йе Ц '1%а)1 есть козф фипнент линейного раствжеиия в точке хе. 2. Аргумент производной в точке ке ФФЯ ~ 1,йе1 есть угол поворота касательной к кривой ь в точке яа при отобра женки ее в кривую 1 ~рно.,'Ж). для всех кривых, проходящих через 2а угол 1оворота будет постоянным, если фв) ч'О дрнмерьп определить коеффипиент линейного Рас™кения угол поворота при отображении данной функпней 'М з ФВ) в данной точке йе ° 1. Ч4 е Ь Ь, Ье а у" ~Г 1.

11 Найдем пронзводнув я вычислим ее значение в точке )М'=- 1М~й)з — - — =1-ь а 2) Найдем модуль производной в точке й»» 11а)~йД ~Н 7=0' Д- коэффициент растяжения. 3) Найдем аргумент производной в точке йэ ащ 1а4) з0хС$ф-1)з--~- л 4. следовательно, при отображении функцией 1»» э в точке ч" » у1. касательная к любой ликнни, проходящей через точку зэ, по- ворачивается на угол --ф., т.е. на ф цо часовой стрелке. 2 Ъч з Ь ' баэз+»' 1) ~4 вйй; 1а)Кэйр+4еб+2Ь, 2) )1Мфф~эД6+Й э%О "ЛЛО - коэффициент ли- нейного растяжения.

3) 0:ц) Ч'(й ) = аЪС1~ ~~ м ~Ь,5' сательной к любой линии, проходящей через точку йе, 3. Определить области, в» старых при отображении данной функцией происходит сжатие илн растюкение. ~11 = й'+Йй. Ч зййт2эйЬ 5). ~1М ~4 1 при ~ф+1~ < О»д Следовательно, внутри круга раднуоа 0,5 с центром в точке -1 происходит сжатие во всех точках, кроме точки к - -1, в ко- торой М/ Я О. ))цф)~)1 прн ~й+Ц~у0,5 Следовательно, вне этого круга в каждой точке происходит растяжение Конт ольн за а е ~Ф 3 Найти лннейнъ»й коэффн»щент растяжения и угол поворота для данных функций Ъ4х ~ф в данной то»ке хэ.

~~)зЫ~;~,зЫе1-в- 2, Ч =-~-; Е =1-Ьс 3 й-3 3. Определить область растяжении и сжатия при отображении Функпией Я =Ь1х-1Ф1), В 2, Кон мнью б е 1. Свойство консерватизма углов. Есин Ч4а ~ф) апанитична в точке яе н ).~%е) '4"- О, то две кривые С~ к 1ь, проходяшие через чючку хе ь отобра- жаются в кривые ) ~ и ) ь так~ т.о угон между касательными к ~ч и Фь равен угпу между касательными х ) 4 и )... Это свойство казываетсн свойством консерватизма угпов.

2. Опредепение. Отображекне И "- ф) называетсн кон- формным в точке Ее при у (Ье)40 ° есин оно обладает дву- мя свойствами: 1) свойством консерватизма углов, 2) постоянством растяжений. Зто означает, что с точиссчъю до бесконечно-мапых при таком отображении фигура переходит в подобную. 3. Теорема. Йпя того, чтобы отебражеине фуикпни Ъ4=ф) быпо конформным, в точке йе необхеднмо н достаточно, чтобы Ч4в Щ быпа аналитична в точке йе н ~~йе) фО. 4. Свойства хонфсрмиых отображений. 1) теорема Римана.

сушествует аналитическая функпия ~111) стобрежакнпан взаимно однозиачио и конформно одну одиосвнзпую обпасчь на другую, если ни одна нз этих областей не совпадает ° со всей расширенной ппосхрсяао нли с ппоокостью с одной выко- лотой точкой. 2) При отображении аналитической функпйей а) внутренние точки обвести переходят во внутренние точки; б) граничные точки переходят в граничные точни1 в) сохраняется направпвнне обхода гранины. 3. Главная задача конформных отображений - отыокание Функпни, отсбршхаюшей данную область плоскости а в данную обпасть плоскости И .

Эта задача не является однозначной. йлн отыскания единственной анапитической функ.ии нужно задать допопннтепьные усповйя. пусть область Р плоскости а имеет гранину 6 . Обпастьб ппоскости Ж имеет гранину ).. Нужно пайти аналитическую функнню ~®, отображаюшую21 в 6 н ь в Ь . Для единст- венности решения возможны спедуюшие дополнительные успения: 1) ка 4 сбр ж я в точку Чо, т.е, У% )вчФ и нзвеььен Угон аовоРота в точке й~, т,е. Фт$ чае) х ~ ° ЗО Ф 2) известен образ одной внутренней точки й~и О1 ф~)=ЧЙ и одной граничной точки йв з.1,~~())з) Мю/а, ~4~иб, ~у~а~ („а .

3) известны образы трех граничных точек й< йа Хьа~ 1(,з Ь.) а,з ~М; 1(,з ~М.) (-. йз, емые о з е а 1. Линейная Функция ЧМ з ОЛ.+Ь, Так как Ю =О.ФО для любого И, то линейная Функции анапитичяа на всей комплексной плоскости н дает конформное отображение в каждой точке. Так как ~Ч зО, то !(ц дает коеФФипиент растяжения постоянный во всех точках, а аргумент О. дает угол поворота также постоянный во всех точках. Ззпишем О. в виде О= (МЯ~'~ ° еа Тогда Функция ЪЧ ОЛ з(МЮ' к осушнотвляет поворот на угол е(. и растяжение в !О.) раэ (нпи преобразоваяие подобия с коэффициентом подобия (О.( н центром подобия в начале координат). Прибавление $ дает параллельный сдвиг на вектор О . 2, Функции чтз ~ конформна на всей расширенной комЫ- лексиой плоскости.

Точке О соответствует бесконечно удаленнан точка> а бесконачйо удаленной точке - точка й О, 1) Функция И(ш ~ отображает скружнооть в окружность, волн прямуш считать окружностью бесконечно бош шогс радиуса~ 2) шункция Ии ~ осушествляет два симметричных отображения; относитечьяо оси ОХ и относительно единичной Окружвссчи Даммеедйющ: точки И и К1 называются симметричными относительно окружности с центром в начале коордкнат и радиусом ((, если ОМ ОМ~=Н (рнс.

29), Рнс. 29 ис. 31 нс. 33 7. Погврнфмическвя функння ~Мяй В конформнь вс.сну, кроме й "0 . Она осуществляет отображение>обрат~ ое тображению поквзвтельноя функини (рис. 33), Вврхйяя логун. скость 5т % ФО отображается в полосу ~-ао < (1с~ ) ( 0 бЧ4')~ 8. Круговой синус 1М-Ь(ПЬ отображает (рис. 34) вертикальную полосу ) - й. ьхй и. в верхнюю полуплоскость (,ой~с ~11$ Ч4)~ О.

Приморьи 1, Найти точки, и которых нарушается конформ- ость отображения фуикпией Ж =на ой - чи в ° Данная функпия аналитична во всех точках плоскости, зна- чит конформность будет ~аруп~аться и точках, в которых произ- водная обратится в ноль. Найдем проиоводную ~М'в ВЬ -бе-42 а и ее нули. М(вб(Ъ+Щ-2)=О в точках 'ка -4 и ва2, Сле- довательно, в атил точках нарушается конформнооть отображе- 2.

Найти линейную функиию, отображающую треугольник АВС в треугольник А'В'С', если А(0.0), В(1,1), С(2,0), А*(2,2), В'(0,0). С'(-2.2) (рис. 88), У Ч Из рис. 35 видно, что нужно произвести поворот Ь АВС >'ь на угол Тс . йля этого % умножнм на 3»с0$''ь ь>'.ь1пЮ е-Фу т,е, на -1. йалее произведем преобразование подобия, ко>ффипи- ент которого равен коаффнпиенту растяжения 2, так как >>л> "~~" ~ = 2 .

Следовательно, -а умножим на 2, получим проме- жуточную функшпо Ч/>я "Й а > отображающую д АВС в л> А "В"С~. Теперь нужно осушествнть параллельный перенос всего треуголь- ника. Перенесем точку А в А', т,е. добавим координаты точки А', получим искомую функцию ~»(в -23+2 +2 ь. 3. Найти дробно-линейную функшпо, отображаюшую пслуплсс- кость Йй Ь)0 в круг)~Ф1 4 ) так> чтобы точки -ь, О> ь перешли в точки -ь, >, ь (рис, 36), РЫс. Находим функшпо и виде 1»1в ай+5 , Составим уравнении сено- СЬ+ сительно коэффициентов, подставляя в функцию значения данныи точек к н соответствуюших им точек )а1, Получим -ш,+б -1, = 3 .

1.а ° аЬ5 с~ьб. Решая систему уравнений, получим Сей > оь 5 > Искомая функция имает в>щ '»Ч' = Ь+6 й 1 -'5й+0 4. найти функпню, отсбрвжвкнцую полукруг 1й1с 3,цсО, нв верхнюю полуплоскость Зй1 1М 3О (рис. 37). Окружность составлнет с осью ОХ прямой угол, следовательно, окружность н хорду нужно отобразить в пару перпендикулярных прямых, а именно, можно отобреэить денный полукруг в первую четверть плоскости Х .