Агаева - пособие по ТФКП (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 2

б, ОЪ~Ь = А — уравнение луча, выходяшаго иа точки аэ0 под углом о( к оси ОХ ° В. ОЧ,~ф"0) эс(. — уравнение луча, выходящ~"о из точки 0 под углом с( к оси ОХ. 7, ЙФ Евй илп ХаО. - уравнение прямой параллельной оси ОУ. 8. Ъм Ь -" 6 нля ~в О - уравпение прямой пар,аиюльяой ох. О.!й-б.!~К - т о, к вяутри кщ ° с пентром в точке ккО. и радиусом Й и па самой окружности (рис, 10ы Т У ис. с. 13 по~ 10.

(И-Щ ЪК - множество точек, лежашик впе круге репиуоа Р, с пентром в точке О. (рис, 11). 11. ф-14+1%-%,~ р~(1 - множество точек, лежешнк вне аллипса я не семом эллипсе (рис. И). 1Я. йети Ра - лу ть-' оч и, ° шю р р йХ*а и и ра й(р .1й).' 13, 3дчЬ <() - полуллоскосчь под прямой ~=Ь (рио. 14).

Рис. 1б Рнс. 14 14. с(.< ач~(а-а) < (1 точки, лежашие внутри угла с вершиной в точке й~й стороны угла состевлавт о осью ОХ состветотве дно углы Аи 5 (рио. 16) 1б. Р-М -(й-й.Ь2аточки, лежешие на ветвнк гиперболы и обнести, содержешие тонусы гиперболы (рис. 1б). П об к плоск по ан е е еве Прнмерьг построить облести плоскости й ° определнемью нерввенствами 3. Правило отыскания образе линии. В плоскости В задана линия 99,Ц) = 0 . Найти образ этой линии нр плоскости Р( пр тобр и с мни фу~ пши Ъч' Я~) ЩХ,ф+И(Х,~).

Для решения этой задачи пужно решить систему уравнений , выразив Х и ~ через '11, и Ч ° Подставив подучен- (1.Ц. (Х,а иые выражения для Х я ц в уравнение данной линни, получим образ ~й линии плоскогтнМ:Ф ~и,М ) О. 4. Линейная фунхпня ЪЧэйй+О производит отображение по спзпутошему правилу: дрямая переходит в прямуш, окруж- ность — в окружность. 5. фунхпия И эф отображает поямые и охшужности, про- ходяшие черве начало координат э поямые таи как точка аэО отображээтсй в бесконечно-удалддную точку Иэ оэ .

Прямые и окружноотн, не проходяшие через начало координат, фувкпня Ъ~ ф отображает в окружности. ~чюалсгично производит отобра- жение функпия более обшэго вида - дробно-линейная фуккпии "~ се+ Примеръп 1. Дана линейная функщш И э Гз-Зь, Найти а) образ точки йээ (-() ~.) образ прямой Х $ = а 1 в) образ окружности ~В+ (- 4 э ~г, 4 г» образ треугошьнщсв АВО, если А(2,0), В(1,1), О(0,0), Получим «) 1Мэ ЯЙ,-З'; 1Мэ Л((-ь)-Зь = а-й», Тогда точка кэ= (-«отобрэжмеаа в точку М/ э 2-$ь (рис, 3)), Рис. 20 б) йлн нахсюкдения образа линии вмделим в данной функпии действительную и мнимую части ~М 2(х+(,ф«З(.аЯх+ф~ б).

$ Ц.ейй; ~,.ф„-3). Решим ету систему уравнений относительно Х и ц, Получим Хе, Оа~~ — . Подставив их в уравнение Х-Я=2, "изи й будем иметь ~ - и,— аД, и-Ч 7, Прямая Х- ~ е2 ото- Ч+3 брежается функшюй Ч( .2у, -~~ в прямую 0.-Ч' '? (рис. 21). Рнс. 2 в) .Так как в уравнение заданной пинии входит а; найдем К из данной функпии ЪЧ = 2 Ь - Ь (. и подставим в уравнение окРУжности ~)~)~У-+1-Ц = ~( ° Получим ~(И+2 +(.~ = ( Следовательно, охр.жность ~Ъ+ (- Ц = ф переходит в окружность ))4+2+ 6а1 с помошыо функции "Й=ЙЬ-З(.. (рис. 22). Рис. 22 Прямая ~ к ф Х, прохоряшвя череп нвчяло координат, отображается в ~6ййую Ч -4~И, проходяжую через начало координат Ьио.

24). Ч 2 Ф Рис, 24 б) Подстевим Х и Ц в урввиение прямой Х-Ц = ~, полу для а'+Ч и Ч $; -"-~ + . = ф; а'М'- йи -2Ч = О. ~ц.-4)'+ ~Ч-~)' - г. Прямея Х-Ц=-~ ° не проходяпищ черая.иаияпо коордиие... р д в ру ~и-9*+~У-~Уя~ иачело координат (пис„26). Рнс, 26 в) В уравнение окружности Хетаг~'-))Я подстевщ,~ Х и ц, вв1 реженпме череп ц. и Ч ф +Ч9~ ф, +У~) (г~ +Ч~) ) ~Х+Ч1 ц~~ ~ч Получим ЙЧ е 1 Ч -" ф ° Окружность Х +Ц " ))Д э проходя~цап через нйчало кс .рдяьат, лереходит в прямую Чк $, не лроходглцуго через начало координат (рис. 26). Е У М/ х И Риа кв г г г) Аналаичнс окружность ~Х+1) +Щ-4) а)( лереходит в ~-„.~~ «)' ~-р"-;Р -(,)*зй; и'+ ~'-ЦаЧ- ~( з 0; (0.- ф)'+ (ч~Я Окружность, не дров~лишая уерее начажг координат, лереходкт и окружность ( И" Ц +(9- $) а 1, не лроходлву о через начали координат (рис, х7).

ЗАНЯТИЕ 3. Элементарные функпни комгчексного переменного, их свойства, вычисление значения функпии в точке. Аналитические функп>п(, производная, отыскание аналитической функпии по ее действительной нли мнимой части 91. в >е ле е а ы к Вь ееие ействите н Вы испание нк за а ной точке и ним ча а 1. Основными элементарными функпиями являются Ь > Г > Ы.пс, со6 к > 5ЬЬ> Спй> алЬ.

2, Фуйкдкя 6~ и ее свойства: а] су>явствует на вс>ч плоскости а Е'яЕ""" =Е."~аьу Ьоп((); 16 )=6 ' 0"~~ Е, =$' 0.=~ СС5Ц, Ч б ЬО Ц (20) Ко о е еН>б 1. Дана функпня 1а>' -Л ок+ ( . Найти образ треугольника ОАВ, если О(0,0), А(>»2), В(О;1). 2„Дана функпяя Щ~ф . Йайти образ прямоугольника ОАВС, если О(0,0), А(4,01, В(4,2), С(0,2). 3. Дана функпия М/~ 3> . Найти образ квадрата АВСД, если А(1>0), В(2,8), С(2,1), Д(1,1), Зайание на ущ)а Построить области, определяемые следуюп>нми неравенства ' М-2! -М+~!ъЛ) Н,4.

"( Ь~-~; Н18. Р (-'!ьЧ2; жб. ) ~баЪ2 ф( с2. )й < очф-()Сф~ ~ (Е-Ч+)М+М(6, М'7. Дана функпня Ъ~(аЗ +30 . Найти образ треугольника ОАВ> если О(0,0), А(1,1), В(-1,1). Х>8. Дана Функпия 1>Ч = се+3 . Найти образ треугольника ОАВ, е ли О(О,О), А(2,О), В(О,г). >ай. Дана Функпия ЧЧв4., Найти образ треугольника АВС, если А(1,0), В(0,-1), С(1,-1), % 10, Дана функпия Ща -к . Найти образ квадрата ОАВС, ес- О(О,О), А(1,О) ° В(1,1) ° С(0,1).

Н> 11. Дана 'функпия ЧМа Ь~ . Найти образ треуголышка, ОАВ, ес н О(О,О), А(1,О), В(1,1). М 12. Даяа функпня Ч>(а5 . Найти образ прямоугольника АВСД, если А(1,-2), В(2,-2), С(2,2), Д(1,2). в) периодична, имеет периодом ДЕь. 6. Снявь покааатальной тункпяи с кругояымн и гиперболическими Фуикпнями (н, -(к и Ю в5))Е +СЬЕВ,' 5ЫЕя у" ', 5Ь Е = (к »л -»л к -к Е сгб5Е+(5~ЛЕ; СО5Е Ф Я.,,),Е б ~Е 2 > 2 (21) 4. Свяеь круговых н гиперболических синусов и косинусов Ь(д ьй = ».5Ь Е,' БЬ ьй = ( ЬМ Е; (22) Сб5ЬЕ вела,: САФЕ -"Сббй . б. Основяь»е фармулы 5(й(Е„йЕ,) в 5(д Е»цЬЕ, ~'со5Е»ьиьЕ,; ЕО5(Е»йй,)в СО5Е,СО5й,а 5(»ЧЕ»5(МЕ.„ 5»1 (Е» ФЕь) с 5У»Е»ай»+ С)~ Е»5ЬЕк ' М (Е»» Еь) С))Е»'С))йьй 5))Е»ай» ' СЬ Е -5))Е ( ' СО5'Е+ АР Е (26) 6.

Выделение действительной и мнимой частей у круговых н гиперболических оиауоов я косинусов. Испольвуем Формулы (23) ЬЮ Е и 5Ы (Х+ЬД) =5Й Х СОЫЦ+С05Х5Ю (Я =5(Л ХОЙЕР + ( СОЬК5Ьф О. и 5(п Х сЬц; )( СО5Х5))»(. Аналогично по Формулам (23) выделяытся мнимью и действи тельные части Функпий Сойй,д» Е,5(»й, '?. ЛогвриФмнчвская Функлня н ее свойств»и а) суше.гвувт во всех точках комплексной длоскооти, кро- ме точки, Евр б) блЕ-бЛ)Е|+(аЩЕ=ЫХСЦ'+(.~аЪС(9++Е); и 1Ь(Х Ч) ' Ч ().

Ф9ФФС ' ,Жй Е в Ь)Е1+»))ЧЕ; А$ ЕвЬф»»ОУ~Е+ЛКВ»„(241 В)»к.й Е»'Е» в к»ъй»+~;Ьъйх, г] ~~,д» я»6'» Е»»Рпйа, Еф д) Ю~ Е" в 0Ф~ Е . В. Степенная Функния Мl и Е . 92.Аа н н 1. Определение. Производной от функции Ю=$(й) в точке называется предел отношения приращения функция к прирашению аргументе в этой точке при условии, что прв«шщение ергумента стремнтоя к нулю ««« ~,, на««««1-~~ ьво оа аьо Функция н««зывается днфференцируемой в точке й, если оиа имеет в этой точке производную 2. Условия Коши-Римана, Для того«чтобы функпия М/эфй) была дифференцируемой в точке й,, необходимо и достатп«чно~ а) сушествованяе частных производных Зн, ф.

ф, ф~ в точке Еэ х ° ~'Щ ««ж ««к -«й« 'й«ф--ф в точке э 3. Определение, Функция Чуэбф) называется аналитической в области Ъ, если она однозначна в этой области и диффвренцируема во всех точках этой области. 4. Определение. Функция ЧЧ = $(й) называется аналитической в точке йэ, если существует некоторая окреотность точки й, в которой функция аналитична, 3. Отыскание области аналитичнооти функции. Для определения области анапитн ности фун" лии $(К) не обходнмо: 1) выделить действительную н мнимую части функции 4Ф) Щ,у)+ьЧ (Х,ц); 2) проверить выполнение услбвий Коши-Римана1 3) множество тех точек, в котовых частные произвопиые дн.

ди дЧ дЧ «~~ ~ ~ у "$ с1 шествуют н выполняю«ся условия Кошй Римана, и будет являться областью аналитичности данной функции. Примеры: найти область аналитичности функций. 1ЧэсИй 1) Выделим действительную н мнимую части функции СЛХэс6(Х+ЬЯ)э С)1ХСОЗУ+63ЬХбЬЛУ; 0. = Сй Х СОб Ц; Ч э Ь)1Х 3ЬП Ц, . 2) Проверим выполнение условий Коши-Римана 3) Так как частные .роизводные щ; у" > у ~ ~~ суди.

ди Вп щаитвуют во всех точках Е и условии Коши-Римана выполнены йи всех точках й, то функпия Иас)1 Ъ аналитична на всей ааыппексирй плйскости. 2. ~ф) 2~2', 1) ~Ф) 2 +2'"-(х- ~ц)+$ ьи)я Х-ьи+х'-ц'+2хц ь а Х+х'-ц'+ь Мха-~); иах+х'-у' Че2хи-и ) л) -~к1+2х ' $- а2х-1 . дх ф = -2и; -ду е2~,' фа Ь+ й~ не аналитична ни в одной точке. $ф) а и + )- ° Ь)е «+щ ~~~ =Х+„—... у-„~--~; и ах+-" — . Ча и - — ~— к+и' ) = ю х'+и' дц ц1 ха фу ъ 2 дх ~х ~' ц. 3) 1) 9 (х'+ф' ' х ~х+ 3) Так как лишь только в точке а О частные производные не сушествувт, то данная функпия аналитична во Всех точках, кроме точки Ь О, Конт ольн ание % 7 Найти область аналитичности для слепуюшнх функпий: 1.

® = аЬ'-32.; ~4) аЬХ; 3. $3; = 3'Ф. В М „= ййхсойи; у ьл хйййЯ,' С)) Х9',ди ° $. а сНХ йьпу; ок Ъу х О г-~~' ди дч 0~а Х 6 3. иэво нкпни пле но пе е ен а вле ие анели е нк и ее ит лцщф нлн мнимой '(ас1,'.и ()Ч Х О Ч вРХ. 3 -О д ' 1ц ц >рункшш Ч(Х,Ц) удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, она гармоническая. бЧ,, ДЧ 2) найдем $ф) по Формуле (26) у 31 Д~ ь рх 1. Производная от функции комплексного переменного мо- жет быть найдена ) а'® .Ч11 „3Ч .йХ „~, ( 2) по й>ормуле $ф)а -1 а — - ь— "бУ.