Лекции Бободжанова (Бободжанов - Лекции по математическому анализу)

11 семестрМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЛекция 1. Предел функции в точке и при x → ±∞.Односторонние пределы. Действия над пределами.Бесконечно малые функции, таблицаэквивалентных бесконечно малых и ее применениепри вычислении пределов функций1.1. ОбозначенияМножества (любой природы) обозначаются большими латинскимибуквами (A, B, ...) , а их элементы − малыми латинскими буквами(a, b, x, y, ...) . Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания(например, A ≡ {число m · (m + 1) · (m + 2) делится на 3}). Вездениже вводятся следующие обозначения:∀ − “всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,∃ − “существует”, “найдется хотя бы один”,∈ − “принадлежит”, ∈/ − “не принадлежит”,⇒ − “следует из”, “вытекает из”,⇔ − “эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и толькотогда”,⊂ − “входит в”, “содержится в”def≡ или ⇔ − “по определению” (в тексте слово “если”)∧ − логическое “И”, ∨ − логическое “ИЛИ”,A ∪ B − объединение множеств A и B, A ∩ B − пересечениемножеств A и B,A\B − разность множеств A и B, Ā − дополнение A (если A − высказывание,то Ā − отрицание высказывания A ).Через N, Z, Q, R обозначаются множества натуральных, целых, рациональныхи действительных чисел соответственно (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) .21.2.

Модуль (абсолютная величина) действительного числаМодуль числа a определяется следующим образом:(+a, a ≥ 0,|a| =−a, a < 0.Свойства модуля:1. (|x| ≥ +x) ∧ (|x| ≥ −x) ; 2. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a; 3. |x| ≥ a ⇔⇔ (x ≥ +a) ∨ (x ≤ −a) ; 4. |x + y| ≤ |x| + |y|; 5. |x · y| = |x| · |y|; 6. xy = |x||y| (y 6= 0) ;7. |xα | = |x|α ;8. |x − y| ≥ ||x| − |y|| .1.3. Понятие функцииПусть даны два множества A и B.Определение 1.1. Говорят, что на множестве A задана функцияy = f (x) , отображающая множество A в множество B (пишут y = f (x) : A → Bесли каждому элементу x ∈ A поставлен в соответствие единственныйэлемент y ∈ B по закону y = f (x) . При этом x называетсяаргументом функции y = f (x) , а y − значением этой функции(при указанном значении аргумента x ).

Множество A называетсяобластью определения функции f (x) (обозначение: A = D (f ) ), амножество E (f ) = {y ∈ B/∃x ∈ A : y = f (x)} называется множествомзначений этой функции.Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ(здесь для каждого аргумента x указывается соответствующий y ) иpб) аналитический способ (формулой; например y =sin (log2 x) ).При аналитическом задании функции y = f (x) в качестве областиопределения обычно берут естественную область определения, т.е.множествоD (f ) = { x : выражение f (x) имеет смысл}.

Например,plog2x = {x : x ≥ 1} . Будет также использоваться обозначениеDf (G) для множества всех значений f (x), когда x пробегает подмножествоG ⊂ D (f ) .1.4. Предел функции31.4. Предел функцииСначала дадим понятие предела функции в конечной точке x == x0 6= ∞. Различают проколотую δ -окрестность U̇x0 (δ) точкиx = x0, которая определяется как симметричный интервал (x0 −δ, x0 ++ δ) с выброшенной точкой x0 :U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x − x0| < δ},и просто δ -окрестность Ux0 (δ) точки x = x0, совпадающую с указанныминтервалом:Ux0 (δ) ≡ {x : |x − x0| < δ} ≡ (x0 − δ, x0 − δ).Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестностиU̇x0 точки x0 (в самой точке x0 функция может быть определена илинет; её значение в точке x0 не существенно).Определение 1.2. Говорят, что число P является пределомфункции f (x) в точке x = x0 ( или при x → x0 ), если для произвольногочисла ε > 0 найдется число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, отε) такое, что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству0 < |x − x0| < 0, будет иметь место неравенство |f (x) − P | < ε.При этом пишут lim f (x) = P и читают: “ предел функции f (x)x→x0при x → x0 равен P ”.Это определение записывают кратко так:def( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃δ = δ(ε) > 0 :x→x0(1.1)(∀x)(0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − P | < ε).Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функцииf (x) в точке x = x0 ( x стремится к x0, но x 6= x0, так как 0 << |x−x0 |).

Это означает, что предел lim f (x) = P не зависит от того,x→x0каким является значение функции f (x), в точке x = x0. Например,функции((2x2, x 6= 0,x,x=60,2f3 (x) =f1(x) = x , f2 (x) =не определена, если x = 0100, x = 0,4Лекция 1имеют один и тот же предел P = 0 в точке x = 0.Геометрически высказывание (1.1) означает, что для любого ε > 0существует число δ > 0 такое, что кривая y = f (x) при всех x ∈∈ U̇x0 (δ) лежит внутри полосы (P − ε < y < P + ε).

Если этаситуация будет иметь место для произвольного интервала (P −ε, P +ε)(или, что то же самое, для произвольного ε > 0), то число P будетпределом функции f (x) при x → x0 . Если же существует интервал(P −ε, P +ε) такой, что в любой проколотой окрестности U̇x0 (δ) точкиx = x0 найдется абсцисса x, для которой f (x) ∈/ (P − ε, P + ε), тоlim f (x) 6= P. Геометрические соображения часто используют приx→x0доказательстве существования пределов для конкретных функций.Теорема 1.1. Если существует (конечный) предел lim f (x) =x→x0= P, то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченнойпри x → x0 , т.е.существуют постоянные M > 0, δ > 0 такие, что длявсех x из проколотой окрестности U̇x0 (δ) ≡ {x : 0 < |x −− x0| < δ} точки x0 имеет место неравенство |f (x)|≤M.Замечание 1.1.

Если функция f (x) удовлетворяет условию,выделенному жирным шрифтом, то ее называют функцией классаO(1) (x → x0) и пишут f (x) = O(1) (x → x0) . Функции классаO(1) (x → x0) обладают следующими очевидными свойствами.Теорема 1.2. Если f (x) = O(1)(x → x0) и g(x) = O(1)(x → x0),то f (x) ± g(x) = O(1)(x → x0 ), f (x) · g(x) = O(1)(x → x0).1.5. Бесконечно малые функции и их свойстваОпределение 1.3. Функция α (x) называется бесконечно малойфункцией в точке x = x0 или функцией класса o(1) (x → x0) , если lim α (x) =x→x00. При этом пишут α (x) = o(1) (x → x0) .defТаким образом, α (x) = o(1) (x → x0) ⇔ ∀ε > 0∃δ = δ (ε) > 0 :(∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) | < ε) .Например, функция α (x) = (1 − x)2 = o(1) (x → 1) , а функцииcos (1/x) , x+1, ln (x + 2) не являются функциями класса o(1) (x → 0) .1.5.

Бесконечно малые функции и их свойства5Теорема 1.3. Имеют место следующие свойства класса o(1) (x → 0) :10) Если α (x) = o(1) (x → x0) , то α (x) = O(1) (x → x0) , т.е.o(1) ⊂ O(1) (x → x0 ) ;20) o(1) ± o(1) = o(1) (x → x0) ;30) o(1) · o(1) = o (1) (x → x0) ;40) o(1) · O(1) = o(1) (x → x0 ) .Доказательство. Свойство 10) очевидно. Докажем свойство 20) (другиесвойства доказываются аналогично).

Пусть α (x) = o(1) и β (x) == o(1) (x → x0) . Тогда для произвольного ε > 0 существуют числаδj = δj (ε) > 0 (j = 1, 2) такие, что(∀x) 0 < |x − x0| < δ1 ⇒ |α (x) | < 2ε ,(1.2)(1.3)(∀x) 0 < |x − x0| < δ2 ⇒ |β (x) | < 2ε .Выберем δ = min {δ1 , δ2} > 0. Тогда ∀x ∈ U̇x0 (δ) будут иметьместо одновременно неравенства (1.2) и (1.3). Складывая их, получим,чтоε ε(∀x) 0 < |x − x0| < δ ⇒ |α (x) + β (x) | ≤ |α (x) | + |β (x) | < + = ε .2 2Это и означает, что α (x)+β (x) = o(1) (x → x0) , т.е. верно свойство20) . Теорема доказана.Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малымифункциями и функциями, имеющими предел при x → x0.Теорема 1.4.

Если существует (конечный) предел lim f (x) =x→x0= P, то f (x) = P + o (1) (x → x0) . Обратно: если функция f (x)представляется в виде f (x) = P + o(1) (x → x0) , то f (x) имеетпредел в точке x = x0 и lim f (x) = P.x→x0Доказательство. Существование предела lim f (x) = P эквивалентноx→x0высказыванию∀ε > 0∃δ > 0 : (∀x) (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − P | < ε) .(1.4)Высказывание (1.4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функцияα (x) = f (x) − P = o(1) (x → x0) , т.

е. что f (x) =P + o(1) (x → x0) .Теорема доказана.6Лекция 1Замечание 1.2. Равенство f (x) = P + o(1) (x → x0) называютасимптотическим разложением функции f (x) , имеющей предел вточке x = x0.И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности.Сделаем это кратко.Определение 1.4. МножестваU∞ (R) = {x : |x| > R} , U−∞ (R) = {x : x < −R} ,U+∞ (R) = {x : x > R}называются R -окрестностями точек x0 = ∞, x0 = −∞, x0 = +∞соответственно. Следующие высказывания являются определениямипредела функции f (x) в бесконечности:def1) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→∞(∀x) (x ∈ U∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε));def2) ( lim f (x) = P ) ⇔ ∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→−∞(∀x) (x ∈ U−∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε));def3) ( lim f (x) = P ) ⇔(∀ε > 0∃R = R (ε) > 0 :x→+∞(∀x) (x ∈ U+∞ (R) ⇒ |f (x) − P | < ε) .Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.Теорема 1.5. Если существуют (конечные) пределы lim f (x) =x→x0P1 , lim g (x) = P2 , то и существуют пределы lim [f (x) ± g (x)] , lim [f (x) · g (x)] ;x→x0x→x0x→x0при этомlim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) ,x→x0x→x0x→x0lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) .x→x0x→x0x→x0Если (кроме существования пределов P1 и P2 ) выполняется ещёусловие P2 6= 0, то существует предел частного lim [f (x) /g (x)] ,x→x0причемlim f (x)f (x) x→x0lim.=x→x0 g (x)lim g (x)x→x071.6.