2(1) (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 2.1Лекция 2. Потенциал электростатического поля.Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряжѐнности. Связь напряжѐнности и потенциала.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕБудем предполагать, что в некоторой области пространства задано непрерывнодифференцируемое векторное поле v  x, y,z  .1) Поток векторного поля через поверхность. Потоком вектора v через некоторую поверхность называется величина v   v ,dS .SnВ простейшем случае плоской поверхности S и однородного векторно-vго поля поток определяется как v  v  S cos  ,где  - угол между вектором v и нормалью n к площадке S.SЕсли поверхность S не является плоской, то она разбивается на элементарные участки величиной dS, такие, что каждый из них можно рассматривать как малую часть плоскости, а полевблизи площадки – постоянным.

Затем для каждого из участков ищется соответствующая величина  v  v  dS cos  , а потом производится суммирование по всей поверхности  v    v .S Если ввести вектор dS , перпендикулярный к каждой площадке: dS  n  dS , где n - единич-ная нормаль к площадке dS, то величину потока записать можно в виде:  v  v  dS cos   v ,dS . Тогда общий поток v    v   v ,dS .SSПример. Найдем объѐм жидкости, протекающей через некоторую малуюvdtvнаклонную площадку за единицу времени.Пусть скорость жидкости равна v и в пределах площадки еѐ можно считать постоянной, тогда объѐм жидкости, прошедшей через площадку заSмалый промежуток времени dt, заполнит внутренность косого паралле-лепипеда, объѐм которого равен S cos  vdt .

Здесь  - угол отклонения вектора скорости жидкости v от направления, перпендикулярного площадке, т.е. угол между вектором единичнойнормали к площадке и вектором скорости жидкости. Если ввести вектор S  S  n , то объѐмныйСеместр 3. Лекция 2.2расход жидкости, т.е. объѐм жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, мож но определить соотношением: Q  vS cos   v ,S . 2) Циркуляция векторного поля.Рассмотрим интеграл от векторного поля v вдоль кривой линии Г: dl,где- касательный вектор к каждой точке кривой.

Такимv,dlvГdlобразом, кривая является ориентированной – она имеет начальную иконечную точки (так как задано направление вдоль кривой с помощьювектора dl ).В случае, когда векторное поле v постоянное, а кривая – отрезок прямой линии длинойL, интеграл равен v ,dl  v  L cos  ,где  - угол между векторами поля и касательным вектором.В случае если кривая линия не является прямой и векторное поле не постоянное, нужноразбить линию на малые (почти) прямолинейные участки длиной dl , такие, что на каждом изучастков поле можно рассматривать как постоянное. Для каждого участка найти величину v  dl cos   v ,dl , а затем просуммировать все полученные выраженияÊðèâàÿ v  dl cos    v ,dl .Пусть кривая линия является замкнутой (без самопересечений во внутренних точках). Такуюлинию будем в дальнейшем называть контуром.

Интеграл от векторного поля v по замкнутой кривой Г: v ,dl называется циркуляцией этого векторного поля вдоль контура Г.3) Теорема Стокса.Если рассмотреть незамкнутую поверхность S, то край этой поверхности будет являться замкнутой кривой. Будем считать, что поверхность является ориентируемой (т.е. она – двусторонняя). Если Г – кривая, являющаяся краем поверхности S, то можно рассмотреть циркуляцию векторного поля вдоль края Г:  v ,dl .Векторному полю v можно сопоставить ещѐ одно векторное поле rot  v  , которое называется ротором векторного поля v . В декартовой системе координат оно определяется соотношением:Семестр 3.

Лекция 2.exrot  v  xvxeyyvy3ez  v v    v v    v v  ex  z  y   ey  x  z   ez  y  x  ,z z x  y z  x y vz  где e x , e y , e z - орты декартовой системы координат.nSnМатематическая теорема Стокса гласит: .v,dlrotv,dSdlSЦиркуляция векторного поля вдоль края ориентируемой поверхностиГравна потоку ротора этого поля через эту поверхность. Направлениекасательного вектора dl к краю Г выбирается так, чтобы поверхность оставалась слева приобходе, а нормаль была направлена наружу (правый винт).Заметим, что теорема Стокса служит основой для формального определения компонент,например вектора rot E , безотносительно к выбору системы координат: E  dr.n  rot E  lim lS 0SЭтим соотношением определяется математический смысл понятия rot E .

Более удобное математическое соотношение (теорема Грина) связывает между собой интеграл по объѐму от ротора произвольного вектора, например а , и интеграл по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объѐм, от векторного произведения нормали к элементу поверхности на рассматриваемый вектор:  rot adV   n  adS .VSИз этого соотношение вытекает определение ротора вектора: n  adS.rot a  limV 0 SVПерепишем числитель дроби в эквивалентной форме1 n  adS  S0 .S0 S0Теперь можно сформулировать интуитивное определение ротора вектора: это предел отношения произведения среднего по площади контрольной поверхности векторного произведениянормали к поверхности на вектор и площади замкнутой контрольной поверхности к объѐмувнутри контрольной поверхности при стремлении к нулю объѐма внутри контрольной поверхности.

Это определение можно использовать для расчета физических компонент ротора произвольного векторного поля а в ортогональных криволинейных системах координат. Так в цилиндрической системе координат ( r,, z ) физические составляющие ротора вектора a можнополучить, раскрывая определительСеместр 3. Лекция 2.4erreez 1 rot a .r rzarraazВыражение для ротора вектора a в сферической системе координат ( r , ,  ) имеет вид:erre r sin   e1rot a  2.r sin  r ar ra r sin   aО правилах раскрытия подобных определителей мы познакомимся на семинарских занятиях.Смысл ротора можно ещѐ прояснить следующим примером. Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой скоростью .

Скорость любой точки определяется расстоянием до оси вращения v  R  . Вектор скорости любой точкинаправлен по касательной к еѐ траектории – окружности с центромvГна оси вращения. Можно сказать, что на диске задано векторное поле – поле векторов скоростей всех точек v . Найдем ротор этого поля: rot  v  . Воспользуемся теоремой Стокса:  v ,dl     rot  v  ,dS  .SЕсли взять малую площадку S, то по теореме о среднем для интеграла можно приближѐнно за писать:  v ,dl   rot  v  n  S , где  rot  v n - проекция ротора на нормаль к площадке S.В качестве кривой Г возьмѐм окружность малого радиуса R с центром на оси вращения.Длина этой окружности 2R , она охватывает площадку S, площадь которой R 2 . В каждойточке этой окружности вектор скорости направлен по касательной к ней, поэтому угол междумалым касательным вектором dl и вектором скорости v равен нулю.

Следовательно v ,dl  v  dl .На выбранной окружности Г величина скорости не меняется: v  R   const . Тогда v ,dl   v  dl  R dl .Интеграл dl  2Rравен длине окружности Г, поэтому циркуляция v  dl  2R2.Откуда: 2R2   rot  v  n R2 . После сокращений устремим радиус окружности R к нулю, иполучим проекцию ротора на ось вращения:Семестр 3. Лекция 2. rot  v n 2 .Т.е.

ротор векторного поля v равен удвоенной угловой скорости вращения точек области, гдезадано векторное поле. Поэтому иногда ротор также называют вихрем поля. Поля, для которых ротор отличен от нуля, называют вихревыми или соленоидальными. Оказывается, длялюбого вихревого поля v существует некоторое векторное поле a , такое, что выполняется равенство v  rot  a  .4) Векторное поле v , для которого существует непрерывно-дифференцируемая функцияФ такая, что выполняется равенствоv  grad  ,называется потенциальным.Ротор потенциального поля равен нулевому вектору : rot  grad   0 .    Действительно, т.к. grad   ,, , то x y z exrot  v  xxeyyyez   2   2      2   2      2   2   ex   ey   ez   0.z yz zy  zx xz  xy yx z5) Теорема Остроградского-Гаусса.Любому векторному полю v соответствует функция, называемая дивергенцией этого векторного поля.

В декартовой системе координат она определяется соотношением:v v vdiv  v   x  y  z .x y zМатематическая теорема Остроградского-Гаусса гласит:поток векторного поля через замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равенинтегралу от дивергенции этого поля по объѐму, охваченному этой поверхностью: v ,dS   div  v  dV .SVВыше выражение для дивергенции векторного поля v записано в декартовой системе координат. С помощью математической теоремы Остроградского-Гаусса выражение для дивергенциивекторного поля, например напряжѐнности E , можно записать в абстрактной символическойформе:5Семестр 3. Лекция 2.6 div E  lim E  n  dSS.V 0VЭто выражение служит также для установления математического и физического смыслаоперации дивергенции векторного поля: дивергенция E в произвольной точке пространства Мравна отношению потока вектора E через произвольную бесконечно малую замкнутую поверхность в окрестности точки М к бесконечно малому объѐму, ограниченному этой замкнутой поверхностью.Ещё раз о смысле дивергенции.Рассмотрим выпуклую поверхность, охватывающую достаточно малый объѐм.