Автореферат (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 3

Она основывается на предположении, что информация о низкоэнергетической области физики элемен9тарных частиц сосредоточена в динамике нулевых мод, а вкладами ненулевых глюонных мод можно пренебречь. В дополнение к этому пространствоФока на СФ, в котором действует эффективный гамильтониан модели, ограничивается и включает только состояния с одной кварк–антикварковой парой.Кроме того, для кварковых полей ψ(y) вводятся антипериодические по y 3 граничные условия, ψ(−L) = −ψ(−L).

Это дискретизует продольный импульс,q3 = π(2n + 1)/(2L), (n = 0, 1, . . .), и позволяет избавится от нулевых фермионных мод.После этого в рамках предложенной модели совершается переход отдействия S(η, η0 ) к эффективному гамильтониану H(η, η0 ). Для этого используется метод трансфер-матрицы, предложенный в работе [15]. Далее развивается аналог стационарной теории возмущений по малому параметру η и совершается предельный переход η → 0 на СФ. В результате вычисляется эффективныйгамильтониан H(η0 ), в который величина η0 входит как свободный параметр.Его можно представить в виде суммы:H(η0 ) = H(/0) + H(0) (η0 ),где член H(0) (η0 ) содержит только нулевые моды глюонного поля, а член H(/0) ––все прочие.Во второй главе полученный эффективный гамильтониан H рассматривается сначала в 2+1 измерениях.

Базис пространства Фока предлагаемоймодели в этом случае записывается через операторы рождения кварков b† и антикварков d† следующим образом:∑l ⟩m = √ 1b†m (x)Ux,x+la d†n−m (x + la) |0⟩ ,N K⊥ x⟨l l ⟩2 1m2 m1 = δm2 m1 δl2 l1 ,где K⊥ –– это число узлов в поперечной решетке, l –– это «длина» цепочки базисного состояния в единицах a (−K⊥ ⩽ l ⩽ K⊥ ), и использовано обозначениеU † (x + a)U † (x + 2a) . . . U † (x′ ), если x < x′ ,Ux,x′ ≡ U (x)U (x − a) . .

. U (x′ + a),если x > x′ ,I,если x = x′ .10Унитарные матрицы U (x) здесь представляют нулевую моду поперечной компоненты глюонного поля и относятся к ребрам решетки. При калибровочномпреобразовании Ω(x) они преобразуются как U (x) → Ω(x)U (x)Ω† (x − a), чтообеспечивает соответствующую калибровочную инвариантность состояний впространстве Фока. Простое суммирование по всем узлам решетки в опреде ⟩лении базиса lm обеспечивает трансляционную инвариантность любого базисного состояния, что, в свою очередь, соответствует поперечному импульсуp⊥ = 0.

В так определенном базисе затем вычисляются матричные элементыэффективного гамильтониана H.В связи с тем, что используемый гамильтонов подход связан с нарушением лоренцевой симметрии, необходимо доопределить выражение для оператора квадрата массы. Поскольку в дальнейшем при снятии регуляризации рассматривается предел η0 → 0, L → ∞, это выражение должно быть согласованос условием восстановления лоренцевой симметрии. В качестве эффективногооператора квадрата массы, удовлетворяющего вышеуказанному требованию, впредлагаемой модели выступает выражение:22+ 2pn H(/0) − P⊥2 .Meff= η20 H(0)Фактически, здесь первый член соответствует оператору квадрата массы длянулевых мод в η0 -координатах, а оставшиеся члены –– оператору квадрата массы для ненулевых мод в координатах СФ.Чтобы перейти к пределу a → 0, L → ∞, в уравнении на собственные2значения m2eff оператора Meffсовершается перенормировка безразмерной константы связи g 2 a = g 2 a/Lhad , где g –– это эффективная безразмерная константасвязи на некотором масштабе Lhad .

При этом феноменологический параметрLη0 считается величиной порядка размера адрона: Lη0 = Lhad /α, с некоторымпараметром α ∼ 1. В результате в терминах безразмерных переменныхmeff = meff Lhad ,mq = mq Lhad ,11(la)2r = 2 ,Lhad2получается уравнение на спектр связанных состояний рассматриваемой (2+1)мерной модели в пределе снятия регуляризации L → ∞, Lη0 = const, a → 0:[()2αg 2 1 (1)2meff f (ξ, r) =N−r2 +4 2N])(()11+−∇2 + m2q · f (ξ, r) ++ξ 1−ξ∫ 1′1)g2 1 (′ f (ξ, r) − f (ξ , r)N−Pdξ,+2π 2N(ξ − ξ′ )20где f (ξ, r) –– это волновая функция связанного состояния кварка и антикварка,∇2 = d2 /dr2 , а интеграл понимается в смысле главного значения.

Переменная ξздесь –– это отношение продольного импульса (p− )q кварка к полному продольному импульсу p− кварк–антикварковой системы.Далее в данной главе проводится обобщение результатов на (3+1)мерный случай и приводится соответствующее спектральное уравнение. По виду оно оказывается полностью аналогичным (2+1)-мерному уравнению, с точностью до замены двумерных величин трехмерными. Поскольку эти уравненияне могут быть решены аналитически, приводятся их численные решения длянекоторых наборов параметров, входящих в модель (см.

Рисунок 1). Качественно этот спектр напоминает спектр гармонического осциллятора в трех измерениях. Примечательной особенностью предложенной модели является возможность появления вырожденных эквидистантных уровней энергии, которые соответствуют линейным траекториям Редже. Это важный результат, поскольку вэкспериментальном спектре мезонов действительно наблюдается значительноевырождение [16]. Волновые функции, полученные в рамках предлагаемой модели, теоретически можно использовать для расчета постоянных распада [17]и партонных распределений [18].В третьей главе обсуждается область параметров модели, в которой поперечные степени свободы в полученном спектральном уравнении не играютсущественной роли.

В этой области решения спектрального уравнения фактически определяются уравнением ’т Хоофта в (1+1)-мерной КХД [14]:(λf (ξ) =)∫ 1µ22µ21f (ξ′ )+f (ξ) − Pdξ′ ,′2ξ1−ξ0 (ξ − ξ)12m2eff1357911 13 15 17 19nc.зн.Рис. 1 — Спектр (3+1)-мерной модели для некоторого набора параметров.Здесь по горизонтальной оси отложен номер nc.зн. собственного значения,а m2eff –– это безразмерная величина квадрата массы в произвольных единицах.где µ1,2 –– это безразмерные массы кварков, λ –– квадрат массы связанного состояния, а f (ξ) –– соответствующая волновая функция. В результате численныхрасчетов было замечено, что в пределе больших масс фермионов это уравнениеимеет решением Фурье образы функций Эйри, которые, как известно, являютсярешением квантовой задачи о спектре энергии частицы в потенциальной яме слинейно растущим потенциалом.В связи с этим в данной главе исследуются аналитические свойства указанного уравнения ’т Хоофта в пределе больших масс кварков.

Предлагаетсяновая параметризация этого уравнения, µ1,2 = c1,2 µ, µ = µ1 + µ2 , а также замена переменных ξ = ω + c1 , f (ξ) = f (ω + c1 ) = φ(ω), которая облегчаетрассмотрение предела µ → ∞. В результате удается получить аналитическоерешение уравнения ’т Хоофта в этом пределе:(π2 µ2c1 c2)1/3zn + µ2 ,λn = −∫ ∞][1/3 −6nφn (ω) =σ (x)Ai (πc1 c2 ) µ |x| + zn e−iωx dx,−∞где σ(x) –– это знаковая функция, а zn –– это нули функции Эйри и ее производной, перечисленные в порядке возрастания абсолютного значения. Для предлагаемой в данной диссертации модели полученный результат является аналитическим решением спектрального уравнения для целого класса входящих в13модель параметров. Предложенный метод решения применим в случае неравных масс кварков, и представляет собой новый результат в анализе уравнения’т Хоофта.В заключении приводятся основные результаты работы, а также пред.лагается несколько путей дальнейшего развития и усложнения модели.Публикации автора по теме диссертации1.2.3.4.Зубов Р.

А., Прохватилов Е. В., Малышев М. Ю. Предельный переход к световому фронтув квантовой хромодинамике и кварк-антикварковое приближение // ТМФ. — 2015. — Т.184, № 3. — С. 456—464.Зубов Р. А., Прохватилов Е. В., Пастон С. А. Точное решение уравнения ’т Хоофта впределе тяжелых кварков разной массы // ТМФ. — 2015. — Т. 184, № 3. — С. 449—455.Zubov R., Prokhvatilov E. On quark-antiquark approximation in light front QCD with zerogluon modes // AIP Conf. Proc. — 2016. — Т.

1701. — 040023.Zubov. R., Prokhvatilov E. On numerical solutions to the QCD ’t Hooft equation in the limit oflarge quark mass // AIP Conf. Proc. — 2016. — Т. 1701. — 100001.Список литературы5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.Dirac P. A. M. Forms of relativistic dynamics // Rev.

Mod. Phys. — 1949. — Т. 21, № 3. —С. 392—399.Light-front quantum chromodynamics: A framework for the analysis of hadron physics / B.Bakker [и др.] // Nuclear Physics B - Proc. Suppl. — 2014. — Т. 251–252. — С. 165—174.Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. К построению гамильтониана КХД вкоординатах светового фронта // ТМФ. — 1999.