Диссертация (Структура решений теории гравитации, основанной на изометрических вложениях), страница 11

е. описывается формулами (3.17) или (3.18) (принекотором выборе базиса в объемлющем пространстве). Покажем это напримере закрытой модели.81Предполагая, что соответствующей симметрией Фридмана обладает искомая четырехмерная поверхность в пространстве Минковского1, −1 , можно заключить, что ее сечения = должны представлять собой трехмерные сферы. Такой вывод кажется наиболее естественным, хотя, делая его, мы, возможно, отбрасываем некоторые допускаемыесимметрией Фридмана варианты.

Именно из-за этого выше сказано, чтопятимерность объемлющего пространства возникает почти однозначно.Из сделанного заключения следует, что компоненты функции вложения 1 , . . . , 4 обязательно должны задаваться теми же выражениями, чтов формуле (3.17), а остальные компоненты ( = 0, 5, 6 .

. .) должны зависеть только от времени. Поэтому = 0 ˙ .(3.23)Положив в уравнении (3.9) = , используя (1.53), (3.23) и заметив,что = 0 , = −6 sin4 sin2 (с учетом (3.20)), получаем уравнение:0 3 ˙ = 0.(︁)︁(3.24)Из него следует, что3 ˙ = ⇒˙ = 3 , (3.25)где — постоянный вектор подпространства объемлющего пространства, соответствующего части координатных направлений 0 , 5 , 6 , . . ..Легко показать, что этот вектор является времениподобным. Действительно, используя (2.1) и (3.20), имеем′(0 ) (0 ) = 00 = 1 ⇒ (˙ ) ′ (˙ ) > 0,(3.26)откуда, с использованием (3.25), следует времениподобность .Поскольку является постоянным времениподобным вектором, всегда можно так выбрать базис объемлющего пространства, чтобы он имелтолько нулевую компоненту.

В результате этого, с учетом (3.25), все компоненты , кроме 0 , будут равны константам и их можно сделать рав82ными нулю с помощью сдвига объемлющего пространства. Это означает,что искомая четырехмерная поверхность лежит в пятимерном подпространстве, и следовательно, она описывается формулой (3.17).Для открытой модели рассуждение проводится полностью аналогично. В этом случае сечения = представляют собой трехмерныепсевдосферы (гиперболоиды), описываемые компонентами функции вложения 0 , . . .

, 3 в формуле (3.18). Таким образом, для закрытой и открытой моделей Фридмана симметрия поверхности вместе с выполнениемуравнений Редже-Тейтельбойма дают хорошие основания использоватьфункции вложения (3.17),(3.18), даже если изначально размерность объемлющего пространства не ограничивается пятью измерениями.Для пространственно-плоской модели аналогичные соображения использовать не удается, поскольку для нее не удается построить вложение,сечения постоянного времени которого были бы трехмерными плоскостями (легко увидеть, что это не так и для вложения (3.19)).

Поэтому в случае > 5 единственным, по-видимому, аргументом в пользу рассмотренияименно вложения (3.19) для метрики, соответствующей (3.22), являетсятот факт, что (3.19) может быть получена некоторыми предельными переходами из соответствующих закрытой и открытой моделям Фридманаформул (3.17) и (3.18). Получим такой предельный переход для закрытоймодели (для открытой рассуждения проводятся аналогично).Для этого сделаем в (3.17) замену → ,1() → (),(3.27)и будем считать, что → 0, а область изменения ограничена так, что ≪ 1.

Тогда компоненты 2 , 3 , 4 в формуле (3.17) в пределе перейдутв соответствующие компоненты формулы (3.19). Для оставшихся компонент имеем⎯⎸ 2⎸⎷˙ ∫︁ = 2 + 1 = ++ ( 3 ), 2 ˙ 1 = cos() = − 2 + ( 3 ). 20∫︁83(3.28)Легко показать, что после совершения лоренцева буста с параметром /2в плоскости 0 , 1 и взятия предела → 0, компоненты (3.28) совпадают (с точностью до знака 1 , что не существенно) с соответствующимикомпонентами формулы (3.19).Приняв все это во внимание, можно переписать исходную системууравнений (3.11-3.14) (уравнение Фридмана с учетом вклада « -материи»,ковариантное постоянство и и уравнение Редже-Тейтельбойма):(︃ )︃2˙κ= ( + ) − 2 ,3√︁0 (3 ˙ 2 + ) = 0,(3.29)(3.30)0 (3 ) + 0 (3 ) = 0,(3.31)0 ( 3 ) + 0 (3 ) = 0,(3.32)где = 1, −1 и 0 для закрытой, открытой и пространственно-плоской модели соответственно, () ̸= const и ˙ 2 + > 0 (по построению функциивложения).Видно, что последнее уравнение можно сразу разрешить относительно :˙ ,3˙(3.33)3 ˙ 2 + = ,(3.34) = − −проинтегрировать второе:√︁где — константа интегрирования, и получить, комбинируя его с первым,важное алгебраическое соотношение√4 + = .(3.35)Таким образом, видно, что если хотя бы раз точно обращается в ноль,то теория вложения становится полностью эквивалентной ОТО (что согласуется с общим свойством теории вложения, полученным в [73]).

Кроме этого, нужно дополнить систему начальными данными. Поскольку — величина фиктивная, целесообразно с помощью (3.29) выразить ее на84чальное значение через начальные значения наблюдаемых величин: , и :˙3 ⎝ ˙ 20 + ⎠ 0 = −0 +κ20⎛⎞(3.36)Предполагается, что ˙ 0 > 0, иначе вселенная, только что вышедшая из режима квантовой гравитации, начнет сжиматься и вернется к нему снова.При задании начальных данных будем, как обычно в теории Большого взрыва, предполагать, что сначала Вселенная подчинялась некоторым квантовым законам, но в какой-то момент времени ее характерныеразмеры стали достаточно велики, чтобы квантовые эффекты пересталииграть заметную роль и начали достаточно точно выполняться классические уравнения движения.

В отличие от обычного подхода в рамкахОТО, считаем, что ими являются не уравнения Эйнштейна, а уравненияРедже-Тейтельбойма (3.10). Состояние Вселенной, случайно возникшее вуказанный момент времени, играет роль начальных данных для дальнейшего развития по классическим уравнениям. Оно описывается заданнымив этот начальный момент времени функцией (), задающей геометриюповерхности, значениями полей материи на ней, а также производнымиэтих величин по времени.Логично предположить, что в указанный начальный момент временивсе размерные характеристики Вселенной не более чем на несколько порядков отличаются от своих планковских значений, например, масштабный фактор Вселенной не слишком сильно отличается от планковскойдлины pl . Из такого предположения следует, что отношение плотности« »-материи к плотности обычной материи≡(3.37)в момент выхода из режима квантовой гравитации не слишком сильноотличается от единицы (с той же точностью до нескольких порядков),поскольку и , т.

е. плотность материи, и величина = 00 = 00 /κ −, зависящая также от кривизны пространства, имеют приблизительнопланковские значения.853.3Динамикалишнихрешенийвэпохулямбда-членаРассмотрим вначале самую важную для наших целей эпоху — эпохудоминирования материи, имитирующей Λ-член, т.е. = − = Λ = const.(3.38)Отметим, что приближенно такое уравнение состояния характерно длявселенной и сейчас, в то время как для инфляционного режима уравнениесостояние (3.38) можно считать практически точным.В этом случае уравнение (3.31) исходной системы (3.29-3.32) выполняется автоматически, и она сводится к(︃ )︃2˙κ(Λ + ) − 2 ,3√︁4 Λ + = .=(3.39)(3.40)Комбинируя эти уравнения, можем получить(︃ )︃2˙Λ + κ √︁= √︁|| − ( ) ,|| 3(︃)︃(3.41)где ( ) =| |(Λ + )3/4(3.42)Изучим возможные варианты динамики вселенной в зависимости от 0 ,учитывая, что в силу (3.36) 0 > −Λ.Сначала рассмотрим случай, когда 0 > 0, а значит 0 , > 0.

Каквидно из рис. 3.1, на котором изображена зависимость ( ), с течениемвремени сначала будет происходить движение по графику влево, в сторону уменьшения (с учетом предположения ˙ 0 > 0). Далее возможны дваварианта. Если = 0, −1, то правая часть уравнения (3.41) положительна,причем отделена от нуля положительной константой. То же можно сказать для = 1, если максимум функции ( ) (ее график изображен на862a(ρ τ)10−1−2/300.511.52ρ τ /ΛРис. 3.1: Зависимость ( ), задаваемая формулой (3.40). Минимум при < 0 достигается в точке = − 23 Λ.√︁рис. 3.2) в области ≥ 0 строго меньше, чем κ ||/3, что, как можнопоказать, выполняется, еслиκΛ20 (˙ 20 + 1)(︃κΛ 20˙ 20 + 1 −3)︃4> .9(3.43)В этом случае будет иметь место экспоненциальное расширение Вселенной,т. е.

инфляция, в процессе которой будет монотонно уменьшаться,стремясь к нулю при → ∞. Если же в случае = 1 неравенство (3.43)не выполняется, то для значений величины возникает запрещеннаяобласть,в которой правая часть (3.42) отрицательна. При этом если 0меньше значений из этой области, что, как можно показать, выполняется,когдаκΛ20 > 1(3.44)то снова имеет место инфляция (с учетом предположения ˙ 0 > 0). Если же 0 больше таких значений, то расширение Вселенной происходит толькодо некоторого конечного значения max , соответствующего ˙ = 0.