Лекции Бободжанова (Бободжанов - Лекции по математическому анализу), страница 5

Свойства функций, непрерывных наотрезке( ограниченность, достижение наибольшегои наименьшего значений, реализация всехпромежуточных значений). Свойствадифференцируемой функции: монотонность,экстремумы. Схема построения графика функциис помощью первой производной4.1. Свойства функций, непрерывных на отрезкеФункция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] ,если она непрерывна в любой точке x ∈ (a, b) , а на концах x == a и x = b отрезка непрерывна справа и слева соответственно,т.е. f (a + 0) = f (a) , f (b − 0) = f (b) . Функции, непрерывные наотрезке, обладают рядом замечательных свойств, сформулированныхниже.Теорема Вейерштрасса I. Если функция f (x) непрерывна наотрезке [a, b] , то она ограничена на этом отрезке, т.е.

существуетпостоянная M > 0, такая, что |f (x)| ≤ M (∀x ∈ [a, b]) .Теорема Вейерштрасса II. Если функция f (x) непрерывна наотрезке [a, b] , то она достигает на этом отрезке своих наибольшего инаименьшего значений, т.е. существуют точки x1, x2 ∈ [a, b] такие, чтоf (x1) = m = min f (x) , f (x2 ) = M = max f (x) .x∈[a,b]x∈[a,b]Теорема Больцано-Коши I. Если функция f (x) непрерывнана отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значенияразных знаков (f (a) · f (b) < 0) , то существует хотя бы одно значениеx = x∗ ∈ (a, b) такое, что f (x∗) = 0.Теорема Больцано-Коши II. Если функция f (x) непрерывнана отрезке [a, b] , то каково бы ни было промежуточное значениеK ∈ [m, M] , существует значение x = c ∈ [a, b] такое, что f (c) == K.30Лекция 44.2. Монотонность функцииНапомним определение монотонных функций.Определение 4.1.

Говорят, что функция y = f (x) строго возрастаетна множестве A ⊂ D (f ) , если для любых x1, x2 ∈ A из неравенстваx1 < x2 вытекает неравенство f (x1) < f (x2.)Если же (∀x1, x2 ∈ A) (x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 )) , то функция y == f (x) называется строго убывающей на множестве A.Если же из строгого неравенства x1 < x2 между аргументамивытекают нестрогое неравенство f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )) междузначениями функции, то говорят, что y = f (x) является неубывающей(соответственно невозрастающей ) на множестве A.Множество всех функций, строго возрастающих и строго убывающих,образует класс строго монотонных функций; невозрастающие и неубывающиефункции образует класс просто монотонных функций.При исследовании на монотонность функций используются выписаннаяранееТеорема Лагранжа.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке[a, b] и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале(a, b) , то существует точка c ∈ (a, b) такая, чтоf (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a) .(4.1)Теорема 4.1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале (a, b) . Тогдасправедливы следующие высказывания:1. если f 0 (x) > 0 (∀x ∈ (a, b)) , то функция f (x) строго возрастаетна отрезке [a, b] ;2.

если f 0 (x) < 0 (∀x ∈ (a, b)) , то функция f (x) строго убываетна отрезке [a, b] .Доказательство вытекает из равенства (4.1), в котором надоположить a = x1, b = x2. Действительно, если x1 < x2, а f 0 (x) >> 0 (∀x ∈ (a, b)) (тогда и f 0 (c) > 0 ), то (см. (4.1)) будет выполнятьсянеравенство f (x1) − f (x2) < 0 ⇔ f (x1) < f (x2) . Это означает,4.3.

Локальный экстремум31что функция f (x) строго возрастает на отрезке [a, b] . Аналогичнодоказывается высказывание 2. Теорема доказана.Замечание 4.1. Можно показать, что в случае нестрогого знакапроизводной имеет место высказывание:3. Для того чтобы функция f (x) , удовлетворяющая условиямтеоремы 4.1, была неубывающей (невозрастающей) на отрезке [a, b] ,необходимо и достаточно, чтобы f 0 (x) ≥ 0 (∀x ∈ (a, b)) (соответственно f 0 (x) ≤0 (∀x ∈ (a, b)) ).Например, функция y = x2 − x строго убывает на любом отрезке[a, b] ⊂ −∞, 21 , так как y 0 = 2x − 1 < 0 при −∞, 12 , и эта функциястрого возрастает на [a, b] ⊂ 21 , +∞ , так как y 0 = 2x − 1 > 0 при1,+∞.24.3.

Локальный экстремумyПусть функция y = f (x) определенав точке x = x0 и некоторой её окрестности.f (x0 )Определение 4.2. Говорят, чтофункция y = f (x) достигает в точкеx = x0 локального максимума (см. рис.4.1), если существует δ > 0 такое, чтоx0 ∀x ∈ Ux0 (δ) ≡ {|x − x0| < δ} выполняетсяO x0 − δ x0 x0 + δнеравенство f (x) ≤ f (x0) . Если приРис. 4.1указанных x ∈ Ux0 (δ) имеет место противоположноенеравенство f (x) ≥ f (x0 ) , то говорят, что в точке x = x0 функцияy = f (x) достигает в точке x = x0 локального минимума.Заметим, если неравенства f (x) ≤ f (x0) или f (x) ≥ f (x0 ) обращаютсяв равенство лишь в одной точке x = x0 , то говорят, что соответствующиймаксимум или минимум является строгим. Точки x = x0, функцияf (x) достигает локального максимума или минимума, называютсяточками локального экстремума этой функции.Замечание 4.2. Слово “локальный” здесь означает, что введенноепонятие экстремума верно лишь в достаточно малой окрестности точкиx = x0.

Иногда слово “локальный” будем опускать.32Лекция 4Необходимое условие экстремума. Пусть в точке x = x0функция f (x) достигает локального экстремума. Тогда либо в этойточке функция f (x) дифференцируема и тогда f 0 (x0) = 0, либо f (x)не дифференцируема в точке x = x0.Замечание 4.3. Точки x = x0 ∈ D (f ) такие, что f 0 (x0)либо равна нулю, либо не существует (или равна ∞ ), называютсякритическими точками функции f (x) .Если x = x0 − точка локального экстремума функции f (x) , тоона обязательно для неё критическая. Обратное утверждение, вообщеговоря, не верно.

Например, для функции y = f (x) = x3 производнаяf 0 (0) = 0, но в точке x = 0 эта функция не имеет экстремума. Какпроверить, что в критической точке достигается экстремум? Ответ наэтот вопрос содержится в следующем утверждении.Теорема 4.2 (достаточные условия экстремума по первойпроизводной). Пусть точка x = x0 − критическая точка для функцииf (x) и функция f (x) непрерывна в этой точке. Пусть, кроме того,производная f 0 (x) существует в некоторой проколотой окрестноститочки x = x0.

Тогда:1. если f 0 (x) при переходе аргумента x через точку x = x0 (слеванаправо) изменяет знак с + на −, то в точке x = x0 функция f (x)достигает локального максимума;2. если f 0 (x) при переходе аргумента x через точку x = x0 (слеванаправо) изменяет знак с − на +, то в точке x = x0 функция f (x)достигает локального минимума;3. если в окрестности точки x = x0 функция f 0 (x) не изменяетзнака, то в точке x = x0 функция f (x) не достигает локальногоэкстремума.Доказательство. Действительно, если производная f 0 (x) > 0 (∀x : x0 − δ < x < xто функция f (x) возрастает на отрезке [x0 − δ, x0] , и, значит, f (x0) >f (x) для всех x из указанного отрезка.

С другой стороны, так какf 0 (x) < 0 (∀x : x0 + δ > x > x0) , то функция f (x) убывает на отрезке[x0, x0 + δ] , и, значит, снова f (x0) > f (x) для всех x из указанногоотрезка. Следовательно, при всех x ∈ {|x − x0| < δ} выполняется4.3. Локальный экстремум33неравенство f (x) ≤ f (x0) , т.е. точка x = x0 является точкой локальногомаксимума. Аналогично доказываются утверждения 2 и 3. Теоремадоказана.Например, рассмотренная выше функция y = x2 − x имеет в точкеx = 12 минимум, так как y 0 = f 0 (x) = 2x − 1 при переходе черезкритическую точку x = 12 изменяет знак с минуса на плюс. Другиедостаточные условия экстремума, получаемые с помощью высших производных,будут даны позже.

А сейчас приведем схему построения графика функцииy = f (x) с помощью первой производной. Сделаем это для конкретнойфункции y = f (x) = x+ln x2 − 1 . Напомним сначала информациюо вычислении асимптот.Еслиlim f (x) = ±∞, то прямая x = x0 − вертикальная асимптотаx→x0 ±0для функции y = f (x) . Если существуют конечные пределыf (x), b = lim [f (x) − kx] ,x→±∞ xx→±∞k = limто прямая y = kx+b − асимптота кривой y = f (x) . Таким образом,асимптоты функции y = f (x) могут возникнуть при подходе x кточкам разрыва x = x0 второго рода этой функции либо на бесконечности.Схема построения графика функции y = f (x) с помощьюпервой производной.1.

Находим область определения функции f (x) : |x| > 1.2. Находим (если это возможно) нули функции и ее интервалызнакопостоянства. Этот пункт мы опускаем, так как не можем точнорешить уравнение x+ln x2 − 1 = 0 (его приближенный корень равен1.1478).3. Находим точки разрыва функции f (x) и её асимптоты.а) вертикальные асимптоты: x = ±1, так какlim x + ln x2 − 1 = −∞, lim x + ln x2 − 1 = +∞;x→1−0x→−1+0наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как один из выписанных34Лекция 4ниже пределов бесконечен:k=lim f (x)x→±∞ x= limx→±∞1+=x+ln (x2 −1)limxx→±∞2xx2 −10= lim(x+ln (x2 −1))x→±∞x0== 1,b = lim [f (x) − kx] = lim x + ln x2 − 1 − 1 · x =x→±∞x→±∞2= lim ln x − 1 = ∞.x→±∞4.

Находим производную и исследуем функцию y = f (x) на монотонностьи локальные экстремумы. Имеемf 0 (x) = 1 +⇔2xx2 −12x0x2 −1 ;" f (x)= −1 ⇔= 0,√x = −1 − 2,√x = −1 + 2.√Итак, x = −1± 2− критические точки. Применяя метод интервалов(с учётом ОДЗ( f (x) ) ), будем иметь:4.4. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба35√y 0 < 0 ⇔ −1−2 < x < −1;"√2,x<−1−y0 > 0 ⇔x > 1.√Значит, в точке x = −1 − 2 производная изменяет знак с плюсана минус, поэтому в этой точке функция y = f (x) имеет локальныймаксимум, равный приближенно −0.839692795. По полученной информациистроим график функции y = f (x) .

Он будет иметь вид, указанныйна риc. 4.2. Чтобы закрепить навыки, постройте график y = (x3 + x +1)/(x2 − 1).4.4. Выпуклость, вогнутость, точки перегибаПусть дана функция y = f (x) , дифференцируемая в точке x = x0.Тогда в точке M0 (x0, f (x0)) она имеет касательную, каждая точка(x, y ∗) которой удовлетворяет уравнениюy ∗ = f (x0) + f 0 (x0 ) (x − x0) .y(4.3)Определение 4.3. Говорят, чтокривая y = f (x) выпукла вверх в∗yM0точке x = x0, если существует δ >y> 0 такое, что в окрестности U̇x0 (δ) ={0 < |x − x0| < δ} кривая y = f (x)находится ниже своей касательнойx(4.3) в точке M0, т.е.

если ∀x ∈O x0 − δ x0 x0 + δРис.U̇x0 (δ) ⇒y −4.3y ∗ < 0. Если же ∀x ∈U̇x0 (δ) ⇒ y − y ∗ > 0, то криваяy = f (x) называется выпуклой вниз в точке M0 (часто говорят, овыпуклости или вогнутости в точке x = x0 ). Говорят, что криваяy = f (x) выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале (a, b) , еслиона выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке x0 ∈ (a, b) этогоинтервала.На рисунке 4.3 функция y = f (x) выпукла вверх в точке x = x0,а на рисунке 4.4 − выпукла вниз.bbb36Лекция 4Теорема 4.3.