Диссертация (Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях), страница 13

е. в рамках симметрии Фридмана, необходимо, чтобы вместо (3.55) было ≈ 1. Это возможно, только если расширение либо завремя инфляции было заметно меньше, либо за время ультрарелятивистского вещества было заметно больше. И то, и другое, по-видимому, несогласуется с наблюдениями.Существует, однако, другой взгляд на возможность имитации темной материи лишними решениями. В статье [12] Дэвидсон и сотрудники рассматривают поздний период существования вселенной и трактуют -материю как темную материю. Предполагая, что = Ω ∼ 0.3, ониизучают динамику на протяжении периодов доминирования темнойэнергии, холодной материи и излучения.

В результате они получают решение солитонного вида: стартуя от нуля на стадии радиационного доминирования, степенным образом возрастает и достигает максимуманепосредственно перед началом лямбда-доминирования. Затем оно начинает экспоненциально убывать, достигая желаемого значения в нашевремя.К сожалению, этот анализ не учитывает наличия инфляционной стадии развития вселенной. Наши расчеты, приведенные выше, показывают,что для ∼ 1 в наше время необходимо, чтобы в начале классическогорежима вселенной ∼ 1060 , что представляется неестественным в силуслучайного характера выхода вселенной из режима квантовой гравитации. Таким образом, без тонкой подстройки не удается интерпретировать «лишние решения» как темную материю, но удается показать, чтоих вклад при наличии инфляции во все времена после ее окончания пренебрежимо мал.Среди работ научной группы профессора Дэвидсона стоит также упомянуть статью [13], в которой изучалась возможность имитации темнойэнергии при помощи точных решений.

Поскольку на момент написанияэтой статьи параметр замедления расширения вселенной считался по-95ложительным, выкладки, приведенные в этой статье, нуждаются в пересчете.Наконец, в статье [14] рассматривалась возможность реализации инфляционного режима на потенциале Хиггса при помощи «лишних решений». Главный результат, полученный в рамках этого исследования —потенциал поля Хиггса, при помощи которого можно реализовать инфляционный режим на базе уравнений Редже-Тейтельбойма, оказывается потенциалом типа 4 с массовым членом.Как можно видеть из вышеизложенного, оптимистически настроенный исследователь может считать, что теория вложения обладает определенным потенциалом к решению космологических проблем, таких, какпроблема инфляции, темной материи или темной энергии.

Существует иболее реалистичная точка зрения: в силу того, что теория вложения изначально создавалась не для решения космологических задач, она в первуюочередь не должна порождать новых проблем на классическом уровнетеории гравитации, нежели решать уже имеющиеся. С этих позиций результаты наших расчетов выглядят более удовлетворительно, особенноесли воспринимать «лишние решения» как артефакт теории. Эти результаты были опубликованы в статье [20].96ЗаключениеКак было отмечено во Введении, проблема лишних решений уравнений Редже-Тейтельбойма являлась одной из самых серьезных проблемтеории вложения как классической теории гравитации. Можно надеяться,что определенный прогресс в решении этой проблемы принесут следующие результаты, полученные в рамках этого диссертационного исследования:ˆ Приналичии сферической симметрии уравнения РеджеТейтельбойма не допускают никаких вакуумных решений, соответствующих асимптотически плоской метрике, кроме эйнштейновского.ˆ Если в ранней вселенной реализовался инфляционный сценарий, топосле его окончания решения уравнений Редже-Тейтельбойма длямодели Фридмана с большой точностью могут быть приближеныэйнштейновскими.Первый результат позволяет предположить, что предсказания теории вложения относительно экспериментов в солнечной системе должны с большой точностью воспроизводить наблюдения (постольку, поскольку ихвоспроизводит эйнштейновская теория).

Второй же результат говорит оботсутствии крупномасштабных отклонений от эйнштейновской теории вовсе периоды существования вселенной после инфляционного. Стоит отметить, что этот результат также может быть расширен на случай любыхмасштабов и симметрий, если плотность энергии -материи окажетсясущественно положительной, поскольку в этом случае будут невозможны большие флуктуации энергии этой «материи», потенциально могущиевозникнуть после разрушения фридмановской симметрии на галактических масштабах.97Отметим, что в процессе изучения уравнений Редже-Тейтельбоймабыли также получены интересные результаты, имеющие значение нетолько для понимания структуры этих уравнений, но и для теории вложения и теории гравитации в целом:ˆ Классифицированы уже имеющиеся и построены новые вложенияметрики Шварцшильда, являющейся, пожалуй, самым важным точным решением уравнений Эйнштейна.ˆ Впервые построено асимптотически плоское минимальное вложе-ние метрики Шварцшильда в пространство Минковского с однимвремениподобным направлением.ˆ Впервые построены минимальные вложения метрик Коттлера иРайсснера-Нордстрёма, гладко покрывающие оба горизонта.Полученные вложения можно использовать в качестве фоновых длярешения уравнений Редже-Тейтельбойма по теории возмущений, поскольку, как отмечалось выше, тривиальные вложения метрики Минковского как фоновые не линеаризуют уравнения, а объемлющее пространство нетривиального вложения содержит два времениподобных направления, что затрудняет его использование.

Асимптотически плоское вложение может также быть использовано для решения задачи многих тел втеории вложения [74].Стоит отметить, что построенные вложения уже сыграли свою роль вработах [75], [76] и [48], посвященных анализу соответствия между эффектом Хокинга и эффектом Унру, дающего возможность [40,77,78] с помощью вложений исследовать термодинамические свойства черных дыри других пространств с горизонтами. Тривиальное соответствие, имеющее место между эффектом Хокинга для черной дыры Шварцшильдаи эффектом Унру при равноускоренном движении в пространстве Минковского, давно и хорошо известно. Авторы же работы [40] предложилииную аналогию.

Они заметили, что 4-ускорение, возникающее при движении в объемлющем пространстве по поверхности вложения метрики,соответствует излучению Унру с той же температурой , что и температура Хокинга излучения, фиксируемого наблюдателем в исходном римановом пространстве. Это соответствие существует в том случае, когда98вложение гладко покрывает горизонт, имеющийся в римановом пространстве. Оно изучалось на примере различных вложений метрик с горизонтами; например, вложения Фронсдала и вложений пространств постояннойкривизны. В дальнейшем этот метод был применен ко многим другимвложениям. Важно отметить, что во всех случаях использовались покрывающие горизонт гиперболические вложения, имеющие зависимость отвремени, аналогичную (1.49) (их также называют вложениями фронсдаловского типа), в которых линии времени представляют собой гиперболыв объемлющем пространстве.

Однако, как было показано в главе 1, гиперболическим вложением не исчерпываются все возможные типы вложенийметрики черной дыры. Существует еще по крайней мере три типа реализации 1 -симметрии, позволяющие гладко покрыть горизонт. Как былопоказано в [22], для вложений этих типов соответствие между эффектом Хокинга и Унру отсутствует. Можно также найти и другие примерыотсутствия такого соответствия даже в случае гиперболического вложения [75]. В недавней работе [76] было доказано, что соответствие междуэффектом Хокинга и Унру существует в случаях, когда метрика имеетгоризонт, а вложение является гиперболическим и гладко этот горизонтпокрывает.В заключение хотелось бы сказать несколько слов о возможных направлениях дальнейших исследований.ˆ Развитие канонического формализма: несмотря на то, что кано-нический формализм теории вложения исследовался во многих работах [55, 61–63], представляет также интерес и построение другихего вариантов.

К примеру, не лишено смысла изучение канонического формализма теории вложения с частичной фиксацией калибровки 0 = [79]. Канонический формализм можно также конструироватьдля теории разбиения.ˆ Частные решения уравнений Редже-Тейтельбойма: как было по-казано выше, изучение уравнений Редже-Тейтельбойма с какимилибо физически оправданными симметриями дает важные результаты. Дальнейшее развитие этой темы может включать в себя исследование динамики теории вложения в аксиально-симметричном99случае (аналог метрики Керра), изучение возможности и характерараспространения гравитационных волн и различные космологические модели.

В частности, для сравнения с астрофизическими данными уместно исследовать нерелятивистскую космологию в рамкахтеории вложения: поведение «лишних решений» в статической вселенной, заполненной холодной материей.ˆ Пост-ньютоновское приближение: поскольку теория вложения посути является расширением ОТО, для нее может быть построенаналог пост-ньютоновского приближения — теории возмущений по1/2 или по /. Построение такого приближения позволит определить, какие эффекты, доступные для наблюдения в солнечной системе, допускаются теорией вложения, а какие нет.ˆ Теоретико-полевая формулировка (теория разбиения, см. пункт2.1.4): поскольку это направление исследований появилось совсемнедавно, в рамках него на данный момент существует больше всегозадач.

Отметим самые важные из них.В первую очередь представляет интерес изучение возможныхлагранжианов такой теории. Основной целью такого изучения является полиномиальный лагранжиан теории, получение которогосильно облегчило бы квантование.Параллельно с поиском такого лагранжиана можно исследовать возможность квантования теории методом функционального интеграла. В недавней статье [80] был предложен метод построения функционального интеграла для лагранжианов с неквадратичным кинетическим членом, и есть основания считать, что подобный методможет быть применен и к теории разбиения.Возможно, с другой стороны, рассмотреть модели, более простые,чем аналог эйнштейновской гравитации, в надежде найти среди нихточно решаемые.

Отсюда естественным образом возникает задача опостроении теории с < 10 (к примеру, квантовой космологии с = 5) или об описании маломерных многообразий (одномерныхили двумерных) с помощью теории разбиения.100БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю, Сергею Александровичу Пастону, за неисчерпаемое терпение и неоценимуюпомощь в работе над диссертационным исследованием.Автор благодарит сотрудников, аспирантов и студентов кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультетаСанкт-Петербургского государственного университета за помощь в освоении наук и многочисленные полезные обсуждения.101Литература1. Carlip S. Quantum Gravity: a Progress Report // Rept. Prog.